Funció contínua

Funció contínua és un terme utilitzat en matemàtiques i, en particular, en topologia.

Definició matemàtica per funcions de variables reals

Funció contínua en un punt

Siguin $I$ un interval de $\mathbb {R}$ , $f$ una aplicació de $I$ a $\mathbb {R}$ , i $x_{0}$ un punt de $I$ .

Si $x_{0}\in I$ i $x_{0}$ és un punt d'acumulació de $I$ , direm que $f$ és contínua en el punt $x_{0}$ si $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{f(x)}=f(x_{0})$ .
Si $x_{0}\in I$ i $x_{0}$ no és un punt d'acumulació de $I$ , direm que $f$ és contínua per definició.

La definició anterior també es pot formular en termes de distàncies, diem que $f$ és contínua en el punt $x_{0}$ si i només si:

\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\,x\in \,]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta [\,\cap I\Longrightarrow |f(x)-f(x_{0})|\leq \varepsilon \,

És a dir, una funció és contínua quan per qualsevol punt $x$ del seu domini podem trobar un interval tal que la seva imatge estigui continguda en un interval tan petit com vulguem al voltant de la seva imatge $f(x)$ .

Finalment, en termes de successions la funció $f$ és contínua en el punt $x_{0}\in I$ si, sigui $x_{n}\in I$

$\{x_{n}\}\rightarrow x_{0}\Longrightarrow \{f(x_{n})\}\rightarrow f(x_{0})$

Continuïtat i límits

Si $f$ és contínua en $x_{0}$ , llavors $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ .

Si això és cert únicament per a $x>x_{0}$ , es diu que $f$ és contínua a la dreta de $x_{0}$ .

De la mateixa forma, si és contínua per a $x<x_{0}$ , $f$ és contínua a l'esquerra de $x_{0}$ .

Dir que $f$ és contínua en $x_{0}$ significa que aquesta aplicació és contínua a la dreta i a l'esquerra d'aquest punt.

Continuïtat en un interval

Es diu que $f$ és contínua en $[a,b]$ si és contínua en tots el punts d'aquest interval.

És a dir:

\forall x\in [a,b],\,\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\,y\in \,]x-\delta ,x+\delta [\,\cap I\Longrightarrow |f(x)-f(y)|\leq \varepsilon \,

,

que equival a què:

$f$ és contínua a $]a,b[$ .
El límit a la dreta de $f(x)$ quan $x\to a$ val $f(a)$ i el límit a l'esquerra quan $x\to b$ val $f(b)$ .

Evidentment, en la definició el número $\delta$ depèn de $\epsilon$ , ja que si $\epsilon$ es fa més petit, pot ser que hàgim de buscar un $\delta$ més petit. Però en aquest apartat cal aclarir que el número $\delta$ també depèn del punt $x$ , és a dir, per un mateix valor de $\epsilon$ , un valor de $\delta$ que serveix per algun punt en concret pot no servir per un altre punt. En general, donat un valor de $\epsilon$ no existeix un valor de $\delta$ que serveixi per a tots els punts $x\in [a,b]$ , tot i així, quan aquest valor existeix parlem de continuïtat uniforme.

Derivabilitat i continuïtat

Qualsevol funció derivable en un punt o en un interval, és igualment contínua en aquest punt o interval.

El recíproc és fals.

Per exemple, la funció $f(x)=|x|$ (valor absolut de $x$ és una funció contínua a $\mathbb {R}$ , en canvi, no és derivable en el punt $x=0$ .

Funcions usuals

Les funcions polinòmiques, exponencials, logarítmiques, hiperbòliques, trigonomètriques són derivables en els intervals en què estan definides, i són, doncs, igualment contínues en aquests intervals.

Teoremes sobre funcions contínues

Teorema dels compactes

"Si $f$ és contínua en un compacte $K\Longrightarrow f(K)$ és compacte."

Efectivament, per demostrar que $f(K)$ és un compacte necessitem veure que, sigui $y_{a}=f(x_{a}),\forall x_{a}\in K$ , la successió $\{y_{a}\}$ té alguna successió parcial convergent $\{y_{a_{i}}\}$ .

Com que, per hipòtesi $K$ és un compacte, existeix alguna successió parcial $\{x_{a_{i}}\}$ convergent. Sigui $l$ el límit d'aquesta successió $(\{x_{a_{i}}\}\rightarrow l)$ , per la definició de continuïtat (definició per successions) tenim que $\{f(x_{a_{i}})\}\rightarrow f(l)\in f(K)$ . Però per la definició que hem fet al principi, $\{f(x_{a_{i}})\}=\{y_{a_{i}}\}\rightarrow f(l)$ resultant així que $\{y_{a_{i}}\}$ (que és una successió parcial de $\{y_{a}\}$ ) és convergent. I $f(K)$ és un compacte.

Teorema del màxim i el mínim

"Si $f$ és contínua en un compacte $K\Longrightarrow f(K)$ té màxim i mínim."

Efectivament, pel teorema dels compactes si $f$ és contínua en el compacte $K$ , $f(K)$ és compacte. Com que qualsevol compacte és fitat, existiran un suprem ( $s$ ) i un ínfim ( $i$ ). Demostrem ara que $s,i\in K$ . En efecte, podem trobar valors tan a prop de $s$ com vulguem (si no fos així, podríem trobar una fita superior més petita que $s$ , arribant a una contradicció), per tant podem construir una successió $\{s_{n}\}$ que convergeixi a $s$ . Com que $f(K)$ és un compacte $f(K)$ és tancat i per tant, $s\in f(K)$ . Sent $s$ el màxim del compacte $f(K)$ . $f(c)<0$

De manera anàloga podem trobar valors tan a prop de $i$ com vulguem (o arribem a una contradicció), per tant, podem construir una successió $\{i_{n}\}\rightarrow i$ . I com que $f(K)$ és tancat $i\in f(K)$ , sent el mínim d'aquest compacte.

Teorema de Bolzano

"Si $f$ és contínua en un interval tancat $[a,b]$ , amb $f(a)\cdot f(b)<0$ (és a dir, no nuls i de signe oposat) $\Longrightarrow \exists c\in (a,b)$ on $f(c)=0$ ."

Efectivament, anomenem $I_{0}=[a,b]$ , sigui $c_{0}$ el punt central d'aquest interval. Si $f(c_{0})=0$ el teorema queda demostrat. Si $f(c_{0})\neq 0$ , aleshores partim l'interval $I_{0}$ en els intervals $[a,c_{0}]$ i $[c_{0},b]$ . Com que $f(a)$ i $f(b)$ tenen signes oposats, $f(c_{0})$ tindrà el mateix signe que un dels dos i tindrà signe oposat que l'altre. Anomenem $I_{1}$ a l'interval en que $f$ tingui signes oposats en els extrems, i definim $c_{1}$ com el punt central de $I_{1}$ . De nou repetim el mateix procés, si $f(c_{1})=0$ hem acabat, si no, definim $I_{2},I_{3},...$ Si per algun interval $I_{i}$ es compleix que $f(c_{i})=0$ hem acabat, si no tenim definits infinits intervals en els quals $f$ pren valors oposats en els extrems.

Notem que es compleix sempre que $I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset ...$ i la longitud de cada interval és: $L_{0}=b-a,L_{1}={\frac {b-a}{2}},L_{2}={\frac {b-a}{4}},...,L_{n}={\frac {b-a}{2^{n}}}$ .

Construïm la successió $x_{n}\in I_{n}$ . Sigui $I_{n_{0}}$ un interval de longitud $L_{n_{0}}={\frac {b-a}{2^{n_{0}}}}$ , aleshores és clar que $|x_{n}-x_{m}|\leq {\frac {b-a}{2^{n_{0}}}},\forall n,m>n_{0}$ ja que $I_{n},I_{m}\subset I_{n_{0}}$ . Per tant, $\forall \epsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que $L_{n_{0}}={\frac {b-a}{2^{n_{0}}}}\leq \epsilon$ i, en conseqüència $|x_{n}-x_{m}|\leq {\frac {b-a}{2^{n_{0}}}}\leq \epsilon ,\forall m,n>n_{0}$ . Per tant, la successió $\{x_{n}\}$ és una successió de Cauchy i per tant és convergent. Denotem $c=\lim\{x_{n}\}$ . Suposem que $f(c)>0$ , aleshores per continuïtat podem trobar un interval $I$ que compleixi que $f(x)>0$ en tot l'interval. Però a partir d'algun subíndex $I_{n}\subset I$ i existeix algun punt de $I_{n}$ en que $f(x)<0$ (recordem que $f$ pren valors de signe oposat en els seus extrems). Igualment, si $f(c)<0$ per continuïtat podem trobar un interval $I$ que compleixi que $f(x)<0$ . Però a partir d'algun subíndex $I_{n}\subset I$ i existeix algun punt de $I_{n}$ en que $f(x)>0$ . Per tant l'única possibilitat és que $f(c)=0$ . Quedant així demostrat el teorema.

Teorema del valor intermedi de Bolzano

"Si $f$ és contínua en un interval tancat $[a,b]$ , amb $f(a)\neq f(b)$ , i $u$ està entre $f(a)$ i $f(b)\Longrightarrow \exists c\in (a,b)$ on $f(c)=u$ ."

Efectivament si $u$ està entre $f(a)$ i $f(b)$ , aleshores $f(a)-u$ i $f(b)-u$ tenen signes oposats. Definim aleshores la funció $g(x)=f(x)-u$ , com que $f$ és contínua en l'interval $[a,b]$ , $g$ és contínua en el mateix interval. Hem dit que $g(a)=f(a)-u$ i $g(b)=f(b)-u$ tenen signes oposats, per tant, pel teorema de Bolzano, existeix un punt $c\in (a,b)$ que compleix que $g(c)=f(c)-u=0\Longrightarrow f(c)=u$ .

Teorema de la continuïtat de la funció inversa

"Si $f$ és contínua i invertible en un interval $I\Longrightarrow f$ és estrictament creixent o decreixent a $I$ i $f^{-1}$ és contínua a $f(I)$ ."

Efectivament, si $f$ és invertible $f$ ha de ser injectiva. Per tant, si per a dos punts $a,b\in I,$ $a\neq b\Longrightarrow f(a)\neq f(b).$ Suposem que $f(a)>f(b)$ , aleshores, $\forall x\in (a,b),f(a)>f(x)>f(b)$ , ja que, si $f(x)>f(a)>f(b)$ , pel teorema del valor intermedi de Bolzano, existeix algun punt entre $c\in (x,b)$ que compleix que $f(c)=f(a)$ , però això no pot ser perquè $f$ és injectiva. Pel mateix argument no es pot donar el cas que $f(a)>f(b)>f(x)$ , ja que existiria algun punt $c$ que compleix que $f(c)=f(b)$ . Per tant tenim que $f(x)$ està entre $f(a)$ i $f(b)$ .

Considerem ara un punt $y\in (x,b)$ , és a dir, $a<x<y<b$ , pel mateix argument que a dalt podem afirmar que $f(x)>f(y)>f(b)$ (i, per tant, $f(a)>f(x)>f(y)>f(b)$ ). Per tant, podem afirmar que si $x<y\Longrightarrow f(x)>f(y)$ , és a dir, $f$ és estrictament decreixent, si en comptes de suposar al principi que $f(a)>f(b)$ suposem que $f(a)<f(b)$ arribem a la conclusió (després de aplicar exactament el mateix raonament) que $f$ és estrictament creixent. Demostrem ara que $f^{-1}$ és contínua a l'interval $f(I)$ .

Sigui $y_{i}=f(x_{i})\in f(I)$ , hem de demostrar que $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0|d{\big (}f(x),f(x_{i}){\big )}<\delta \Longrightarrow d{\big (}f^{-1}(f(x)),f^{-1}(f(x_{i})){\big )}=d{\big (}x,x_{i}{\big )}<\epsilon$ .

Notem que, en ser $f$ contínua i estrictament creixent (decreixent) es compleix que $f([a,b])=[f(a),f(b)]$ $(=[f(b),f(a)])$ . És a dir, que un punt pertany a l'interval $[a,b]$ si i només si la seva imatge pertany a l'interval d'extrems $f(a)$ i $f(b)$ .

Per tant, per a qualsevol $\epsilon$ podem trobar un $\delta <\epsilon$ tal que $[y_{i}-\delta ,y_{i}+\delta ]=[f(x_{i})-\delta ,f(x_{i})+\delta ]\subset [f(x_{i})-\epsilon ,f(x_{i})+\epsilon ]=f([x_{i}-\epsilon ,x_{i}+\epsilon ]).$

Si $d(f(x),f(x_{i}))<\delta$ , aleshores $f(x)\in [f(x_{i})-\delta ,f(x_{i})+\delta ]\Longrightarrow f(x)\in f([x_{i}-\epsilon ,x_{i}+\epsilon ])\Longrightarrow x\in [x_{i}-\epsilon ,x_{i}+\epsilon ]\Longrightarrow d(x,x_{i})<\epsilon$

Quedant demostrat que la funció $f^{-1}$ és contínua.

Tipus de discontinuïtats de funcions d'una variable real

Discontinuïtat de salt

Una funció f(x) presenta una discontinuïtat de salt en un punt a quan els límits laterals en aquest punt no són iguals:

     $\lim _{x\to a^{-}}{f(x)}\neq \lim _{x\to a^{+}}{f(x)}$

Exemple:

Discontinuïtat evitable

Una funció f(x) presenta una discontinuïtat evitable en un punt a quan la funció té límit en aquest punt però no coincideix amb el valor de la funció, bé perquè no està definida, bé perquè és diferent: $\lim _{x\to a^{-}}{f(x)}=\lim _{x\to a^{+}}{f(x)}=\lim _{x\to a}{f(x)}\neq {f(a)}$

Per tant, la funció f es podria fer contínua només redefinint f(a).

Exemple:

Àlgebra de les funcions contínues i composició de funcions contínues

Per definició:

f

contínua a

a\Leftrightarrow \lim _{x\to a}f(x)=f(a)

.

Dels teoremes sobre els límits resulta:

Àlgebra de les funcions contínues

Siguin $f$ i $g$ dues funcions contínues en un mateix interval $I$ . Llavors:

$\alpha f+\beta g\quad \forall (\alpha ,\beta )\in \mathbb {R} ^{2}$ (combinació lineal)
$f\cdot g$ (producte)
${\frac {f}{g}}\quad (g\neq 0)$ (quocient)

són funcions contínues a $I$ .

Composició de funcions contínues

Si $f$ és contínua a $I$ i $g$ és contínua a $f(I)$ llavors $g\circ f$ és contínua a $I$ .

Funcions contínues entre espais topològics

La definició esmentada de funció contínua es pot expressar de forma més general a les funcions entre dos espais topològics; donada una funció $f:A\longrightarrow B$ entre dos espais topològics, aquesta és contínua si i només si per a tot obert $O\subseteq B$ es dona que $f^{-1}\left[O\right]$ és un obert de $A$ .