Bose-Einstein-Statistik

Besetzungszahl $\langle n\rangle$ als Funktion der Energie $E-\mu$
für Bosonen (Bose-Einstein-Statistik, obere Kurve)
bzw. Fermionen (Fermi-Dirac-Statistik, untere Kurve),
jeweils im Spezialfall der Wechselwirkungsfreiheit und bei konstanter Temperatur $T>0$.
Das chemische Potential $\mu$ ist ein Parameter, der von Temperatur und Dichte abhängt;
im Bose-Fall ist es immer kleiner als die Energie und würde im Grenzfall der Bose-Einstein-Kondensation verschwinden;
im Fermi-Fall dagegen ist es positiv, bei $T=0\,\mathrm {K}$ entspricht es der Fermi-Energie.

Die Bose-Einstein-Statistik oder auch Bose-Einstein-Verteilung, benannt nach Satyendranath Bose (1894–1974) und Albert Einstein (1879–1955), ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Quantenstatistik (dort auch die Herleitung). Sie beschreibt die mittlere Besetzungszahl $\langle n(E)\rangle$ eines Quantenzustands der Energie $E\,$ im thermodynamischen Gleichgewicht bei der absoluten Temperatur $T$ für identische Bosonen als besetzende Teilchen.

Analog existiert für Fermionen die Fermi-Dirac-Statistik, die ebenso wie die Bose-Einstein-Statistik im Grenzfall großer Energie $E$ in die Boltzmann-Statistik übergeht.

Kernpunkt der Bose-Einstein-Statistik ist, dass bei gleichzeitiger Vertauschung aller vier Variablen $x,y,z,m\,$ zweier Bosonen ($x,y\,$ und $z\,$: Ortsvariable; $m\,$: Spinvariable) die Wellenfunktion $\psi \,$ bzw. der Zustandsvektor eines Vielteilchensystems nicht das Vorzeichen wechselt $(\psi \rightarrow \psi )$, während es in der Fermi-Dirac-Statistik sehr wohl wechselt $(\psi \rightarrow -\psi )$. Im Gegensatz zu Fermionen können deshalb mehrere Bosonen im gleichen Ein-Teilchen-Zustand sein, also die gleichen Quantenzahlen haben.

Bei Wechselwirkungsfreiheit

Bei Wechselwirkungsfreiheit (Bosegas) ergibt sich für Bosonen die folgende Formel:

$\langle n(E)\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E-\mu )}-1}}$

mit

• dem chemischen Potential $\mu$, welches für Bosonen stets kleiner als der niedrigste mögliche Energiewert ist: $\mu <E$;
  daher ist die Bose-Einstein-Statistik nur für Energiewerte $E-\mu >0$ definiert.
• der Energienormierung $\beta$. Die Wahl von $\beta$ hängt von der verwendeten Temperaturskala ab:
  • üblicherweise wird sie gewählt zu $\beta =1/(k_{\mathrm {B} }T)$ mit der Boltzmann-Konstanten $k_{\mathrm {B} }$;
  • sie beträgt $\beta =1/T$, wenn die Temperatur in Energieeinheiten, etwa Joule, gemessen wird; dies geschieht, wenn $k_{\mathrm {B} }$ auch in der Definition der Entropie – welche dann einheitenlos ist – nicht auftaucht.

Unterhalb einer sehr tiefen kritischen Temperatur $T_{\lambda }$ erhält man bei Wechselwirkungsfreiheit – unter der Annahme, dass $\mu \,$ gegen das Energie-Minimum strebt – die Bose-Einstein-Kondensation.

Man beachte, dass es sich bei $\langle n(E)\rangle$ um die Besetzungszahl eines Quantenzustandes handelt. Benötigt man die Besetzungszahl eines entarteten Energieniveaus, so ist obiger Ausdruck zusätzlich mit dem entsprechenden Entartungsgrad $g_{i}=2s+1$ zu multiplizieren ($s\,$: Spin, bei Bosonen immer ganzzahlig), vgl. auch Multiplizität.

Herleitung aus einem Minimum der freien Energie

Aus der Bedingung, dass im thermischen Gleichgewicht (bei konstanter Temperatur $T$, Teilchenzahl $N$ und Volumen $V$) die freie Energie

$F=E-TS\qquad (1)$

ein Minimum annimmt, kann die Bose-Einstein-Statistik mit wenigen Annahmen hergeleitet werden. Es sei $N$ die Gesamtzahl aller Bosonen und $N_{i}$ die Anzahl Bosonen im Energieniveau $E_{i}$ mit $i=1,2,\dots ,I$, d. h. die $N$ Bosonen seien über die Energieniveaus $E_{i}$ verteilt. $D_{i}$ sei die Anzahl der möglichen Zustände im Energieniveau $E_{i}$, d. h. die Energieniveaus $E_{1},E_{2},\dots ,E_{I}$ seien jeweils $D_{1},D_{2},\dots ,D_{I}$ -fach entartet. Für den Makrozustand des Systems ist es unerheblich, welche der $N$ Bosonen sich im $i$-ten Energieniveau befinden und welche der $D_{i}$ Zustände sie darin besetzen. Der Makrozustand wird daher vollständig durch $N_{1},N_{2},\dots ,N_{I}$ bestimmt.

Für eine beliebige Verteilung der Bosonen auf die Energieniveaus gilt:

${\begin{aligned}N&=\sum _{i=1}^{I}N_{i}&\qquad (2)\\E&=\sum _{i=1}^{I}N_{i}E_{i}&\qquad (3)\\S&=k_{\rm {B}}\ln W.&\qquad (4)&\end{aligned}}$

Gleichung (2) gibt die Gesamtzahl der Bosonen wieder, die konstant gehalten werden soll, während die einzelnen $N_{i}$ variiert werden, um das Minimum von $F$ zu erreichen. Gleichung (3) gibt die zur vorliegenden Verteilung gehörende Energie $E$ des Systems an. Gleichung (4) ist (nach Ludwig Boltzmann) die Entropie des Zustands des Systems (Makrozustand), wobei $\textstyle W=\prod _{i=1}^{I}W_{i}$ die Wahrscheinlichkeit für die Besetzungszahlen $N_{1},N_{2},\dots ,N_{I}$ angibt, d. h. die Anzahl der möglichen Verteilungen (Mikrozustände) von jeweils $N_{i}$ Bosonen auf die Plätze $D_{i}$ für alle Energieniveaus $i=1,2,\dots ,I$. Aus Gleichung (4) folgt damit:

$S=k_{\rm {B}}\ln \prod _{i=1}^{I}W_{i}=k_{\rm {B}}\sum _{i=1}^{I}\ln W_{i}.\qquad (5)$

Dabei gibt der Binomialkoeffizient

$W_{i}={\binom {N_{i}+D_{i}-1}{N_{i}}}={\frac {(N_{i}+D_{i}-1)!}{N_{i}!(D_{i}-1)!}}$

die Anzahl der Möglichkeiten an, dass $N_{i}$ Teilchen ohne Beachtung der Reihenfolge das $D_{i}$-fach entartete Energieniveau $E_{i}$ zu besetzen (Kombination mit Wiederholung von $N_{i}$ Teilchen).

Mit Hilfe der beiden ersten dominierenden Glieder der Stirling-Reihe ($\ln k!\approx k\ln k-k$ für $k\to \infty$) und $N_{i}>>1,D_{i}>>1$ ergibt sich weiter

${\begin{aligned}\ln W_{i}&=\ln(N_{i}+D_{i}-1)!-\ln N_{i}!-\ln(D_{i}-1)!\\&\approx (N_{i}+D_{i}-1)\ln(N_{i}+D_{i}-1)-(N_{i}+D_{i}-1)-N_{i}\ln N_{i}+N_{i}-(D_{i}-1)\ln(D_{i}-1)+(D_{i}-1)\\&=(N_{i}+D_{i}-1)\ln(N_{i}+D_{i}-1)-N_{i}\ln N_{i}-(D_{i}-1)\ln(D_{i}-1).\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (6)\\\end{aligned}}$

Um die Verteilung zu finden, bei der die freie Energie $F$ unter der Nebenbedingung $N=\mathrm {const}$, aber $N_{i}$ variabel, minimal wird, kann die Methode der Lagrange-Multiplikatoren benutzt werden:

${\frac {\partial F}{\partial N_{i}}}-\lambda {\frac {\partial N}{\partial N_{i}}}=0\qquad$ für $i=1,2,3\dots I.\qquad (7)$

Darin ist $\lambda$ der (von $i$ unabhängige) Lagrange-Multiplikator. Hierbei gilt für die partiellen Ableitungen ${\frac {\partial N}{\partial N_{i}}}=1$ und ${\frac {\partial E}{\partial N_{i}}}=E_{i}$, da jedes $N_{i}$ genau einmal linear in der Summe von Gleichung (2) bzw. (3) vorkommt. Da $N_{i}$ nur Variable von $W_{i}$, aber nicht von $W_{j}$ mit $j\neq i$ ist, vereinfacht sich die Summe von Gleichung (5) durch die partielle Ableitung nach $N_{i}$ wie folgt: ${\frac {\partial S}{\partial N_{i}}}=k_{\rm {B}}{\frac {\partial \ln W_{i}}{\partial N_{i}}}$.

Damit ergibt sich aus Gleichung (1) und (7):

$\lambda ={\frac {\partial F}{\partial N_{i}}}={\frac {\partial E}{\partial N_{i}}}-T{\frac {\partial S}{\partial N_{i}}}=E_{i}-k_{\rm {B}}T{\frac {\partial \ln W_{i}}{\partial N_{i}}}.\qquad (8)$

Die partielle Ableitung ${\frac {\partial \ln W_{i}}{\partial N_{i}}}$ kann aus Gl. (6) mit $N_{i}>>1$ berechnet werden:

${\begin{aligned}{\frac {\partial \ln W_{i}}{\partial N_{i}}}&\approx \ln(N_{i}+D_{i}-1)+1-\ln N_{i}-1\\&=\ln(N_{i}+D_{i}-1)-\ln N_{i}\\&=\ln(D_{i}/N_{i}+1-1/N_{i})\\&\approx \ln(D_{i}/N_{i}+1).\\\end{aligned}}$

Damit ergibt sich aus Gleichung (8)

$\lambda =E_{i}-k_{\rm {B}}T\ln(D_{i}/N_{i}+1)$.

Einsetzen der durch $f_{i}:={\frac {N_{i}}{D_{i}}}$ gegebenen Besetzungswahrscheinlichkeit $f_{i}$ und Umstellung ergibt

$f_{i}={\frac {1}{\exp {\frac {E_{i}-\lambda }{k_{\rm {B}}T}}-1}}$.

Dies ist die Bose-Einstein-Statistik. Der Lagrange-Multiplikator erweist sich als ihr chemisches Potential $\mu =\lambda$.

Literatur

• U. Krey, A. Owen: Basic Theoretical Physics – a Concise Overview. Springer, Berlin//Heidelberg/New York 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 (auf Englisch).
• L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Statistische Physik. Verlag Harri Deutsch (ehem. Akademie Verlag), Berlin 1987 (verwendet unübliche Temperatureinheit).

Einzelnachweise

• Walter Greiner, Ludwig Neise, Horst Stöcker: Thermodynamics and Statistical Mechanics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1997, ISBN 0-387-94299-8 (englisch).  insbes. S. 310–313

• Marcelo Alonso, Edward J. Finn: Fundamental University Physics, Vol. III, Quantum and Statistical Physics. Addison-Wesley Publishing Company, Massachusetts 1968 (englisch). QRSTUV-DA-89876; insbes. Kap. 13.2, S. 519; Kap. 13.5, S. 529

Siehe auch

• Fermi-Dirac-Statistik
• Boltzmann-Statistik

Weblinks

Commons: Bose-Einstein-Statistik – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
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