Differentiaali- ja integraalilaskenta

Differentiaali- ja integraalilaskenta on derivaatan ja integraalin käsitteeseen perustuva matematiikan haara, joka kehittyi algebrasta ja geometriasta. Sen kaksi keskeisintä laskutoimitusta ovat derivointi ja integrointi, jotka ovat toistensa käänteislaskutoimituksia. Differentiaali- ja integraalilaskennassa tutkitaan puhtaimmillaan jatkuvien funktioiden arvojen muuttumista.

Englannin kielessä differentiaali- ja integraalilaskenta tunnetaan nimellä calculus (suora suomennos olisi kalkyyli) . Se on analyysin osa-alue .

Differentiaali- ja integraalilaskennan keksivät Isaac Newton ja Gottfried Leibniz 1600-luvun lopulla.

Differentiaali- ja integraalilaskennan sovelluksia

Differentiaali- ja integraalilaskentaa käytetään kaikilla fysikaalisten tieteiden aloilla, tietojenkäsittelytieteessä, tilastotieteessä, lääketieteessä ja taloustieteessä. Se on yleinen menetelmä matemaattisesti muotoillun ongelman optimaalisen ratkaisun löytämiseen.

Esimerkkejä tyypillisistä differentiaali- ja integraalilaskennan ongelmista ovat:

• matemaattisten käyrien ääriarvojen selvittäminen määrittämällä derivaatan nollakohdat
• pinta-alojen ja tilavuuksien laskenta geometriassa
• differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen

Differentiaali- ja integraalilaskenta suomalaisessa kouluopetuksessa

Kalle Väisälä julkaisi vuonna 1946 lukiota varten Algebran oppi- ja esimerkkikirja II, pitempi kurssi-nimisen oppikirjan, jonka tarkoitus oli "edistää ja helpottaa differentiaali- ja integraalilaskennan alkeiden ottamista oikein toden teolla oppikoulujemme matemaattisen linjan ohjelmaan.". Aluksi näitä kuitenkin opetettiin vain paikallisesti yksittäisten koulujen valinnaiskursseilla. Differentiaaliyhtälöt (kuten differentiaali- ja integraaliaskentakin maanlaajuisesti) tulivat suomalaisiin lukioihin 1960-luvun alussa käytännön tarpeesta, kun aihetta oli alettu käsitellä teknillisten korkeakoulujen valintakokeissa. Aiemmin hakijat joutuivat opiskelemaan alueen itsenäisesti, mitä pidettiin kohtuuttomana. Kurssien laajuus on pitkässä oppimäärässä vaihdellut, esimerkiksi derivoimistehtäviä esiintyi ensimmäisen kerran vuoden 1963 kevään pitkän oppimäärän kokeessa, ja differentiaaliyhtälöt kuuluivat opetukseen ja kirjoitusten oppimäärään vuosina 1967-2003,^lähde? mutta tämänkin jälkeen niitä on opetettu koulukohtaisilla soveltavilla kursseilla. Lyhyestä matematiikasta poistettiin ensin osana suurempaa uudistusta pakollinen integraalilaskenta vuonna 1994 ja samalla differentiaalilaskennan osuutta kevennettiin (tällöin jäivät lyhyestä oppimäärästä kokonaan pois muun muassa integraali-, vektori- sekä raja-arvolaskenta, ja samoin raja-arvolaskennan poisjättämisen vuoksi rajattiin derivaatan määrittely lyhyessä matematiikassa geometriseen, tangentin kulmakertoimeen pohjaavaan määritelmään), kunnes sekin poistettiin pakollisten kurssien aihepiireistä vuonna 2016, jolloin se korvautui talousmatematiikan osuudella siten, että aiemmasta analyysin kurssista tehtiin valinnainen. Vuoden 2021 opetussuunnitelmassa differentiaalilaskennan pakollinen osuus keveni myös pitkässä matematiikassa, kun talousmatematiikka (joka oli alkujaan vuoden 1994 lyhyen matematiikan opetussuunnitelman valinnaiskurssi, jota suositeltiin myös pitkän matematiikan opiskelijoille) tuli pakolliseksi osaksi myös pitkää oppimäärää. Kokonaisuutena lyhyt matematiikka oli aina vuoden 1994 opetussuunnitelmauudistukseen saakka vain pitkän tiivistelmä, aiheiden ollessa identtiset. Tämän jälkeen lyhyttä matematiikkaa on kehitetty hyvin käytännönläheiseen suuntaan niin, että teorian osuus on mahdollisimman kevyt.

Katso myös

• Differentiaaliyhtälö

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.