Rollen lause

Rollen lause on erikoistapaus differentiaalilaskennan Cauchyn väliarvolauseesta, jonka todistuksessa Rollen lausetta hyödynnetään. Lauseen julkaisi ensimmäisenä Michel Rolle vuonna 1691.

Rollen lauseen mukaan suljetulla välillä $[a,b]$ jatkuvan ja avoimella välillä $(a,b)$ derivoituvan funktion derivaatta saa arvon $0$ jossain avoimen välin $(a,b)$ pisteessä $c$ , mikäli funktio saa saman arvon suljetun välin $[a,b]$ päätepisteissä $a$ ja $b$ . ^[1] Tämä voidaan ilmaista formaalisti muodossa

f(a)=f(b)\quad \Longrightarrow \quad \exists \ c\in (a,b):f'(c)=0.

Todistus

Oletuksen nojalla funktio $f$ on jatkuva välillä $[a,b]$ , joten Weierstrassin lauseen mukaan se saa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Jos suurin ja pienin arvo saavutetaan välin päätepisteissä $a$ ja $b$ , niin kyseessä on vakiofunktio ja derivaatta $f'(x)=0$ jokaisessa välin pisteessä.

Oletetaan sitten, että kyseessä ei ole vakiofunktio ja maksimi saavutetaan välin $(a,b)$ pisteessä $x$ . Osoitetaan, että tässä pisteessä $f'(x)=0$ . Käsitellään erikseen vasemman- ja oikeanpuoleiset derivaatat.

(i) Käsitellään ensin vasemmanpuoleiset derivaatat. Jos $y<x$ , niin erotusosamäärälle on voimassa epäyhtälö

{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\geq 0,

sillä osoittaja on positiivinen tai 0, koska $f(x)$ on funktion suurin arvo. Samoin nimittäjä on positiivinen, koska $x-y>0$ . Siten myös erotusosamäärän raja-arvolle eli derivaatalle pätee epäyhtälö

\lim _{y\to x}{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\geq 0.

Tämä perustuu siihen, että funktio $f$ on derivoituva, jolloin sekä vasemman- että oikeanpuoleiset derivaatat ovat olemassa.

(ii) Käsitellään sitten oikeanpuoleiset derivaatat. Jos $y>x$ , niin erotusosamäärälle on voimassa epäyhtälö

{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\leq 0,

sillä osoittaja on positiivinen tai 0, koska $f(x)$ on funktion suurin arvo, ja nimittäjä on negatiivinen, koska $x-y<0$ . Funktion derivaatta toteuttaa nyt epäyhtälön

\lim _{y\to x}{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\leq 0.

(iii) Koska funktio $f$ on derivoituva pisteessä $x$ , niin erotusosamäärän vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen tulee olla yhtäsuuret. Yhtäsuuruus toteutuu vain, kun sekä kohdan (i) että kohdan (ii) raja-arvot ovat nollia. Tästä päätellään, että