„Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Matematikai tételek kategória eltávolítva (a HotCattel) |
aNincs szerkesztési összefoglaló |
||
| (5 közbenső módosítás, amit 4 másik szerkesztő végzett, nincs mutatva) | |||
1. sor:
A [[matematika|matematikában]] a '''Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség''' (illetve angol nyelvterületen ''Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség'', az orosz matematikai irodalomban pedig ''Cauchy–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség'') [[Augustin Cauchy|Augustin Louis Cauchy]]ról, [[Hermann Amandus Schwarz]]ról és [[Viktor Jakovlevics Bunyakovszkij]]ról elnevezett [[Egyenlőtlenség (matematika)|egyenlőtlenség]], mely gyakran használatos az [[Euklideszi tér (lineáris algebra)|euklideszi]] és [[Hilbert-tér|Hilbert-terek]] elméletében, a [[végtelen sorok]] és szorzatok integrálásának elméletében és a [[
Legáltalánosabb formában a (valós vagy komplex számtest feletti) ''V'' euklideszi [[vektortér]] tetszőleges ''x'' és ''y'' elemének <math>\langle x,y\rangle</math> skaláris szorzata [[
:<math>|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle.</math>
Megjegyzendő, hogy egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha ''x'' és ''y'' lineárisan összefüggő.
8. sor:
Euklideszi terekben az alábbi kitüntetett [[Norma (matematika)|norma]] vezethető be:
:<math>||x||=\sqrt{\langle x,x\rangle}</math>
Minthogy az egyenlőtlenség az ''y=0'' esetben fennáll, feltehetjük, hogy <''y'', ''y''> nem nulla. Legyen λ tetszőleges valós (vagy komplex) szám.
:<math> 0 \leq \left\| x-\lambda y \right\|^2
= \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle = \langle x,x \rangle - \overline\lambda \langle x,y \rangle - \lambda \langle y,x \rangle + |\lambda|^2 \langle y,y\rangle. </math>
45. sor:
'''Második bizonyítás.'''
Felhasználva a (kiszorzással látható)
<center><math>\left(\sum a^2_i\right)\left(\sum b^2_i\right)-\left(\sum a_ib_i\right)^2=\sum_{i<j}(a_ib_j-a_jb_i)^2</math></center>
azonosságot, az egyenlőtlenség azonnal adódik.
52. sor:
=== A négyzetesen integrálható valós függvények terében ===
A négyzetesen integrálható valós-valós függvények terének (L<sup>2</sup>) esetén az analízis egy fontos egyenlőtlenségét kapjuk (nevezhetjük így ezt az egyenlőtlenség ''folytonos!'' alakjának). Szemléletesség kedvéért megjegyezzük, hogy ebben az alakban az összeadás helyett integrálás áll, mely valóban azt sugallja, hogy
'''Tétel.''' Ha ''f'' és ''g'' folytonos valós függvények az <math>[a,b]</math> intervallumon, akkor
87. sor:
== Lásd még ==
*[[Hölder-egyenlőtlenség]]
*[[Titu-lemma]] {{Portál|Matematika}}
[[Kategória:Analízis]]
[[Kategória:Egyenlőtlenségek]]
| |||