„Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés

A [[matematika|matematikában]] a '''Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség''' (illetve angol nyelvterületen ''Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség'', az orosz matematikai irodalomban pedig ''Cauchy–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség'') [[Augustin Cauchy|Augustin Louis Cauchy]]ról, [[Hermann Amandus Schwarz]]ról és [[Viktor Jakovlevics Bunyakovszkij]]ról elnevezett [[Egyenlőtlenség (matematika)|egyenlőtlenség]], mely gyakran használatos aaz [[skalárszorzatosEuklideszi tér (lineáris algebra)|euklideszi]] és [[Hilbert-tér|Hilbert-terek]] elméletében, a [[végtelen sorok]] és szorzatok integrálásának elméletében és a [[valószínűség-számításvalószínűségszámítás]]ban.

Legáltalánosabb formában a (valós vagy komplex számtest feletti) ''V'' skalárszorzatoseuklideszi [[vektortér]] tetszőleges ''x'' és ''y'' elemének <math>\langle x,y\rangle</math> skaláris szorzata [[abszolútértékabszolút érték]]ének felső becslésére szolgál:

== Az absztrakt tétel bizonyítása ==

SkalárszorzatosEuklideszi terekben az alábbi kitüntetett [[Norma (matematika)|norma]] vezethető be:

Ezt a jelölést használni is fogjuk. Minthogy az egyenlőtlenség az ''y=0'' esetben fennáll, feltehetjük, hogy <''y'', ''y''> nem nulla. Legyen &lambda;λ tetszőleges valós (vagy komplex) szám. Ekkor

= \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle = \langle x,x \rangle - \overline\lambda \langle x,y \rangle - \lambda \langle y,x \rangle + |\lambda|^2 \langle y,y\rangle. </math>

:<math> = \langlelambda x,x \rangle - \lambda= \langle x,y \rangle - \overline\lambdacdot \langle y,xy \rangle + |\lambda|^2 \langle y,y\rangle. {-1}</math>

amely akkor és csak akkor teljesül, ha

\leq \left\|x\right\| \left\|y\right\|. </math>

== Az egyenlőtlenség speciális alakjai ==

A Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség, attól függően, hogy a ''V'' skalárszorzatos tér mi,választásától függően speciális alakot ölthet.

=== A valós szám n-esek tere ===

Az '''R'''ⁿ [[euklideszi tér (lineáris algebra)|euklideszi vektortér]] esetén (ezt az algebrai megközelítés miatt ''diszkrét'' esetnek is nevezhetjük) az állítás a következőképpen néz ki.

'''Tétel.''' LegyenLegyenek <math>a_1,\dots,a_n</math> és <math>b_1,\dots,b_n</math> valós számok véges sorozatai. Ekkor

<center><math>\big| a_1b_1+\cdots+a_nb_n\big|\leq \sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}\sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}</math></center>

(és egyenlőség csak akkor áll fenn, ha valamelyik sorozat „többszöröse” a másiknak, azaz például <math>b_1=ca_1,\dots,b_n=ca_n</math> valamilyen <i>''c</i>'' valós számra).

'''Első bizonyítás.''' Ha tehát <math>a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n</math> valós számok, akkor minden valós <i>''x</i>''-re

teljesül. Ezeket az egyenlőtlenségeket <math>i=1,\dots,n</math>-re összeadva azt kapjuk, hogy minden valós <i>''x</i>''-re igaz lesz

<center><math>(a_1^2+\cdots+a^2_n)x^2-2(a_1b_1+\cdots a_nb_n)x+(b_1^2+\cdots+b^2_n)\geq 0.</math></center>

Ez csak úgy lehet, ha a szereplő másodfokú polinom diszkriminánsa nempozitív, azaz

amiből átrendezéssel adódik az egyenlőtlenség.

Az egyenlőség esete triviális, hiszen ekkor ''c''-t kiemelve, mindkét oldalon az ''a''_i számok négyzetösszegét kapjuk. [[Quod erat demonstrandum|QED]]

'''Második bizonyítás.'''

<center><math>\left(\sum a^2_i\right)\left(\sum b^2_i\right)-\left(\sum a_ib_i\right)^2=\sum_{i<j}(a_ib_j-a_jb_i)^2</math></center>

azonosságot, az egyenlőtlenség azonnal adódik.

A négyzetesen integrálható valós-valós függvények terének (L²) esetén az analízis egy fontos egyenlőtlenségét kapjuk (nevezhetjük így ezt az egyenlőtlenség ''folytonos!'' alakjának). Szemléletesség kedvéért megjegyezzük, hogy ebben az alakban az összeadás helyett integrálás áll, mely valóban azt sugallja, hogy analízisbananalízisben alkalmazott variáns úgy keletkezik az előző, diszkrét esetből, hogy a véges összeadást, annak végtelen határátmenetével, az integrállal helyettesítjük.

(és egyenlőség csak akkor áll, ha valamelyik függvény többszöröse a másiknak: van olyan <i>''c</i>'' szám, hogy <math>g(x)=cf(x)</math> minden <math>a\le x\leq b</math>-re, vagy fordítva).

=== A háromdimenziós euklideszi tér ===

Amennyiben ''x'' és ''y'' a háromdimenziós koordinátatér vektorait jelölivektorai, akkor a fenti második bizonyítás a következő egyenlőséget adja:

'''Bizonyítás.''' A skaláris és vektoriális szorzás geometriai jellemzéséből adódik, hogy ha &alpha;α az x és y vektor hajlásszöge, akkor az |x|²|y|² szorzat így írható:

:<math>|x|^2|y|^2=|x|^2|y|^2(\,\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)=|x|^2|y|^2\,\cos^2 \alpha + |x|^2|y|^2sin2\sin^2 \alpha</math>

ahol az utolsó egyenlőség után az első tag a skaláris szorzat, a második tag a vektoriális szorzat nagyságának négyzete. Itt tehát felhasználtuk, hogy

== Általánosítása ==

Az egyenlőtlenség általános formája a [[Hölder-egyenlőtlenség]]: ha Legyenek

<math>a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n</math> nemnegatívtetszőleges valóskomplex számok,. Ha <math>p,q>1</math>, továbbá <math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1</math> teljesül, akkor

<center><math>\sum^n_{i=1}|a_ib_i|\leq\left(\sum^n_{i=1}a|a_i|^p_ip \right)^{1/p}\left(\sum^n_{i=1}b|b_i|^q_iq\right)^{1/q}.