Cauchy-féle integráltétel

A Cauchy-féle integráltétel (vagy másként a komplex analízis főtétele) a komplex függvénytan alapvető jelentőségű tétele. Azt mondja ki, hogy egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett komplex deriválható függvény zárt görbe mentén vett integrálja 0.

A tétel állítása

Legyen f: U $\to$ C nyílt halmazon értelmezett komplex differenciálható függvény, T ⊆ U egyszeresen összefüggő zárt és korlátos halmaz és legyen γ olyan rektifikálható zárt görbe, mely T határát paraméterezi. Ekkor

$\oint \limits _{\gamma }f(z)dz=0.$

A tételt először Cauchy bizonyította abban a formában, hogy feltette, f parciális deriváltjai folytonosak. Később Goursat igazolta, hogy ez a feltétel elhagyható. Goursat eredménye azért volt áttörés a komplex analízis történetében, mert kiderült, hogy a fenti tétel segítségével igazolható, hogy minden nyílt halmazon komplex differenciálható függvény deriváltja folytonos, sőt minden ilyen függvény analitikus, azaz végtelenszer differenciálható és Taylor-sora előállítja magát a függvényt. A nyílt halmazon komplex differenciálható függvények elméletében tehát elegendő a végtelen helyett egyetlen differenciálhatósági osztállyal foglalkozni.

Példa és ellenpélda

Ha egy komplex függvénynek van primitívfüggvénye, akkor a Newton–Leibniz-tétel miatt ennek minden zárt görbére vett integrálja nulla. Például

$f(z)={\frac {1}{z^{2}}}$

Primitív függvénye

$F(z)=-{\frac {1}{z}}$

tehát minden a 0-t fel nem vevő γ:[a,b] $\to$ C görbére:

$\int \limits _{\gamma }{\frac {1}{z^{2}}}\;\mathrm {d} z=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))=0$

hiszen γ(a)=γ(b).

A Cauchy-tétel azt mondja, hogy a körintegrál nulla volta akkor is bekövetkezhet, ha nincs feltétlenül a komplex függvénynek primitív függvénye, de reguláris és egyszeresen összefüggő tartományt hurkol körül a zárt görbe. Az

$f(z)={\frac {1}{z}}\,$

függvénynek nincs globális primitívfüggvénye (hisz a logaritmus lenne az, ami a komplexeken nem egyértékű), ám reguláris és ha a nullát körül nem hurkoló görbére vesszük az integrálját, akkor az Cauchy tétele szerint nulla lesz. Például

$\int \limits _{|z-2i|=1}{\frac {1}{z}}\,\mathrm {d} z=0$

mert itt a görbe a 2i középponttú, egységsugarú körív, míg

$\int \limits _{|z|=1}{\frac {1}{z}}\,\mathrm {d} z=\mathrm {ln} (e^{2\pi i})-\mathrm {ln} (e^{0})=2\pi i\neq 0$

ahol e⁰ és e^2πi ugyanannak a pontnak a logaritmus egymást követő két Riemann-levelén paraméterezett alakja.

Hivatkozások

• Járai Antal, Modern alkalmazott analízis, Typotex Kiadó, 2007, ISBN 978-963-9664-47-0, ISSN 1788-1811
• Komornik Vilmos: Valós analízis előadások I-II. Typotex Kiadó, 2003. ISBN 963-9548-21-9, ISBN 963-9548-22-7