Az integrálszámítás tágabb értelemben a matematika analízis nevű ágának a része, újabb és szűkebb értelemben azonban csak a primitív függvények meghatározásának módszertanát és technikáit értjük alatta. Eredeti tárgykörét a 20. században jelentős eredményekkel gazdagított mérték - és integrálelmélet fogadta magába.
A matematikában az integrál Riemann-féle integrál fogalmát értjük, és az integrálszámítás szűkebb értelemben vett célja valós függvények primitív függvényeinek meghatározása, és ezek alkalmazása különféle (például geometriai és statikai) problémák megoldásában.
Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket.
∫
x
n
d
x
{\displaystyle \int x^{n}\,dx}
=
x
n
+
1
n
+
1
+
c
{\displaystyle ={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c}
(
x
∈
R
,
n
∈
N
)
{\displaystyle (x\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N} )}
∫
x
α
d
x
{\displaystyle \int x^{\alpha }\,dx}
=
x
α
+
1
α
+
1
+
c
{\displaystyle ={\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}+c}
(
x
∈
R
+
,
−
1
≠
α
∈
R
)
{\displaystyle (x\in \mathbb {R} ^{+},-1\neq \alpha \in \mathbb {R} )}
∫
1
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx}
=
ln
|
x
|
+
c
{\displaystyle =\,\ln |x|+c}
(
0
≠
x
∈
R
)
{\displaystyle (0\neq x\in \mathbb {R} )}
∫
e
x
d
x
{\displaystyle \int e^{x}\,dx}
=
e
x
+
c
{\displaystyle =\,e^{x}+c}
(
x
∈
R
)
{\displaystyle (x\in \mathbb {R} )}
∫
a
x
d
x
{\displaystyle \int a^{x}\,dx}
=
a
x
ln
a
+
c
{\displaystyle ={\frac {a^{x}}{\ln a}}+c}
(
x
∈
R
,
1
≠
a
∈
R
+
)
{\displaystyle (x\in \mathbb {R} ,1\neq a\in \mathbb {R} ^{+})}
∫
sin
x
d
x
{\displaystyle \int \sin x\,dx}
=
−
cos
x
+
c
{\displaystyle =-\cos x\,+c}
(
x
∈
R
)
{\displaystyle (x\in \mathbb {R} )}
∫
cos
x
d
x
{\displaystyle \int \cos x\,dx}
=
sin
x
+
c
{\displaystyle =\sin x\,+c}
(
x
∈
R
)
{\displaystyle (x\in \mathbb {R} )}
∫
1
sin
2
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{\sin ^{2}x}}\,dx}
=
−
c
t
g
x
+
c
{\displaystyle =-\mathrm {ctg} \,x\,+c}
(
k
π
≠
x
∈
R
,
k
∈
Z
)
{\displaystyle (k\pi \neq x\in \mathbb {R} ,k\in \mathbb {Z} )}
∫
1
cos
2
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{\cos ^{2}x}}\,dx}
=
t
g
x
+
c
{\displaystyle =\mathrm {tg} \,x\,+c}
(
k
π
2
≠
x
∈
R
,
k
∈
Z
)
{\displaystyle ({\frac {k\pi }{2}}\neq x\in \mathbb {R} ,k\in \mathbb {Z} )}
∫
s
h
x
d
x
{\displaystyle \int \mathrm {sh} \,x\,dx}
=
c
h
x
+
c
{\displaystyle =\mathrm {ch} \,x\,+c}
(
x
∈
R
)
{\displaystyle (x\in \mathbb {R} )}
∫
c
h
x
d
x
{\displaystyle \int \mathrm {ch} \,x\,dx}
=
s
h
x
+
c
{\displaystyle =\mathrm {sh} \,x\,+c}
(
x
∈
R
)
{\displaystyle (x\in \mathbb {R} )}
∫
1
s
h
2
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}x}}\,dx}
=
−
c
t
h
x
+
c
{\displaystyle =-\mathrm {cth} \,x\,+c}
(
0
≠
x
∈
R
)
{\displaystyle (0\neq x\in \mathbb {R} )}
∫
1
c
h
2
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}x}}\,dx}
=
t
h
x
+
c
{\displaystyle =\mathrm {th} \,x\,+c}
(
x
∈
R
)
{\displaystyle (x\in \mathbb {R} )}
∫
1
1
+
x
2
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx}
=
a
r
c
t
g
x
+
c
{\displaystyle =\mathrm {arc\,tg} \,x\,+c}
(
x
∈
R
)
{\displaystyle (x\in \mathbb {R} )}
∫
1
1
−
x
2
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{1-x^{2}}}\,dx}
=
1
2
ln
|
x
+
1
x
−
1
|
+
c
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {x+1}{x-1}}\right|+c}
=
{
a
r
t
h
x
+
c
(
1
>
|
x
|
∈
R
)
a
r
c
t
h
x
+
c
(
1
<
|
x
|
∈
R
)
{\displaystyle =\left\{{\mathrm {ar\,th} \,x+c\quad (1>|x|\in \mathbb {R} ) \atop \mathrm {ar\,cth} \,x+c\quad (1<|x|\in \mathbb {R} )}\right.}
∫
1
1
−
x
2
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx}
=
a
r
c
s
i
n
x
+
c
{\displaystyle =\mathrm {arc\,sin} x\,+c}
(
1
>
|
x
|
∈
R
)
{\displaystyle (1>|x|\in \mathbb {R} )}
∫
1
1
+
x
2
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\,dx}
=
a
r
s
h
x
+
c
{\displaystyle =\mathrm {ar\,sh} \,x+c}
(
x
∈
R
)
{\displaystyle (x\in \mathbb {R} )}
∫
1
x
2
−
1
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\,dx}
=
ln
|
x
+
x
2
−
1
|
+
c
{\displaystyle =\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+c}
=
{
a
r
c
h
x
+
c
(
1
<
x
∈
R
)
−
a
r
c
h
(
−
x
)
+
c
(
1
>
x
∈
R
)
{\displaystyle =\left\{\;{\mathrm {ar\,ch} \,x+c\quad \quad (1<x\in \mathbb {R} ) \atop \!-\mathrm {ar\,ch} (-x)+c\quad (1>x\in \mathbb {R} )}\right.}
A tagonkénti integrálás az integrálandó lineáris kifejezések széttagolhatóságát jelenti, a következő műveleti tulajdonságok folytán:
Additivitás
Összegfüggvény (különbségfüggvény) primitív függvénye a tagok primitív függvényeinek összege (különbsége).
∫
(
f
(
x
)
±
g
(
x
)
)
d
x
=
∫
f
(
x
)
d
x
±
∫
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int (f(x)\pm g(x))\,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx}
Homogenitás
Függvény konstansszorosának primitív függvénye a függvény primitív függvényének konstansszorosa.
∫
c
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int c\,f(x)\,dx=c\int f(x)\,dx}
Tagonként integrálható függvények például a polinomfüggvények .
A vizsgált intervallumon folytonosan differenciálható f és g függvények esetén
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∫
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)\,g'(x)\,dx=f(x)\,g(x)-\int f'(x)\,g(x)\,dx}
Parciálisan integrálhatók például a sinn x, cosn x, ex n x n P(x) valós polinomfüggvény esetén parciálisan integrálható:
P
(
x
)
e
x
f
(
x
)
=
P
(
x
)
,
g
′
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle P(x)\,e^{x}\qquad f(x)=P(x),\ g'(x)=e^{x}}
P
(
x
)
ln
x
f
(
x
)
=
ln
x
,
g
′
(
x
)
=
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)\ln x\qquad f(x)=\ln x,\ g'(x)=P(x)}
P
(
x
)
sin
x
f
(
x
)
=
P
(
x
)
,
g
′
(
x
)
=
sin
x
{\displaystyle P(x)\sin x\qquad f(x)=P(x),\ g'(x)=\sin x}
P
(
x
)
cos
x
f
(
x
)
=
P
(
x
)
,
g
′
(
x
)
=
cos
x
{\displaystyle P(x)\cos x\qquad f(x)=P(x),\ g'(x)=\cos x}
P
(
x
)
a
r
c
s
i
n
x
f
(
x
)
=
a
r
c
s
i
n
x
,
g
′
(
x
)
=
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)\,\mathrm {arc\,sin} \;x\qquad f(x)=\mathrm {arc\,sin} \;x,\ g'(x)=P(x)}
P
(
x
)
a
r
c
t
g
x
f
(
x
)
=
a
r
c
t
g
x
,
g
′
(
x
)
=
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)\,\mathrm {arc\,tg} \;x\qquad f(x)=\mathrm {arc\,tg} \;x,\ g'(x)=P(x)}
A vizsgált intervallumon folytonos f és folytonosan differenciálható g függvény esetén, ha F = ∫ f(x) dx, akkor
∫
f
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
d
x
=
F
(
g
(
x
)
)
+
C
{\displaystyle \int f(g(x))\,g'(x)\,dx=F(g(x))+C}
Megjegyzés. A helyettesítést az f ( g(x) ) g'(x) alakú integrandus esetén konkrétan is elvégezhetjük, ha bevezetjük a t = g(x) új integrálási változót. Ennek differenciálja pont dt = g'(x) dx, így ekkor az integrál ∫ f(t) dt alakot ölt:
∫
f
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
d
x
=
∫
f
(
t
)
d
t
|
t
=
g
(
x
)
=
F
(
t
)
|
t
=
g
(
x
)
+
C
=
F
(
g
(
x
)
)
+
C
{\displaystyle \int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\left.\int f(t)\,dt\,\right|_{t=g(x)}=F(t){\Big |}_{t=g(x)}+C=F(g(x))+C}
Nevezetes alesetek:
Egy valós változóból és valós számokból a négy alapművelettel képzett, végső soron két polinom hányadosaként előálló
R
(
x
)
{\displaystyle \,R(x)}
racionális törtfüggvény integrálása a következő lépésekben történhet:
A valós együtthatós racionális
R
(
x
)
{\displaystyle \,R(x)}
maradékos osztással az
R
(
x
)
=
r
(
x
)
+
P
(
x
)
Q
(
x
)
{\displaystyle R(x)=r(x)+{\frac {P(x)}{Q(x)}}}
P
(
x
)
{\displaystyle \,P(x)}
Q
(
x
)
{\displaystyle \,Q(x)}
A
Q
(
x
)
{\displaystyle \,Q(x)}
főpolinomok egyértelműen előálló szorzatára bontjuk:
Q
(
x
)
=
a
0
(
x
−
a
1
)
k
1
⋯
(
x
−
a
n
)
k
n
(
x
2
−
b
1
x
−
c
1
)
l
1
⋯
(
x
2
−
b
m
x
−
c
m
)
l
m
{\displaystyle Q(x)=a_{0}(x-a_{1})^{k_{1}}\cdots (x-a_{n})^{k_{n}}(x^{2}-b_{1}x-c_{1})^{l_{1}}\cdots (x^{2}-b_{m}x-c_{m})^{l_{m}}}
A
P
(
x
)
Q
(
x
)
{\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}
Q
(
x
)
{\displaystyle \,Q(x)}
parciális törtek összegére bontjuk fel:
P
(
x
)
Q
(
x
)
=
A
11
x
−
a
1
+
A
12
(
x
−
a
1
)
2
+
⋯
+
A
1
k
1
(
x
−
a
1
)
k
1
+
⋯
{\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {A_{11}}{x-a_{1}}}+{\frac {A_{12}}{(x-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {A_{1k_{1}}}{(x-a_{1})^{k_{1}}}}+\cdots }
⋯
+
A
n
1
x
−
a
n
+
A
n
2
(
x
−
a
n
)
2
+
⋯
+
A
n
k
n
(
x
−
a
n
)
k
n
+
{\displaystyle \cdots +{\frac {A_{n1}}{x-a_{n}}}+{\frac {A_{n2}}{(x-a_{n})^{2}}}+\cdots +{\frac {A_{nk_{n}}}{(x-a_{n})^{k_{n}}}}+}
+
B
11
x
+
C
11
x
2
+
b
1
x
+
c
1
+
⋯
+
B
1
l
1
x
+
C
1
l
1
(
x
2
+
b
1
x
+
c
1
)
l
1
+
⋯
{\displaystyle +{\frac {B_{11}x+C_{11}}{x^{2}+b_{1}x+c_{1}}}+\cdots +{\frac {B_{1l_{1}}x+C_{1l_{1}}}{(x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{l_{1}}}}+\cdots }
⋯
+
B
m
1
x
+
C
m
1
x
2
+
b
m
x
+
c
m
+
⋯
+
B
m
l
m
x
+
C
m
l
m
(
x
2
+
b
m
x
+
c
m
)
l
m
{\displaystyle \cdots +{\frac {B_{m1}x+C_{m1}}{x^{2}+b_{m}x+c_{m}}}+\cdots +{\frac {B_{ml_{m}}x+C_{ml_{m}}}{(x^{2}+b_{m}x+c_{m})^{l_{m}}}}}
A parciális törtek
A
i
j
,
B
i
j
,
C
i
j
{\displaystyle \,A_{ij},B_{ij},C_{ij}}
lineáris egyenletrendszer megoldásával számíthatók ki.
A parciális törtekre bontott kifejezést tagonként integráljuk a következő összefüggések alapján:
∫
A
x
−
a
d
x
=
A
ln
|
x
−
a
|
{\displaystyle \int {\frac {A}{x-a}}\,dx=A\ln |x-a|}
∫
A
(
x
−
a
)
k
d
x
=
A
(
1
−
k
)
(
x
−
a
)
k
−
1
(
1
<
k
∈
N
)
{\displaystyle \int {\frac {A}{(x-a)^{k}}}\,dx={\frac {A}{(1-k)(x-a)^{k-1}}}\quad (1<k\in \mathbb {N} )}
∫
B
x
+
C
x
2
+
b
x
+
c
d
x
=
B
2
ln
|
x
2
+
b
x
+
c
|
+
C
−
B
b
2
c
−
b
2
4
arctan
x
+
b
2
c
−
b
2
4
{\displaystyle \int {\frac {Bx+C}{x^{2}+bx+c}}\,dx={\frac {B}{2}}\ln |x^{2}+bx+c|+{\frac {C-{\frac {Bb}{2}}}{\sqrt {c-{\frac {b^{2}}{4}}}}}\,\arctan {\frac {x+{\frac {b}{2}}}{\sqrt {c-{\frac {b^{2}}{4}}}}}}
∫
B
x
+
C
(
x
2
+
b
x
+
c
)
l
d
x
=
B
2
(
x
2
+
b
x
+
c
)
1
−
l
1
−
l
+
(
C
−
B
b
2
)
∫
1
(
x
2
+
b
x
+
c
)
l
{\displaystyle \int {\frac {Bx+C}{(x^{2}+bx+c)^{l}}}\,dx={\frac {B}{2}}{\frac {(x^{2}+bx+c)^{1-l}}{1-l}}+\left(C-{\frac {Bb}{2}}\right)\int {\frac {1}{(x^{2}+bx+c)^{l}}}}
I
l
=
∫
1
(
t
2
+
1
)
l
{\displaystyle I_{l}=\int {\frac {1}{(t^{2}+1)^{l}}}}
redukciós formula segítségével számíthatunk ki:
I
l
=
1
2
l
−
2
t
(
t
2
+
1
)
l
−
1
+
2
l
−
3
2
l
−
2
I
l
−
1
{\displaystyle I_{l}={\frac {1}{2l-2}}{\frac {t}{(t^{2}+1)^{l-1}}}+{\frac {2l-3}{2l-2}}I_{l-1}}
Trigonometrikus függvényekből és valós számokból a négy alapművelettel képzett
R
(
sin
x
,
cos
x
)
{\displaystyle \,R(\sin x,\cos x)}
t
=
tan
x
2
{\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}}}
A helyettesítésből
sin
x
=
2
t
1
+
t
2
{\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}}}
cos
x
=
1
−
t
2
1
+
t
2
{\displaystyle \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}
d
x
=
2
1
+
t
2
d
t
{\displaystyle dx={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt}
Az exponenciális függvényből és valós számokból a négy alapművelettel képzett
R
(
e
x
)
{\displaystyle \,R(e^{x})}
t
=
e
x
{\displaystyle \,t=e^{x}}
A helyettesítésből
d
x
=
1
t
d
t
{\displaystyle dx={\frac {1}{t}}\,dt}
Hiperbolikus függvényekből és valós számokból a négy alapművelettel képzett
R
(
sinh
x
,
cosh
x
)
{\displaystyle \,R(\sinh x,\cosh x)}
t
=
tanh
x
2
{\displaystyle t=\tanh {\frac {x}{2}}}
A helyettesítésből
sinh
x
=
2
t
1
−
t
2
{\displaystyle \sinh x={\frac {2t}{1-t^{2}}}}
cosh
x
=
1
+
t
2
1
−
t
2
{\displaystyle \cosh x={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}}
d
x
=
2
1
−
t
2
d
t
{\displaystyle dx={\frac {2}{1-t^{2}}}\,dt}
Minthogy azonban a hiperbolikus függvények voltaképpen speciális exponenciális függvények, az exponenciális függvények integrálási módszere is alkalmazható rájuk.
A négy alapműveleten kívül gyökvonást vagy törtkitevőt is tartalmazó irracionális kifejezések integrálása a megfelelő helyettesítéssel sok esetben szintén visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására. A legfontosabb esetek a következők:
R
(
x
,
a
2
−
x
2
)
{\displaystyle R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})}
x
a
=
sin
t
{\displaystyle {\frac {x}{a}}=\sin t}
R
(
x
,
a
2
+
x
2
)
{\displaystyle R(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}})}
x
a
=
sinh
t
{\displaystyle {\frac {x}{a}}=\sinh t}
R
(
x
,
x
2
−
a
2
)
{\displaystyle R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})}
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
x
a
=
cosh
t
{\displaystyle {\frac {x}{a}}=\cosh t}
x
≤
0
{\displaystyle x\leq 0}
x
a
=
−
cosh
t
{\displaystyle {\frac {x}{a}}=-\cosh t}
R
(
x
p
1
q
1
,
…
,
x
p
n
q
n
)
{\displaystyle R(x^{\frac {p_{1}}{q_{1}}},\dots ,x^{\frac {p_{n}}{q_{n}}})}
x
=
t
q
{\displaystyle \,x=t^{q}}
q
{\displaystyle \,q}
q
1
,
…
,
q
n
{\displaystyle q_{1},\dots ,q_{n}}
legkisebb közös többszöröse .
R
(
x
,
a
x
2
+
b
x
+
c
)
{\displaystyle R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
t
±
x
a
(
a
>
0
)
{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t\pm x{\sqrt {a}}\qquad (a>0)}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
t
x
±
c
(
c
>
0
)
{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=tx\pm {\sqrt {c}}\qquad (c>0)}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
t
(
x
−
x
0
)
,
{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t(x-x_{0}),}
x
0
{\displaystyle \,x_{0}}
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle \,ax^{2}+bx+c}
Az
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}
határozott integrál geometriai jelentése : az
x
=
a
{\displaystyle x=a}
x
=
b
{\displaystyle x=b}
y
=
0
{\displaystyle y=0}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
x tengely alá eső területrészt az integrál negatív előjellel számolja). Ebből következik, hogy az
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
x
=
b
{\displaystyle x=b}
|
∫
a
b
[
f
(
x
)
−
g
(
x
)
]
d
x
|
{\displaystyle \left|\int \limits _{a}^{b}[f(x)-g(x)]\,dx\right|}
Az
x
=
x
(
t
)
{\displaystyle x=x(t)}
y
=
y
(
t
)
{\displaystyle y=y(t)}
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle t\in [a,b]}
paraméteres alakban megadott görbe alatti terület:
∫
a
b
|
x
′
(
t
)
y
(
t
)
|
d
t
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}|x'(t)y(t)|\,dt}
Az
x
=
x
(
t
)
{\displaystyle x=x(t)}
y
=
y
(
t
)
{\displaystyle y=y(t)}
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle t\in [a,b]}
1
2
∫
a
b
[
x
(
t
)
y
′
(
t
)
−
x
′
(
t
)
y
(
t
)
]
d
t
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[x(t)y'(t)-x'(t)y(t)]\,dt}
Az
r
=
r
(
φ
)
{\displaystyle r=r(\varphi )}
φ
∈
[
α
,
β
]
{\displaystyle \varphi \in [\alpha ,\beta ]}
1
2
∫
α
β
r
2
(
φ
)
d
φ
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \limits _{\alpha }^{\beta }r^{2}(\varphi )\,d\varphi }
Ha az
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
∫
a
b
1
+
[
f
′
(
x
)
]
2
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}
Az
x
=
x
(
t
)
{\displaystyle x=x(t)}
y
=
y
(
t
)
{\displaystyle y=y(t)}
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle t\in [a,b]}
∫
a
b
[
x
′
(
t
)
]
2
+
[
y
′
(
t
)
]
2
d
t
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}\,dt}
Az
r
=
r
(
φ
)
{\displaystyle r=r(\varphi )}
φ
∈
[
α
,
β
]
{\displaystyle \varphi \in [\alpha ,\beta ]}
∫
α
β
[
r
(
φ
)
]
2
+
[
r
′
(
φ
)
]
2
d
φ
{\displaystyle \int \limits _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {[r(\varphi )]^{2}+[r'(\varphi )]^{2}}}\,d\varphi }
Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
π
∫
a
b
f
2
(
x
)
d
x
{\displaystyle \pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx}
Az
x
=
x
(
t
)
{\displaystyle x=x(t)}
y
=
y
(
t
)
{\displaystyle y=y(t)}
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle t\in [a,b]}
x tengely körüli megforgatásával nyert forgástest térfogata:
π
∫
a
b
y
2
(
t
)
x
′
(
t
)
d
t
{\displaystyle \pi \int _{a}^{b}y^{2}(t)\,x'(t)\,dt}
Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
2
π
∫
a
b
f
(
x
)
1
+
[
f
′
(
x
)
]
2
d
x
{\displaystyle 2\pi \int \limits _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}
Az
x
=
x
(
t
)
{\displaystyle x=x(t)}
y
=
y
(
t
)
{\displaystyle y=y(t)}
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle t\in [a,b]}
x tengely körüli megforgatásával nyert forgástest palástjának felszíne:
2
π
∫
a
b
y
(
t
)
[
x
′
(
t
)
]
2
+
[
y
′
(
t
)
]
2
d
t
{\displaystyle 2\pi \int \limits _{a}^{b}y(t){\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}\,dt}
Az
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
a és b abszcisszájú pontok által határolt ívének a súlypontja:
x
s
=
∫
a
b
x
1
+
[
f
′
(
x
)
]
2
d
x
∫
a
b
1
+
[
f
′
(
x
)
]
2
d
x
y
s
=
∫
a
b
f
(
x
)
1
+
[
f
′
(
x
)
]
2
d
x
∫
a
b
1
+
[
f
′
(
x
)
]
2
d
x
{\displaystyle x_{s}={\frac {\int \limits _{a}^{b}x{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}{\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}}\qquad y_{s}={\frac {\int \limits _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}{\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}}}
Ugyanezen ív alatti lemez súlypontja:
x
s
=
∫
a
b
x
f
(
x
)
d
x
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
y
s
=
∫
a
b
f
2
(
x
)
d
x
2
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle x_{s}={\frac {\int \limits _{a}^{b}xf(x)\,dx}{\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}}\qquad y_{s}={\frac {\int \limits _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx}{2\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}}}
Az ívet az x tengely körül megforgatva, a kapott forgástest súlypontjának abszcisszája pedig:
x
s
=
∫
a
b
x
f
2
(
x
)
d
x
∫
a
b
f
2
(
x
)
d
x
{\displaystyle x_{s}={\frac {\int \limits _{a}^{b}xf^{2}(x)\,dx}{\int \limits _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx}}}
![{\displaystyle \int [g(x)]^{\alpha }\,g'(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae32c271a86dc803cad31ade2692b6e3367c23c)
![{\displaystyle \ ={\frac {[g(x)]^{\alpha +1}}{\alpha +1}}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7bfd67417d19a7e8b520878d051750a60638cbf)
![{\displaystyle \left|\int \limits _{a}^{b}[f(x)-g(x)]\,dx\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e70c58cf0a46a8b5febfe788d07e25fe2070b0)
![{\displaystyle t\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f3050ace6dc0dd95250c418528da28eb477ffe)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[x(t)y'(t)-x'(t)y(t)]\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0feb284121648128b827443398bd5cc23cb5cb2)
![{\displaystyle \varphi \in [\alpha ,\beta ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab2a27d67b36035809006d53462aa2c65c2c686b)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3bfd62da3c3c12f895c7eff1efddcd3b56ff879)
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a38cfd469e5a5df93fa08ea10ff47219b0af4f)
![{\displaystyle \int \limits _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {[r(\varphi )]^{2}+[r'(\varphi )]^{2}}}\,d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0798996d600544b3c100087709f92a6c62b70c5)
![{\displaystyle 2\pi \int \limits _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0506ef46e5b8891a8aa40667ca45ea1cc6482440)
![{\displaystyle 2\pi \int \limits _{a}^{b}y(t){\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e68afba6ccf5ec05a08492b56f455afabbd54839)
![{\displaystyle x_{s}={\frac {\int \limits _{a}^{b}x{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}{\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}}\qquad y_{s}={\frac {\int \limits _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}{\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0982a9026f2d47b1d6742b8bf03c0a0951ad1192)
