Bernoulli törvénye

Bernoulli törvénye azt mondja ki, hogy egy közeg áramlásakor (a közeg lehet például víz, de levegő is) a sebesség növelése a nyomás csökkenésével jár. Például, ha valaki egy papírlapot tart vízszintesen tartott tenyere alá és ujjai közé fúj, a papírlap a tenyeréhez tapad. Ennek oka, hogy a levegő sebessége a papír és tenyere közötti résben felgyorsul, nyomása lecsökken, a lap alatti nyomás azt a tenyeréhez szorítja. A Bernoulli-törvény pontosabban azt mondja ki, hogy áramló közegben egy áramvonal mentén a különböző energia-összetevők összege állandó. A törvényt a holland-svájci matematikus és természettudós Daniel Bernoulliról nevezték el, noha ezt már korábban felismerte a szintén bázeli Leonhard Euler és mások.

Bernoulli egyenletei

A Bernoulli-egyenleteknek két különböző formája van, az egyik összenyomhatatlan közeg áramlására, a másik összenyomható közeg áramlására alkalmazható.

Összenyomhatatlan közeg

A Bernoulli-törvény szemléltetése vízzel

Állandó földi nehézségi gyorsulás esetén (ezzel számolhatunk a Földön kis magasságkülönbségek mellett) az eredeti alak:

${v^{2} \over 2}+gh+{p \over \rho }=\mathrm {konstans}$

v = közeg sebessége az áramvonal mentén

g = földi nehézségi gyorsulás

h = magasság tetszőleges ponttól a gravitáció irányában

p = nyomás az áramvonal mentén

$\rho$ = a közeg sűrűsége

A fenti egyenlet érvényességének feltétele:

• Viszkozitás (belső súrlódás) nélküli közeg
• Stacionárius, vagy időben állandósult áramlás
• Összenyomhatatlan közeg; $\rho$ = állandó az áramvonal mentén. Megengedett azonban, hogy a sűrűség az egyes áramvonalak között változzék.
• Általában az egyenlet egy adott áramvonal mentén érvényes. Állandó sűrűségű potenciálos áramlás esetén azonban igaz az áramlás minden pontjára.

A nyomás csökkenését a sebesség növekedésével, ahogy az a fenti egyenletből következik, Bernoulli törvényének szokás hívni.

Az egyenletet ebben az alakjában először Leonhard Euler vezette le.

Összenyomható közeg

A Bernoulli-törvény szemléltetése levegővel

Az egyenlet általánosabb alakja összenyomható közegekre írható fel, amely esetben egy áramvonal mentén:

${v^{2} \over 2}+\phi +w=\mathrm {konstans}$

ahol

$\phi \,$ = az egységnyi tömegre eső helyzeti energia, $\phi =gh\,$ állandó nehézségi gyorsulás esetén

$w\,$ = a közeg egységnyi tömegére eső entalpiája

Megjegyezzük, hogy

$w=\epsilon +{\frac {p}{\rho }}$ ahol $\epsilon \,$ a közeg egységnyi tömegére eső termodinamikai energia, vagy fajlagos belső energiája.

A jobb oldalon szereplő konstanst gyakran Bernoulli-állandónak hívják és $b$-vel jelölik.

Állandósult súrlódásmentes adiabatikus áramlás esetén (nincs energiaforrás vagy nyelő) $b$ állandó bármely adott áramvonal mentén.

Amikor egy lökéshullám jelentkezik, a lökéshullámon áthaladva a Bernoulli-egyenlet több paramétere hirtelen változást szenved, de maga a Bernoulli-szám változatlan marad.

Levezetése

Összenyomhatatlan közegre

Összenyomhatatlan közegre a Bernoulli-egyenletet az Euler-egyenletek integrálásával vagy az energiamegmaradás törvényéből lehet levezetni, amit egy áramvonal mentén két keresztmetszetre kell alkalmazni, elhanyagolva a viszkozitást és a hőhatásokat.

A legegyszerűbb levezetésnél először a gravitációt is figyelmen kívül hagyjuk és csak a szűkülő és bővülő szakaszok hatását vizsgáljuk egy egyenes csőben. Legyen az x tengely a cső tengelye is egyben.

Egy folyadékrész mozgásegyenlete a cső tengelye mentén:

$m{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}=F$

$\rho A\operatorname {d} x{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}=-A\operatorname {d} p$

$\rho {\frac {dv}{dt}}=-{\frac {dp}{dx}}$

Állandósult áramlás esetén $v=v(x)$, így

${\frac {dv}{dt}}={\frac {dv}{dx}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {dv}{dx}}v={\frac {d}{dx}}{\frac {v^{2}}{2}}$

Ha $\rho$ állandó, a mozgásegyenletet így lehet írni:

${\frac {d}{dx}}\left(\rho {\frac {v^{2}}{2}}+p\right)=0$

vagy

${\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}=C$

ahol a $C$ állandó, ezt néha Bernoulli-állandónak hívják. Látható, hogy ha a sebesség nő, a nyomás csökken. A fenti levezetés folyamán nem hivatkoztunk az energiamegmaradás elvére. Az energiamegmaradást a mozgásmennyiség egyenletének egyszerű átalakításából kaptuk. Az alábbi levezetés tartalmazza a gravitáció figyelembevételét és nem egyenesvonalú áramlás esetén is fennáll, de fel kell tételeznünk, hogy az áramlás súrlódásmentes, nincsenek energiaveszteséget okozó erőhatások.

Egy folyadékrész balról jobbra áramlik. Feltüntettük a nyomást, a magasságot, a sebességet, egy $\Delta t;$ idő alatt megtett (s) utat és a keresztmetszet területét

A munkatételt, avagy a kinetikai energia elvét alkalmazva írható:

a közegre ható erők eredőjének munkája = kinetikai energia megváltozása

A nyomáskülönbségből származó erők munkája:

$F_{1}s_{1}-F_{2}s_{2}=p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t.\;$

A nehézségi erő munkája:

$mgh_{1}-mgh_{2}=\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}-\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}\;$

A kinetikai energia növekedése:

${\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}={\frac {1}{2}}\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}.$

A fentieket összevetve:

$p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t+\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}-\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}={\frac {1}{2}}\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}$

vagy

${\frac {\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}}{2}}+\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}+p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t={\frac {\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}}{2}}+\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}+p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t.$

Mindkét oldalt elosztva $\Delta t$-vel, $\rho$-val és $A_{1}v_{1}$-val (= térfogatáram = $A_{2}v_{2}$, mivel a közeg összenyomhatatlan):

${\frac {v_{1}^{2}}{2}}+gh_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho }}={\frac {v_{2}^{2}}{2}}+gh_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho }}$

vagy, ahogy az első pontban állítottuk:

${\frac {v^{2}}{2}}+gh+{\frac {p}{\rho }}=C$

Leosztva g-vel:

${\frac {v^{2}}{2g}}+h+{\frac {p}{\rho g}}=C$

Egy h magasságból szabadon eső test végsebessége (vákuum esetében):

$v={\sqrt {{2g}{h}}}$ vagy $h={\frac {v^{2}}{2g}}$.

A ${\frac {v^{2}}{2g}}$ kifejezést sebesség magasságnak hívják.

A hidrosztatikai nyomás vagy statikus magasság definíciója:

$p=\rho gh\,$, vagy $h={\frac {p}{\rho g}}$.

A ${\frac {p}{\rho g}}$ kifejezést nyomásmagasságnak is hívják.

Összenyomható közegekre

Összenyomható közegre a levezetés hasonló. A levezetésben ismét felhasználjuk (1) a tömeg és (2) az energia megmaradását. A tömeg megmaradása azt jelenti, hogy a fenti ábrán az $A_{1}$ és az $A_{2}$ keresztmetszeten a $\Delta t$ időintervallum alatt átáramló közeg tömege egyenlő:

$0=\Delta M_{1}-\Delta M_{2}=\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t$.

Az energia megmaradását hasonló módon alkalmazzuk: feltételezzük, hogy az áramcső térfogatában az $A_{1}$ és $A_{2}$ keresztmetszet között az energia változása kizárólag a két határkeresztmetszeten beáramló és eltávozó energiától függ. Egyszerűbben szólva feltételezzük, hogy belső energiaforrás (például rádióaktív sugárzás, vagy kémiai reakció) vagy energiaelnyelés nem áll fenn. Az összenergia változása tehát nulla lesz:

$0=\Delta E_{1}-\Delta E_{2}\,$

ahol $\Delta E_{1}$ és $\Delta E_{2}$ az energia mennyisége, amely az $A_{1}$ keresztmetszeten beáramlik és a $A_{2}$ keresztmetszeten távozik.

A bejövő energia a közeg mozgási energiája, a közeg gravitációs helyzeti energiájának, a közeg termodinamikai energiájának és a $p\,dV$ mechanikai munka alakjában jelentkező energiájának az összege:

$\Delta E_{1}=\left[{\frac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\phi _{1}\rho _{1}+\epsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right]A_{1}v_{1}\,\Delta t$

Hasonló összefüggést lehet felírni a $\Delta E_{2}$-re is. Így behelyettesítve a $0=\Delta E_{1}-\Delta E_{2}$ ezt kapjuk:

$0=\left[{\frac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\phi _{1}\rho _{1}+\epsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right]A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left[{\frac {1}{2}}\rho _{2}v_{2}^{2}+\phi _{2}\rho _{2}+\epsilon _{2}\rho _{2}+p_{2}\right]A_{2}v_{2}\,\Delta t$

amit így át lehet alakítani:

$0=\left[{\frac {1}{2}}v_{1}^{2}+\phi _{1}+\epsilon _{1}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right]\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left[{\frac {1}{2}}v_{2}^{2}+\phi _{2}+\epsilon _{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right]\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t$

Felhasználva a korábbi összefüggést a tömeg megmaradásra, így lehet egyszerűsíteni:

${\frac {1}{2}}v^{2}+\phi +\epsilon +{\frac {p}{\rho }}={\rm {konstans}}\equiv b$

Ez a Bernoulli-egyenlet összenyomható közegre.

Irodalom

• Budó Ágoston (1967): Kísérleti Fizika I. Tankönyvkiadó, Budapest

További információk

• Bernoulli-törvénye és a barackok – YouTube videó a törvényt szemléltető egyik kísérletről