Lihat sumber Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

'''Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz''', atau dikenal juga sebagai '''pertidaksamaan Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz''',<ref>{{cite web|last1=O'Connor|first1=J.J.|last2=Robertson|first2=E.F.|title=Hermann Amandus Schwarz|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Schwarz/|website=[[University of St Andrews]], Scotland}}</ref><ref name="EncyclopediaOfMath">{{springer|id=b/b017770|title=Bunyakovskii inequality|first=V. I.|last=Bityutskov}}</ref><ref>{{cite web|last=Ćurgus|first=Branko|title=Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality|url=http://faculty.wwu.edu/curgus/Courses/Math_pages/Math_504/Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky.html|website=Western Washington University|department=Department of Mathematics}}</ref><ref>{{cite web|last=Joyce|first=David E.|title=Cauchy's inequality|url=https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/ma130/cauchy.pdf|website=Clark University|department=Department of Mathematics and Computer Science}}</ref> adalah salah satu [[pertidaksamaan]] yang sangat penting dan seringkali dipakai dalam [[matematika]].<ref name="Steele">{{cite book|last=Steele|first=J. Michael|year=2004|url=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/CSMC_index.html|title=The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities|publisher=The Mathematical Association of America|isbn=978-0521546775|page=1|quote=...tak perlu diragukan bahwa ini adalah salah satu pertidaksamaan yang paling sering dipakai dan paling penting dalam semua cabang matematika.|url-status=live}}</ref>
 
Pertidaksamaan untuk penjumlahan diterbitkan oleh {{harvs|first=Augustin-Louis|last=Cauchy|authorlink=Augustin-Louis Cauchy|year=1821|txt=yes}}, sedangkan pertidaksamaan untuk integral pertama kali dibuktikan oleh {{harvs|txt=yes|authorlink=Viktor Bunyakovsky |year=1859|first=Viktor|last=Bunyakovsky}}<ref name="EncyclopediaOfMath" /> dan {{harvs|txt=yes|authorlink=Hermann Amandus Schwarz|first=Hermann Amandus|last=Schwarz|year=1888}}. Bukti modern untuk versi integral diberikan oleh Schwarz.<ref name="Steele" />

== Pernyataan pertidaksamaan ==
Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz mengatakan bahwa untuk semua vektor <math>\mathbf{u}</math> dan <math>\mathbf{v}</math> dari [[ruang hasil kali dalam]] berlaku benar bahwa{{NumBlk|:|<math>\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle^2 \leq \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \cdot \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle,</math>|{{EquationRef|Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz [yang ditulis hanya menggunakan hasil kali dalam]}}}}dengan <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> adalah [[hasil kali dalam]]. Setiap hasil kali dalam menimbulkan [[Norma (matematika)|norma]], yang disebut sebagai [[Hasil kali dalam#Norma|norma terimbas]] dengan norma dari vektor <math>\mathbf{u}</math> dinyatakan dan didefinisikan dengan:<math display="block">\|\mathbf{u}\| := \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}</math>sehingga norma dan hasil kali dalam tersebut berkaitan dengan mendefinisikan syarat bahwa <math>\|\mathbf{u}\|^2 = \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle,</math> dengan <math>\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle</math> selalu bernilai real non-negatif (bahkan jika hasil kali dalamnya bernilai kompleks). Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, pertidaksamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih familiar:<ref name="Strang5">{{cite book|last=Strang|first=Gilbert|date=19 July 2005|title=Linear Algebra and its Applications|location=Stamford, CT|publisher=Cengage Learning|isbn=978-0030105678|edition=4th|pages=154–155|chapter=3.2}}</ref><ref name=":0">{{cite book|last1=Hunter|first1=John K.|last2=Nachtergaele|first2=Bruno|year=2001|url=https://books.google.com/books?id=oOYQVeHmNk4C|title=Applied Analysis|publisher=World Scientific|isbn=981-02-4191-7}}</ref>{{NumBlk|:|<math>|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\|  \|\mathbf{v}\|.</math>|{{EquationRef|Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz [yang ditulis menggunakan norma dan hasil kali dalam]}}}}Terlebih lagi, kedua ruas tersebut akan sama jika dan hanya jika <math>\mathbf{u}</math> dan <math>\mathbf{v}</math> adalah vektor yang [[Bebas linear|tergantung linear]].<ref>{{cite book|last1=Bachmann|first1=George|last2=Narici|first2=Lawrence|last3=Beckenstein|first3=Edward|date=2012-12-06|url=https://books.google.com/books?id=PkHhBwAAQBAJ|title=Fourier and Wavelet Analysis|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9781461205050|page=14}}</ref><ref>{{cite book|last=Hassani|first=Sadri|year=1999|title=Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations|url=https://archive.org/details/mathematicalphys0000hass|publisher=Springer|isbn=0-387-98579-4|page=[https://archive.org/details/mathematicalphys0000hass/page/29 29]|quote=Kesamaan berlaku jika dan hanya jika <c{{pipe}}c>=0 atau {{pipe}}c>=0. Berdasarkan definisi {{pipe}}c>, kita simpulkan bahwa {{pipe}}a> dan {{pipe}}b> harus sebanding.|url-status=live}}</ref><ref>{{cite book|last1=Axler|first1=Sheldon|date=2015|url=https://books.google.com/books?id=CQWwoQEACAAJ|title=Linear Algebra Done Right, 3rd Ed.|publisher=Springer International Publishing|isbn=978-3-319-11079-0|page=172|quote=Pertidaksamaan akan menjadi kesamaan jika dan hanya jika salah astu dari u, v adalah kelipatan skalar dari yang lain.|url-status=live}}</ref>

== Kasus istimewa ==

=== Lema Sadrayakan untuk bilangan real positif ===
[[Pertidaksamaan Sadrayakan|Pertidaksamaan Sedrakyan]], atau disebut pertidaksamaan [[Harald Bergström|Bergström]], bentuk [[Arthur Engel (matematikawan)|Engel]], lema T2, atau lema [[Titu Andreescu|Titu]], mengatakan bahwa untuk [[Bilangan riil|bilangan real]] positif:<math display="block">\frac{\left(\sum_{i=1}^n u_i\right)^2 }{\sum_{i=1}^n v_i} \leq \sum_{i=1}^n \frac{u_i^2}{v_i} \quad \text{atau} \quad \frac{u^2_1}{v_1} + \frac{u^2_2}{v_2} + \cdots + \frac{u^2_n}{v_n} \geq \frac{\left(u_1 + u_2 + \cdots + u_n\right)^2}{v_1 + v_2 + \cdots + v_n}.</math>Pertidaksamaan ini merupakan akibat langsung dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, yang diperoleh dengan menggunakan [[Daab bintik|hasil kali bintik]] di <math>\R^n</math> dengan memasukkan<math display="block">u_i' = \frac{u_i}{\sqrt{v_i}} \text{ dan } v_i' = \sqrt{v_i}.</math> Bentuk ini sangat berguna saat pertidaksamaan tersebut melibatkan pecahan yang mempunyai pembilang berupa [[bilangan kuadrat]].

=== Ruang Euklides dimensi-{{Math|''n''}} ===
Dalam [[ruang Euklides]] <math>\mathbb R ^n</math> dengan hasil kali dalam standar, yaitu [[Darab bintik|hasil kali bintik]], pertidaksamaan Cauchy–Schwarz ditulis sebagai<math display="block">\left(\sum_{i=1}^n u_i v_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n u_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)</math>Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz dapat dibuktikan dengan menggunakan gagasan [[aljabar elementer]]. Misalkan [[polinomial kuadrat]] di <math>x</math> di bawah berikut adalah:<math display="block">0 \leq (u_1 x + v_1)^2 + \cdots + (u_n x + v_n)^2 = \left( \sum u_i^2 \right) x^2 + 2 \left( \sum u_i v_i \right) x + \sum v_i^2.</math>Pertidaksamaan tersebut setidaknya mempunyai satu buah solusi real untuk <math>x,</math> sebab nilainya tak negatif. Karena itu, [[diskriminan]] dari polinomial lebih kecil daripada sama dengan nol, dalam artian,<math display="block">\left(\sum_i u_i v_i\right)^2 - \left(\sum_i {u_i^2}\right)  \left(\sum_i {v_i^2}\right) \leq 0,</math>

=== Ruang kompleks bidang-{{Math|''n''}} ===
Jika  <math>\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \C^n</math> dengan <math>\mathbf{u} = (u_1,\dots,u_n)</math> dan <math>\mathbf{v} = (v_1,\dots,v_n)</math>, dan <math>u_1,\ldots, u_n\in\mathbb C</math> dan <math>v_1,\ldots, v_n\in\mathbb C</math>; serta jika hasil kali dalam di ruang vektor <math>\C^n</math>merupakan hasil kali dalam kompleks kanonis (yang didefinisikan dengan <math>\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle := u_1 \overline{v_1} + \cdots + u_{n} \overline{v_n},</math> dengan notasi bar pada rumus tersebut melambangkan [[konjugasi sekawan]]), maka terdapat sebuah pertidaksamaan yang dapat dinyatakan lebih eksplisit sebagai berikut:<math display="block">\left| \sum_{i=1}^n u_i \bar{v}_i \right|^2 \leq \sum_{j=1}^n |u_j|^2 \sum_{k=1}^n |v_k|^2,</math>atau dengan kata lain,<math display="block">|u_1\bar{v}_1 + \cdots + u_n \bar{v}_n|^2 \leq (|u_1|^2 + \cdots + |u_n|^2) (|v_1|^2 + \cdots + |v_n|^2).</math>

=== {{Math|''L''<sup>2</sup>}} ===
Untuk hasil kali dalam dari fungsi bernilai kompleks [[Fungsi terintegralkan kuadrat|terintegralkan kuadrat]], didapat pertidaksamaan berikut

: <math>\left|\int_{\mathbb{R}^n} f(x) \overline{g(x)}\,dx\right|^2 \leq \int_{\mathbb{R}^n} |f(x)|^2\,dx \int_{\mathbb{R}^n} |g(x)|^2 \,dx.</math>

Pertidaksamaan di atas ini dapat diperumum menjadi [[pertidaksamaan Hölder]].

== Lihat pula ==

* {{annotated link|Pertidaksamaan Bessel}}
* {{annotated link|Pertidaksamaan Hölder}}
* {{annotated link|Pertidaksamaan Jensen}}
* {{annotated link|Pertidaksamaan Kunita–Watanabe}}
* {{annotated link|Pertidaksamaan Minkowski}}
* {{annotated link|Pertidaksamaan Paley–Zygmund}}

== Kutipan ==
{{div col|colwidth=30em}}
<references />
{{div col end}}
[[Kategori:Analisis matematika]]
[[Kategori:Aljabar linear]]
[[Kategori:Augstin-Louis Cauchy]]
[[Kategori:Pertidaksamaan]]
[[Kategori:Pertidaksamaan probabilistik]]
[[Kategori:Teori operator]]

== Referensi ==
{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{citation|first1=J. M.|last1=Aldaz|first2=S.|last2=Barza|first3=M.|last3=Fujii|first4=M. S.|last4=Moslehian|title=Advances in Operator Cauchy—Schwarz inequalities and their reverses|journal=Annals of Functional Analysis|volume=6|year=2015|issue=3|pages=275–295|doi=10.15352/afa/06-3-20|url=http://projecteuclid.org/euclid.afa/1429286046}}
* {{citation|first=Viktor|last=Bunyakovsky|author-link=Viktor Yakovlevich Bunyakovsky|title=Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finies|journal=Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg|volume=7|issue=1|year=1859|pages=6|url=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/bunyakovsky.pdf}}
* {{citation|first=A.-L.|last=Cauchy|title=Sur les formules qui résultent de l'emploie du signe et sur > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités|journal=Cours d'Analyse, 1er Partie: Analyse Algébrique 1821; OEuvres Ser.2 III 373-377|year=1821}}
* {{citation|first=S. S.|last=Dragomir|title=A survey on Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz type discrete inequalities|journal=Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics|volume=4|issue=3|year=2003|pages=142 pp|url=http://jipam.vu.edu.au/article.php?sid=301|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20080720034744/http://jipam.vu.edu.au/article.php?sid=301|archive-date=2008-07-20}}
*{{Citation|last1=Grinshpan|first1=A. Z.|title=General inequalities, consequences, and applications|doi=10.1016/j.aam.2004.05.001|year=2005|journal=Advances in Applied Mathematics|volume=34|issue=1|pages=71–100|doi-access=free}}
* {{Halmos A Hilbert Space Problem Book 1982}} <!-- {{sfn|Halmos|1982|pp=}} -->
* {{citation|first=R. V.|last=Kadison|author-link=Richard V. Kadison|title=A generalized Schwarz inequality and algebraic invariants for operator algebras|journal=Annals of Mathematics|volume=56|year=1952|doi=10.2307/1969657|pages=494–503|jstor=1969657|issue=3}}.
* {{Citation|last=Lohwater|first=Arthur|title=Introduction to Inequalities|publisher=Online e-book in PDF format|url=http://www.mediafire.com/file/1mw1tkgozzu|year=1982}}
* {{citation|first=V.|last=Paulsen|title=Completely Bounded Maps and Operator Algebras|publisher=Cambridge University Press|year=2003}}.
* {{citation|first=H. A.|last=Schwarz|year=1888|pages=318|journal=Acta Societatis Scientiarum Fennicae|volume=XV|title=Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung|url=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/Schwarz.pdf}}
* {{springer|title=Cauchy inequality|id=C/c020880|first=E. D.|last=Solomentsev}}
* {{citation|url=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/CSMC_index.html|first=J. M.|last=Steele|title=The Cauchy–Schwarz Master Class|publisher=Cambridge University Press|year=2004|isbn=0-521-54677-X}}
{{refend}}