Бином

Бином

Дефиниција: Бином е полином со 2 членови, т.е. збир на два мономи.

Примери за биноми

$3x+2$

$3y^{2}-z$

$2a+5$

${\sqrt {3}}-{\frac {x^{2}}{2}}$

Познати формули за множење на два биноми

${(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}$

${(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$

${(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$

Формулата: (a+b)(a-b) = a² - b²

Пр.1: a=3, b=4	Oд формулата:	$(3+4)(3-4)=3^{2}-4^{2}=9-16=-7$
	Без формула:	$(3+4)(3-4)=7\cdot (-1)=-7$
Пр.2: a=5, b=1	Oд формулата:	$(5+1)(5-1)=5^{2}-1^{2}=25-1=24$
	Без формула:	$(5+1)(5-1)=6\cdot 4=24$
Пр.3: a=1, b=xy	Oд формулата:	$(1+xy)(1-xy)=1^{2}-(xy)^{2}=1-x^{2}y^{2}$
	Проверка за неколку вредности на х и у х у $(1+xy)(1-xy)$ $1-x^{2}y^{2}$ 0 0 $(1+0\cdot 0)(1-0\cdot 0)=1$ $1-0^{2}\cdot 0^{2}=1$ 0 1 $(1+0\cdot 1)(1-0\cdot 1)=1$ $1-0^{2}\cdot 1^{2}=1$ 1 2 $(1+1\cdot 2)(1-1\cdot 2)=-3$ $1-1^{2}\cdot 2^{2}=-3$ -2 -2 $(1+(-2)\cdot (-2))(1-(-2)\cdot (-2))=-15$ $1-0^{2}\cdot (-2)^{2}=-15$ 3 -8 $(1+3\cdot (-8))(1-3\cdot (-8))=-575$ $1-3^{2}\cdot (-8)^{2}=-575$ ${\sqrt {2}}$ -2,5 ${\begin{array}{*{20}{c}}{(1+{\sqrt {2}}\cdot -2,5))(1-{\sqrt {2}}\cdot ((-2,5))}\\{\approx -2,5535\cdot 4,5535=-11,5}\end{array}}$ $1-({\sqrt {2}})^{2}\cdot (-2,5)^{2}=-11,5$

Формулата: (a+b)² = a² + 2ab + b² - Бином на квадрат

Големиот квадрат е со страна $a+b$ . Следува, плоштината на овој квадрат е $A=(a+b)^{2}$. Плоштините на помалите правоаголници. Плоштината на лилавиот квадрат е $a^{2}$. Плоштината на плавиот квадрат е $b^{2}$ . Плоштината на секој од двата жолти правоаголници е $ab$. Овие 4 "подплоштини" се собираат до А. Следува $(a+b)^{2}=A=a^{2}+b^{2}+2ab$ , т.е. формулата за бином на квадрат!

Пр.1: a=3, b=4	Oд формулата:	$(3+4)^{2}=3^{2}+2\cdot 3\cdot 4+4^{2}=9+24+16=49$
Без формула:	$(3+4)^{2}=7^{2}=49$
Пр.2: a=5, b=1	Oд формулата:	$(5+1)^{2}=5^{2}+2\cdot 5\cdot 1+1^{2}=25+10+1=36$
Без формула:	$(5+1)^{2}=6^{2}=36$
Пр.3 a=x, b=3	Oд формулата:	$(x+3)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot 3+3^{2}=x^{2}+6x+9$
Проверка за неколку вредности х $(x+3)^{2}$ $x^{2}+6x+9$ 1 $(1+3)^{2}=4^{2}=16$ $1^{2}+6\cdot 1+9=1+6+9=16$ 5 $(5+3)^{2}=8^{2}=64$ $5^{2}+6\cdot 5+9=25+30+9=64$ -1 $((-1)+3)^{2}=2^{2}=4$ $(-1)^{2}+6\cdot (-1)+9=1-6+9=4$ -0,5 $((-0,5)+3)^{2}=2,5^{2}=6,25$ $(-0,5)^{2}+6\cdot (-0,5)+9=0,25-3+9=6,25$ ${\sqrt {3}}$ $({\sqrt {3}}+3)^{2}\approx 4,732^{2}\approx 22,39$ $({\sqrt {3}})^{2}+6\cdot ({\sqrt {3}})+9\approx 3+10,39+9=22,39$

Пазете:(a+b)² ≠ a²+b²

Пр.1: a=3, b=4	Лева страна	$(a+b)^{2}=(3+4)^{2}=7^{2}=49$	$49\neq 25$
	Десна страна	$a^{2}+b^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25$
Пр.2: a=5, b=1	Лева страна	$(a+b)^{2}=(5+1)^{2}=6^{2}=36$	$36\neq 26$
	Десна страна	$a^{2}+b^{2}=5^{2}+1^{2}=25+1=26$

Формулата: (a-b)² = a² - 2ab + b²

Геометриски доказ на (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 (без звук)

Пр.1: a=3, b=4	Oд формулата:	$(3-4)^{2}=(3)^{2}-2\cdot 3\cdot 4+4^{2}=9-24+16=1$
	Без формула:	$(3-4)^{2}=(-1)^{2}=1$
Пр.2: a=5, b=1	Oд формулата:	$(5-1)^{2}=5^{2}-2\cdot 5\cdot 1+1^{2}=25-10+1=16$
	Без формула:	$(5-1)^{2}=4^{2}=16$
Пр.3: a=2x, b=5	Oд формулата:	$(2x-5)^{2}=(2x)^{2}-2\cdot 2x\cdot 5+5^{2}=4x^{2}-20x+25$
	Проверка за неколку вредности х $(2x-5)^{2}$ $4x^{2}-20x+25$ 1 $(2\cdot 1-5)^{2}=(-3)^{2}=9$ $4\cdot 1^{2}-20\cdot 1+25=4-20+25=9$ 2 $(2\cdot 2-5)^{2}=(-1)^{2}=1$ $4\cdot 2^{2}-20\cdot 2+25=16-40+25=1$ -1 $(2\cdot (-1)-5)^{2}=(-7)^{2}=49$ $4\cdot (-1)^{2}-20\cdot (-1)+25=4+20+25=49$ 0,5 $(2\cdot (0,5)-5)^{2}=(-4)^{2}=16$ $4\cdot (0,5)^{2}-20\cdot (0,5)+25=4\cdot 0,25-10+25=16$ $-{\sqrt {3}}$ $(2\cdot (-{\sqrt {3}})-5)^{2}$ $\approx (-3,46-5)^{2}\approx 71,64$ $4\cdot (-{\sqrt {3}})^{2}-20\cdot (-{\sqrt {3}})+25$ $\approx 16\cdot 3+34,64+25=71,64$

Литература

• http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial
• http://www.basic-mathematics.com/definition-of-a-polynomial.html

Други референци

• моном (математичко образование)
• полином (математичко образование)
• алгебарски израз (математичко образование)
• линеарна функција (математичко образование)
• линеарна равенка (математичко образование)