Од Википедија — слободната енциклопедија
Избришана содржина Додадена содржина
Ред 359:
Ред 359:
==Надворешни врски==
==Надворешни врски==
*{{Наведена мрежна страница|url=http://ucimatematika.weebly.com/1058107710841072-3-10551086108310801085108610841080.html|title=8-мо Тема3 (Работни листови)|last=Златковска|first=Снежана| year=2010|language=македонски|accessdate=декември 2014}}
*{{Наведена мрежна страница|url=http://ucimatematika.weebly.com/1058107710841072-3-10551086108310801085108610841080.html|title=8-мо Тема3 (Работни листови)|last=Златковска|first=Снежана| year=2010|language=македонски|accessdate=1 декември 2014}}
*{{Наведена мрежна страница|url=http://www.e-matematika.mk/algebra/algebarski_racionalni_izrazi| title=Алгебарски рационални изрази| year=2010|language=македонски|accessdate=декември 2014}}
*{{Наведена мрежна страница|url=http://www.e-matematika.mk/algebra/algebarski_racionalni_izrazi| title=Алгебарски рационални изрази| year=2010|language=македонски|accessdate=1 декември 2014}}
*{{Наведена мрежна страница|url=http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Binom| title=Бином| last1=Стојановска|first1=Л.| year=2010|language=македонски|accessdate=декември 2014}}
*{{Наведена мрежна страница|url=http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Binom| title=Бином| last1=Стојановска|first1=Л.| year=2010|language=македонски|accessdate=1 декември 2014}}
[[Категорија:Математичко образование]]
[[Категорија:Математичко образование]]
Преработка од 15:12, 30 јули 2020
Бином (или двочлен полином ) е полином со 2 членови, т.е. збир на два мономи .[ 1] [ 2] [ 3] [ 4]
Примери за биноми
3
x
+
2
{\displaystyle 3x+2}
3
y
2
−
z
{\displaystyle 3y^{2}-z}
2
a
+
5
{\displaystyle 2a+5}
3
−
x
2
2
{\displaystyle {\sqrt {3}}-{\frac {x^{2}}{2}}}
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle {(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}}
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle {(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}}
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle {(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}}
a +b )(a -b ) = a 2 - b 2
Пр.1:
Oд формулата:
(
3
+
4
)
(
3
−
4
)
=
3
2
−
4
2
=
9
−
16
=
−
7
{\displaystyle (3+4)(3-4)=3^{2}-4^{2}=9-16=-7}
Без формула:
(
3
+
4
)
(
3
−
4
)
=
7
⋅
(
−
1
)
=
−
7
{\displaystyle (3+4)(3-4)=7\cdot (-1)=-7}
Пр.2:
Oд формулата:
(
5
+
1
)
(
5
−
1
)
=
5
2
−
1
2
=
25
−
1
=
24
{\displaystyle (5+1)(5-1)=5^{2}-1^{2}=25-1=24}
Без формула:
(
5
+
1
)
(
5
−
1
)
=
6
⋅
4
=
24
{\displaystyle (5+1)(5-1)=6\cdot 4=24}
Пр.3:
Oд формулата:
(
1
+
x
y
)
(
1
−
x
y
)
=
1
2
−
(
x
y
)
2
=
1
−
x
2
y
2
{\displaystyle (1+xy)(1-xy)=1^{2}-(xy)^{2}=1-x^{2}y^{2}}
Проверка за неколку вредности на х и у
х
у
(
1
+
x
y
)
(
1
−
x
y
)
{\displaystyle (1+xy)(1-xy)}
1
−
x
2
y
2
{\displaystyle 1-x^{2}y^{2}}
0
0
(
1
+
0
⋅
0
)
(
1
−
0
⋅
0
)
=
1
{\displaystyle (1+0\cdot 0)(1-0\cdot 0)=1}
1
−
0
2
⋅
0
2
=
1
{\displaystyle 1-0^{2}\cdot 0^{2}=1}
0
1
(
1
+
0
⋅
1
)
(
1
−
0
⋅
1
)
=
1
{\displaystyle (1+0\cdot 1)(1-0\cdot 1)=1}
1
−
0
2
⋅
1
2
=
1
{\displaystyle 1-0^{2}\cdot 1^{2}=1}
1
2
(
1
+
1
⋅
2
)
(
1
−
1
⋅
2
)
=
−
3
{\displaystyle (1+1\cdot 2)(1-1\cdot 2)=-3}
1
−
1
2
⋅
2
2
=
−
3
{\displaystyle 1-1^{2}\cdot 2^{2}=-3}
-2
-2
(
1
+
(
−
2
)
⋅
(
−
2
)
)
(
1
−
(
−
2
)
⋅
(
−
2
)
)
=
−
15
{\displaystyle (1+(-2)\cdot (-2))(1-(-2)\cdot (-2))=-15}
1
−
0
2
⋅
(
−
2
)
2
=
−
15
{\displaystyle 1-0^{2}\cdot (-2)^{2}=-15}
3
-8
(
1
+
3
⋅
(
−
8
)
)
(
1
−
3
⋅
(
−
8
)
)
=
−
575
{\displaystyle (1+3\cdot (-8))(1-3\cdot (-8))=-575}
1
−
3
2
⋅
(
−
8
)
2
=
−
575
{\displaystyle 1-3^{2}\cdot (-8)^{2}=-575}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
-2,5
(
1
+
2
⋅
−
2
,
5
)
)
(
1
−
2
⋅
(
(
−
2
,
5
)
)
≈
−
2
,
5535
⋅
4
,
5535
=
−
11
,
5
{\displaystyle {\begin{array}{*{20}{c}}{(1+{\sqrt {2}}\cdot -2,5))(1-{\sqrt {2}}\cdot ((-2,5))}\\{\approx -2,5535\cdot 4,5535=-11,5}\end{array}}}
1
−
(
2
)
2
⋅
(
−
2
,
5
)
2
=
−
11
,
5
{\displaystyle 1-({\sqrt {2}})^{2}\cdot (-2,5)^{2}=-11,5}
a +b )2 = a 2 + 2a b + b 2
Големиот квадрат е со страна
a
+
b
{\displaystyle a+b}
.
Следува, плоштината на овој квадрат е
A
=
(
a
+
b
)
2
{\displaystyle A=(a+b)^{2}}
Плоштините на помалите правоаголници.
Плоштината на лилавиот квадрат е
a
2
{\displaystyle a^{2}}
Плоштината на плавиот квадрат е
b
2
{\displaystyle b^{2}}
Плоштината на секој од двата жолти правоаголници е
a
b
{\displaystyle ab}
Овие 4 "подплоштини" се собираат до А.
Следува
(
a
+
b
)
2
=
A
=
a
2
+
b
2
+
2
a
b
{\displaystyle (a+b)^{2}=A=a^{2}+b^{2}+2ab}
, т.е. формулата за бином на квадрат!
Пр.1:
Oд формулата:
(
3
+
4
)
2
=
3
2
+
2
⋅
3
⋅
4
+
4
2
=
9
+
24
+
16
=
49
{\displaystyle (3+4)^{2}=3^{2}+2\cdot 3\cdot 4+4^{2}=9+24+16=49}
Без формула:
(
3
+
4
)
2
=
7
2
=
49
{\displaystyle (3+4)^{2}=7^{2}=49}
Пр.2:
Oд формулата:
(
5
+
1
)
2
=
5
2
+
2
⋅
5
⋅
1
+
1
2
=
25
+
10
+
1
=
36
{\displaystyle (5+1)^{2}=5^{2}+2\cdot 5\cdot 1+1^{2}=25+10+1=36}
Без формула:
(
5
+
1
)
2
=
6
2
=
36
{\displaystyle (5+1)^{2}=6^{2}=36}
Пр.3
Oд формулата:
(
x
+
3
)
2
=
x
2
+
2
⋅
x
⋅
3
+
3
2
=
x
2
+
6
x
+
9
{\displaystyle (x+3)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot 3+3^{2}=x^{2}+6x+9}
Проверка за неколку вредности
х
(
x
+
3
)
2
{\displaystyle (x+3)^{2}}
x
2
+
6
x
+
9
{\displaystyle x^{2}+6x+9}
1
(
1
+
3
)
2
=
4
2
=
16
{\displaystyle (1+3)^{2}=4^{2}=16}
1
2
+
6
⋅
1
+
9
=
1
+
6
+
9
=
16
{\displaystyle 1^{2}+6\cdot 1+9=1+6+9=16}
5
(
5
+
3
)
2
=
8
2
=
64
{\displaystyle (5+3)^{2}=8^{2}=64}
5
2
+
6
⋅
5
+
9
=
25
+
30
+
9
=
64
{\displaystyle 5^{2}+6\cdot 5+9=25+30+9=64}
-1
(
(
−
1
)
+
3
)
2
=
2
2
=
4
{\displaystyle ((-1)+3)^{2}=2^{2}=4}
(
−
1
)
2
+
6
⋅
(
−
1
)
+
9
=
1
−
6
+
9
=
4
{\displaystyle (-1)^{2}+6\cdot (-1)+9=1-6+9=4}
-0,5
(
(
−
0
,
5
)
+
3
)
2
=
2
,
5
2
=
6
,
25
{\displaystyle ((-0,5)+3)^{2}=2,5^{2}=6,25}
(
−
0
,
5
)
2
+
6
⋅
(
−
0
,
5
)
+
9
=
0
,
25
−
3
+
9
=
6
,
25
{\displaystyle (-0,5)^{2}+6\cdot (-0,5)+9=0,25-3+9=6,25}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
(
3
+
3
)
2
≈
4
,
732
2
≈
22
,
39
{\displaystyle ({\sqrt {3}}+3)^{2}\approx 4,732^{2}\approx 22,39}
(
3
)
2
+
6
⋅
(
3
)
+
9
≈
3
+
10
,
39
+
9
=
22
,
39
{\displaystyle ({\sqrt {3}})^{2}+6\cdot ({\sqrt {3}})+9\approx 3+10,39+9=22,39}
Пр.1:
Лева страна
(
a
+
b
)
2
=
(
3
+
4
)
2
=
7
2
=
49
{\displaystyle (a+b)^{2}=(3+4)^{2}=7^{2}=49}
49
≠
25
{\displaystyle 49\neq 25}
Десна страна
a
2
+
b
2
=
3
2
+
4
2
=
9
+
16
=
25
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25}
Пр.2:
Лева страна
(
a
+
b
)
2
=
(
5
+
1
)
2
=
6
2
=
36
{\displaystyle (a+b)^{2}=(5+1)^{2}=6^{2}=36}
36
≠
26
{\displaystyle 36\neq 26}
Десна страна
a
2
+
b
2
=
5
2
+
1
2
=
25
+
1
=
26
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=5^{2}+1^{2}=25+1=26}
a -b )2 = a 2 - 2a b + b 2
Геометриски доказ на (a -b )2 = a 2 - 2a b + b 2 (без звук)
Пр.1:
Oд формулата:
(
3
−
4
)
2
=
(
3
)
2
−
2
⋅
3
⋅
4
+
4
2
=
9
−
24
+
16
=
1
{\displaystyle (3-4)^{2}=(3)^{2}-2\cdot 3\cdot 4+4^{2}=9-24+16=1}
Без формула:
(
3
−
4
)
2
=
(
−
1
)
2
=
1
{\displaystyle (3-4)^{2}=(-1)^{2}=1}
Пр.2:
Oд формулата:
(
5
−
1
)
2
=
5
2
−
2
⋅
5
⋅
1
+
1
2
=
25
−
10
+
1
=
16
{\displaystyle (5-1)^{2}=5^{2}-2\cdot 5\cdot 1+1^{2}=25-10+1=16}
Без формула:
(
5
−
1
)
2
=
4
2
=
16
{\displaystyle (5-1)^{2}=4^{2}=16}
Пр.3:
Oд формулата:
(
2
x
−
5
)
2
=
(
2
x
)
2
−
2
⋅
2
x
⋅
5
+
5
2
=
4
x
2
−
20
x
+
25
{\displaystyle (2x-5)^{2}=(2x)^{2}-2\cdot 2x\cdot 5+5^{2}=4x^{2}-20x+25}
Проверка за неколку вредности
х
(
2
x
−
5
)
2
{\displaystyle (2x-5)^{2}}
4
x
2
−
20
x
+
25
{\displaystyle 4x^{2}-20x+25}
1
(
2
⋅
1
−
5
)
2
=
(
−
3
)
2
=
9
{\displaystyle (2\cdot 1-5)^{2}=(-3)^{2}=9}
4
⋅
1
2
−
20
⋅
1
+
25
=
4
−
20
+
25
=
9
{\displaystyle 4\cdot 1^{2}-20\cdot 1+25=4-20+25=9}
2
(
2
⋅
2
−
5
)
2
=
(
−
1
)
2
=
1
{\displaystyle (2\cdot 2-5)^{2}=(-1)^{2}=1}
4
⋅
2
2
−
20
⋅
2
+
25
=
16
−
40
+
25
=
1
{\displaystyle 4\cdot 2^{2}-20\cdot 2+25=16-40+25=1}
-1
(
2
⋅
(
−
1
)
−
5
)
2
=
(
−
7
)
2
=
49
{\displaystyle (2\cdot (-1)-5)^{2}=(-7)^{2}=49}
4
⋅
(
−
1
)
2
−
20
⋅
(
−
1
)
+
25
=
4
+
20
+
25
=
49
{\displaystyle 4\cdot (-1)^{2}-20\cdot (-1)+25=4+20+25=49}
0,5
(
2
⋅
(
0
,
5
)
−
5
)
2
=
(
−
4
)
2
=
16
{\displaystyle (2\cdot (0,5)-5)^{2}=(-4)^{2}=16}
4
⋅
(
0
,
5
)
2
−
20
⋅
(
0
,
5
)
+
25
=
4
⋅
0
,
25
−
10
+
25
=
16
{\displaystyle 4\cdot (0,5)^{2}-20\cdot (0,5)+25=4\cdot 0,25-10+25=16}
−
3
{\displaystyle -{\sqrt {3}}}
(
2
⋅
(
−
3
)
−
5
)
2
{\displaystyle (2\cdot (-{\sqrt {3}})-5)^{2}}
≈
(
−
3
,
46
−
5
)
2
≈
71
,
64
{\displaystyle \approx (-3,46-5)^{2}\approx 71,64}
4
⋅
(
−
3
)
2
−
20
⋅
(
−
3
)
+
25
{\displaystyle 4\cdot (-{\sqrt {3}})^{2}-20\cdot (-{\sqrt {3}})+25}
≈
16
⋅
3
+
34
,
64
+
25
=
71
,
64
{\displaystyle \approx 16\cdot 3+34,64+25=71,64}
↑ Тренчевски, Констадин; Димовски, Дончо (2002). Математика: за I година за реформираното гимназиско образование . Просветно дело. ISBN 9989-0-0222-3 ↑ „Алгебарски изрази и операции“ . Министерство за информатичко општество. Посетено на january 2014 .↑ Целакоски, Наум; Бакева, Верица; Миладиновиќ, Боривоје; Стефановски, Јове (2010). Математика за I година (за сите струки) . Aлби. стр. 128. ↑ Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics (англиски). Facts on File, New York. стр. 43. ISBN 0-8160-5124-0
