Paradoks Buralego-Fortiego

Paradoks Buralego-Fortiego – twierdzenie odkryte w 1897 roku przez Cesarego Buralego-Fortiego^[1], ucznia Giuseppe Peana, mówiące o tym, iż liczby porządkowe nie tworzą zbioru.

Sformułowanie: Nie istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie liczby porządkowe.

Fakt ten można uzasadnić nie wprost – zakładając, że istnieje zbiór $A,$ którego elementami są wszystkie liczby porządkowe, można dojść do sprzeczności. Istotnie, na mocy aksjomatu zastępowania istnieje podzbiór $B$ tego zbioru, złożony wyłącznie ze wszystkich liczb porządkowych. Z własności działań na liczbach porządkowych, zbiory

\alpha =\bigcup B

i

\alpha \cup \{\alpha \}

są liczbami porządkowymi.

Wówczas $\alpha \in \alpha \cup \{\alpha \}$ oraz $\alpha \cup \{\alpha \}\in B,$ a więc $\alpha \in \bigcup B=\alpha ,$ co jest sprzeczne z aksjomatem regularności i jednocześnie kończy dowód.

Przypisy

↑ Cesare Burali-Forti. Una questione sui numeri transfiniti. „Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo”. 11, s. 154–164, 1897. DOI: 10.1007/BF03015911.

Bibliografia

Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007. ISBN 978-83-01-15232-1.

[1] Cesare Burali-Forti. Una questione sui numeri transfiniti. „Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo”. 11, s. 154–164, 1897. DOI: 10.1007/BF03015911.

[1]