Kryterium Eisensteina

Kryterium Eisensteina (lub kryterium Eisensteina-Schönemanna) – kryterium badania nierozkładalności wielomianów o współczynnikach z pewnego pierścienia z jednoznacznym rozkładem w pierścieniu wielomianów o współczynnikach z ciała ułamków wyjściowego pierścienia. Początkowo sformułowane dla wielomianów o współczynnikach całkowitych. Twierdzenie to zwyczajowo nazywane jest kryterium Eisensteina, jednak pierwszym autorem był Schönemann, który udowodnił je w 1846.

Twierdzenie

Niech $P$ będzie pierścieniem z jednoznacznym rozkładem i niech $K$ będzie jego ciałem ułamków. Niech

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$

będzie wielomianem o współczynnikach z pierścienia $P.$ Jeśli istnieje element pierwszy $p\in P$ taki, że

$p\mid a_{0},p\mid a_{1},\dots ,p\mid a_{n-1},p\nmid a_{n}$ oraz $p^{2}\nmid a_{0},$

to wielomian $f$ jest nierozkładalny w pierścieniu $K[x].$

Szczególny przypadek

Jeśli $P$ jest pierścieniem liczb całkowitych, to jego ciałem ułamków jest ciało liczb wymiernych. Wystarczy wówczas zastąpić zwrot element pierwszy przez liczba pierwsza.

Przykłady

• Wielomian $f(x)=x^{n}+3x+3$ jest nierozkładalny na mocy kryterium Eisensteina dla $p=3.$
• Jeśli $p$ jest liczbą pierwszą, to wielomian

$f(x)={\frac {x^{p}-1}{x-1}}=x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots +x+1$

jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych. Istotnie,

$f(x+1)={\frac {(x+1)^{p}-1}{x}}={\frac {1}{x}}\left(x^{p}+{p \choose 1}x^{p-1}+\ldots +{p \choose {p-1}}x\right)=x^{p-1}+{p \choose 1}x^{p-2}+\ldots +{p \choose {p-1}},$

gdzie $p \choose k$ oznacza symbole Newtona, na przykład ${p \choose {p-1}}=p.$

Wszystkie współczynniki tego wielomianu z wyjątkiem najstarszego są podzielne przez $p,$ ale $p^{2}$ nie dzieli $p,$ zatem z kryterium Eisensteina wynika, że wielomian ten jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych.

Bibliografia

• Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975. Brak numerów stron w książce