Regresja logistyczna

Regresja logistyczna – jedna z metod regresji używanych w statystyce w przypadku, gdy zmienna zależna jest na skali dychotomicznej (przyjmuje tylko dwie wartości). Zmienne niezależne w analizie regresji logistycznej mogą przyjmować charakter nominalny, porządkowy, przedziałowy lub ilorazowy. W przypadku zmiennych nominalnych oraz porządkowych następuje ich przekodowanie w liczbę zmiennych zero-jedynkowych taką samą lub o 1 mniejszą niż liczba kategorii w jej definicji.

Zwykle wartości zmiennej objaśnianej wskazują na wystąpienie lub brak wystąpienia pewnego zdarzenia, które chcemy prognozować. Regresja logistyczna pozwala wówczas na obliczanie prawdopodobieństwa tego zdarzenia (tzw. prawdopodobieństwo sukcesu).

Formalnie model regresji logistycznej jest uogólnionym modelem liniowym (GLM), w którym użyto logitu jako funkcji wiążącej.

Szansa

Regresja logistyczna opiera się na specyficznym sposobie wyrażania prawdopodobieństwa, zwanym szansą (ang. odds).

Zamiast określać prawdopodobieństwo klasycznie, za pomocą stosunku liczby sukcesów do liczby wszystkich prób, oblicza się szansę, czyli stosunek prawdopodobieństwa sukcesu do prawdopodobieństwa porażki.

Można ją łatwo wyliczyć ze zwykłego prawdopodobieństwa:

$Odds={\frac {p}{1-p}}=e^{\alpha }e^{\beta x},$

gdzie:

$\alpha$ – stała regresji dla regresji logistycznej,

$\beta$ – współczynnik regresji logistycznej dla $i$-tej zmiennej niezależnej,

$x$ – zmienna niezależna ($i$-ta).

Istnieje też odwrotne przekształcenie:

$p={\frac {Odds}{1+Odds}}.$

Szansa ma pewną zaletę w porównaniu ze zwykłym zapisem prawdopodobieństwa – przyjmuje dla $0<p<1$ wartości z zakresu $(0,+\infty ),$ a jej logarytm wartości z zakresu $(-\infty ,\infty ).$

Dzięki temu można stosować do szacowania logarytmu szansy metody regresji nie ograniczone do przedziału [0,1] (np. regresję liniową).

Funkcja logit

Funkcja przekształcająca prawdopodobieństwo na logarytm szansy zwana jest logitem i przyjmuje postać:

$\operatorname {logit} (p)=\ln {\frac {p}{1-p}}=\ln(p)-\ln(1-p).$

Funkcja odwrotna to funkcja logistyczna:

$p={\frac {e^{\operatorname {logit} (p)}}{1+e^{\operatorname {logit} (p)}}}={\frac {1}{1+e^{-\operatorname {logit} (p)}}}.$

Model regresji logistycznej

Regresja logistyczna zakłada, że zmienna objaśniana ma rozkład dwupunktowy:

$Y_{i}\ \sim B(p_{i},n_{i}),$   dla $i=1,\dots ,m.$

gdzie liczba prób w procesie Bernoulliego $n_{i}$ jest znana, a prawdopodobieństwo sukcesu $p_{i}$ jest nieznane. Przykładem tej sytuacji jest rozkład odsetka kwiatów, które zakwitną, wśród $n_{i}$ sadzonek.

Model zakłada, że dla każdej próby Bernoulliego (wartość $i$), istnieje zbiór $k$ zmiennych objaśniających, które niosą pewną informację na temat prawdopodobieństwa sukcesu. Te zmienne objaśniające można uważać za $k$-elementowy wektor losowy $X_{i}.$ Model przyjmuje wówczas postać:

$p_{i}=\operatorname {E} \left(\left.{\frac {Y_{i}}{n_{i}}}\right|X_{i}\right).$

Logit nieznanego prawdopodobieństwa sukcesu $p_{i}$ jest modelowany jako liniowa funkcja $X_{i}{:}$

$\operatorname {logit} (p_{i})=\ln \left({\frac {p_{i}}{1-p_{i}}}\right)=\beta _{1}x_{1,i}+\ldots +\beta _{k}x_{k,i}.$

Do modelu można wprowadzić stałą, tworząc zmienną objaśniającą, mającą wszędzie wartość 1, czyli ustawiając $x_{j,i}=1$ dla pewnego $j$ i wszystkich $i.$ Nieznane parametry $\beta _{j}$ są zwykle estymowane metodą największej wiarygodności.

Interpretacją szacowanego parametru $\beta _{j}$ jest addytywny wpływ, jaki ma jednostkowa zmiana zmiennej $j$ na logarytm ilorazu szans (ang. odds ratio), definiowanego jako:

$OR_{AxB}={\frac {\mathbb {S} (A)}{\mathbb {S} (B)}}={\frac {\frac {\mathbb {P} (A)}{1-\mathbb {P} (A)}}{\frac {\mathbb {P} (B)}{1-\mathbb {P} (B)}}}={\frac {\mathbb {P} (A)\cdot (1-\mathbb {P} (B))}{\mathbb {P} (B)\cdot (1-\mathbb {P} (A))}},$

gdzie: $A,B$ to rozpatrywane grupy, $\mathbb {P}$ to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w grupie, a $\mathbb {S}$ to odpowiadająca mu szansa.

W przypadku zmiennych objaśniających na skali dychotomicznej (np. płeć), $e^{\beta }$ jest estymacją szansy, powiedzmy, mężczyzn w porównaniu z kobietami.

Tak zdefiniowany model regresji logistycznej wymaga, aby:

• rozpatrywane obserwacje były od siebie niezależne;
• $logit(p_{i})$ zależał w sposób liniowy od zmiennych objaśniających.

Model posiada równoważne sformułowanie w postaci:

$p_{i}={\frac {1}{1+e^{-(\beta _{1}x_{1,i}+\ldots +\beta _{k}x_{k,i})}}}.$

Ta forma funkcjonalna jest znana jako perceptron lub jednowarstwowa sieć neuronowa.

Inne zastosowania

Model regresji logistycznej posiada także inne odmiany niż modele zmiennych jakościowych dwumianowych. Są to:

• modele zmiennych wielomianowych uporządkowanych,
• modele zmiennych wielomianowych nieuporządkowanych (w tym modele zagnieżdżone i warunkowe).

Podobne modele

Podobną procedurą jest zastosowanie regresji probitowej, w której zamiast funkcji logit stosuje się odwrotną dystrybuantę rozkładu normalnego (tzw. probit). Wielomianowa regresja logistyczna stanowi rozszerzenie regresji logistycznej na sytuacje, w których nominalna zmienna zależna przyjmuje więcej niż dwie wartości.

Zobacz też

• eksploracja danych
• liniowa analiza dyskryminacyjna
• perceptron
• probit
• sieć neuronowa

Bibliografia

• Alan. Agresti: Categorical Data Analysis. Wiley-Interscience, Nowy Jork, 2002. ISBN 0-471-36093-7. Brak numerów stron w książce
• T. Amemiya: Advanced Econometrics. Harvard University Press, 1985. ISBN 0-674-00560-0. Brak numerów stron w książce
• N. Balakrishnan: Handbook of the Logistic Distribution. Marcel Dekker, Inc., 1991. ISBN 978-0-8247-8587-1. Brak numerów stron w książce
• William H. Green: Econometric Analysis, fifth edition. Prentice Hall, 2003. ISBN 0-13-066189-9. Brak numerów stron w książce
• David W. Hosmer: Applied Logistic Regression, 2nd ed. Stanley Lemeshow. Chichester, Wiley, Nowy Jork, 2000. ISBN 0-471-35632-8. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Internetowy kalkulator regresji logistycznej (ang.)
• Pakiet Javy o nazwie Mallet, zawiera moduł regresji logistycznej (ang.)
• Logistic regression (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].