Twierdzenie Engela

Twierdzenie Engela – twierdzenie dające odpowiedź na pytanie, kiedy dana algebra Liego jest nilpotentna.

Definicje wstępne

Algebra Liego $\mathbf {L}$ jest nilpotentna, kiedy zstępujący ciąg centralny, zdefiniowany przez:

$\mathbf {L} _{0}=\mathbf {L} ,$

$\mathbf {L} _{i+1}=[\mathbf {L} ,\mathbf {L} _{i}].$

W końcu osiąga {0}.

Dla $x\in \mathbf {L}$ operator dołączony $\operatorname {ad} _{x}$ definiujemy przez:

$\operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y].$

Operator dołączony jest operatorem liniowym na przestrzeni wektorowej $L.$

Twierdzenie

Skończeniewymiarowa algebra Liego jest nilpotentna wtedy i tylko wtedy, gdy operator dołączony każdego elementu tej algebry jest nilpotentny.

Uwagi

Twierdzenie jest prawdziwe niezależnie od ciała nad którym zbudowana jest algebra Liego.