Twierdzenie Herona

Twierdzenie Herona, zagadnienie Herona – twierdzenie Herona z Aleksandrii dotyczące drogi promienia światła. Jedno z najstarszych zagadnień na ekstremum.

Treść twierdzenia

Niech ustalone punkty $P,Q$ leżą po tej samej stronie prostej $l.$ Weźmy dowolny punkt $R\in l.$

Oznaczmy przez $\alpha$ miarę kąta pomiędzy odcinkiem $RP$ i prostą $l,$ przez $\beta$ miarę kąta pomiędzy odcinkiem $RQ$ i $l.$

Wówczas zachodzi następująca równoważność:

Łamana $PRQ$ ma najmniejszą długość $\Leftrightarrow$ $\alpha =\beta .$

Obrazowo treść tego twierdzenie można tak wyrazić:

Łamana $PRQ$ jest najkrótsza wtedy i tylko wtedy, gdy kąt padania jest równy kątowi odbicia.

Dowód

Skonstruujmy punkt $P'$ symetryczny do $P$ względem prostej $l$ i oznaczmy przez $\alpha '$ miarę kąta pomiędzy odcinkiem $RP'$ i $l.$

Oczywiście zachodzi $|RP|=|RP'|$ oraz $\alpha =\alpha '.$

Dostajemy ciąg równoważnych zdań:

Łamana $PRQ$ ma najmniejszą długość $\Leftrightarrow$ Łamana $P'RQ$ ma najmniejszą długość $\Leftrightarrow$ punkty $P',R,Q$ są współliniowe $\Leftrightarrow$ $\beta =\alpha '$ $\Leftrightarrow$ $\beta =\alpha .$

Druga z powyższych równoważności opiera się na nierówności trójkąta, trzecia na własności kątów wierzchołkowych.

Przykłady zastosowania

W fizyce

Twierdzenie znalazło zastosowanie w optyce. Stosuje się je przy konstrukcji obrazu w zwierciadle płaskim.

W matematyce

W matematyce używane często przy rozwiązywaniu zadań o trójkątach oraz dotyczących drogi o najmniejszej długości (czyli minimum). Przykładowe zadania:

• Tomek chce dojść jak najkrótszą trasą z miejscowości P do Q, po drodze zaczerpując wody z rzeki l. Skonstruować tę trasę.

• Dany jest trójkąt o danym polu S i boku c = PQ. Spośród wszystkich takich trójkątów znaleźć ten, w którym suma pozostałych boków a + b jest najmniejsza.

Z warunku pierwszego (ustalone pole) wynika, że szukany trzeci wierzchołek znajduje się na prostej l równoległej do odcinka c, ponieważ odległość tego wierzchołka od prostej stanowiącej przedłużenie danego boku trójkąta musi być stała i wynosić h = 2S/c (wynika to ze wzoru na pole trójkąta S = 1/2 hc). Punkty P i Q są zatem jednakowo oddalone od prostej l. W tym szczególnym przypadku zgodnie z twierdzeniem Herona szukany trzeci wierzchołek trójkąta będzie równoodległy od punktów P i Q, a otrzymany trójkąt – równoramienny.

Zobacz też

• zwierciadło optyczne
• zwierciadło płaskie

Bibliografia

• R. Courant, H. Robbins: Co to jest matematyka. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1967. Brak numerów stron w książce