Twierdzenie Koebego-Bieberbacha

Twierdzenie Koebego-Bieberbacha (czasami nazywane też twierdzeniem Koebego 1/4) – twierdzenie analizy zespolonej, które zostało udowodnione przez Paula Koebe’go w 1907^[1] oraz doprecyzowane przez Ludwiga Bieberbacha w pracy z roku 1916^[2] (Bieberbach podał dokładnie ograniczenie górne stałej M w wypowiedzi twierdzenia poniżej).

Twierdzenie

Jeśli $f$ jest różnowartościową funkcją analityczną na kole jednostkowym płaszczyzny zespolonej, to obraz funkcji $f$ zawiera koło o środku w punkcie $f(0)$ i promieniu równym $|f'(0)|\cdot M,$ gdzie $M={\tfrac {1}{4}}.$ Oszacowania tego nie można poprawić, co można wykazać na przykładzie funkcji

f(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}.

Zobacz też

hipoteza Bieberbacha

Przypisy

↑ P. Koebe, Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurve, Nachr. K. Ges. Wissenschaft. Göttingen Math. Phys. Kl., 2 (1907) s. 191–210.
↑ L. Bieberbach, Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys-Math. Kl. (1916) s. 940–955.

[1] P. Koebe, Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurve, Nachr. K. Ges. Wissenschaft. Göttingen Math. Phys. Kl., 2 (1907) s. 191–210.

[2] L. Bieberbach, Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys-Math. Kl. (1916) s. 940–955.

[1]

[2]