Twierdzenie Stolza

Twierdzenie Stolza, twierdzenie Stolza-Cesàro^{[potrzebny przypis]} – twierdzenie analizy matematycznej o zbieżności pewnych ciągów liczb rzeczywistych. Nazwa pochodzi od nazwisk matematyków Ottona Stolza i Ernesta Cesàro^{[potrzebny przypis]}, choć szczególny przypadek udowodnił wcześniej Augustin Louis Cauchy^[1].

Twierdzenie to jest odpowiednikiem reguły de l’Hospitala, która opisuje podobne symbole nieoznaczone dla granic funkcji^[2].

Twierdzenie

Niech $a_{n},b_{n},n\in \mathbb {N}$ będą ciągami liczb rzeczywistych, przy czym:

ciąg $a_{n}$ jest rosnący i rozbieżny do nieskończoności $(\infty );$
istnieje granica – skończona lub nie – ciągu ${\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}.$

Wówczas^[1]^[3]:

\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}.

Równość zachodzi także, gdy $a_{n},b_{n}$ zbiegają do zera, a $a_{n}$ jest ściśle monotoniczny^[2].

Dowód

Lemat

Jeżeli $c_{1},\dots ,c_{k},d_{1},\dots ,d_{k}>0,$ to ${\frac {c_{1}+\ldots +c_{k}}{d_{1}+\ldots +d_{k}}}$ jest kombinacją wypukłą liczb ${\frac {c_{1}}{d_{1}}},\dots ,{\frac {c_{k}}{d_{k}}}.$

Dowód

{\frac {c_{1}+\ldots +c_{k}}{d_{1}+\ldots +d_{k}}}={\frac {c_{1}}{d_{1}}}\cdot {\frac {d_{1}}{d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{k}}}+{\frac {c_{2}}{d_{2}}}\cdot {\frac {d_{2}}{d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{k}}}+\ldots +{\frac {c_{k}}{d_{k}}}\cdot {\frac {d_{k}}{d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{k}}}.

Teza Lematu wynika z tego, że ${\frac {d_{i}}{d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{k}}}\geqslant 0$ oraz $\sum _{i=1}^{k}{\frac {d_{i}}{d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{k}}}=1.$

Przypadek zbieżności

Załóżmy, że ciąg $\left({\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny do pewnej liczby $g\in \mathbb {R} .$ Niech $\varepsilon >0.$ Wówczas istnieje liczba $N\in \mathbb {N}$ taka, że

g-\varepsilon <{\frac {b_{i}-b_{i-1}}{a_{i}-a_{i-1}}}<g+\varepsilon

dla $i>N.$ Ustalmy $n>N.$ Na podstawie lematu dla $c_{i}=b_{i}-b_{i-1}$ i $d_{i}=a_{i}-a_{i-1}$ otrzymujemy, że

{\frac {c_{N+1}+\ldots +c_{n}}{d_{N+1}+\ldots +d_{n}}}={\frac {b_{N+1}-b_{N}+b_{N+2}-b_{N+1}+\ldots +b_{n}-b_{n-1}}{a_{N+1}-a_{N}+a_{N+2}-a_{N+1}+\ldots +a_{n}-a_{n-1}}}={\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}-a_{N}}}

jest kombinacją wypukłą liczb ${\frac {c_{i}}{d_{i}}}={\frac {b_{i}-b_{i-1}}{a_{i}-a_{i-1}}}$ dla $i=N+1,N+2,\dots ,n.$ Zatem

g-\varepsilon <{\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}-a_{N}}}<g+\varepsilon .

Stąd, oczywiście, otrzymujemy

\left|{\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}-a_{N}}}-g\right|<\varepsilon

dla $n>N.$ Dalej mamy

{\frac {b_{n}}{a_{n}}}-g={\frac {b_{N}}{a_{n}}}+{\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}}}-g={\frac {b_{N}}{a_{n}}}+{\frac {a_{n}-a_{N}}{a_{n}}}\cdot {\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}-a_{N}}}-g={\frac {b_{N}}{a_{n}}}-{\frac {a_{N}}{a_{n}}}\cdot g+{\frac {a_{n}-a_{N}}{a_{n}}}\left({\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}-a_{N}}}-g\right).

Zatem z faktu, że $0\leqslant {\frac {a_{n}-a_{N}}{a_{n}}}\leqslant 1,$ otrzymujemy

\left|{\frac {b_{n}}{a_{n}}}-g\right|\leqslant \left|{\frac {b_{N}}{a_{n}}}\right|+\left|{\frac {a_{N}}{a_{n}}}\cdot g\right|+\left|{\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}-a_{N}}}-g\right|.

Z uwagi na to, że ${\frac {b_{N}}{a_{n}}}\to 0,$ ${\frac {a_{N}}{a_{n}}}\to 0$ znajdziemy liczbę $N'\geqslant N$ taką, że $\left|{\frac {b_{N}}{a_{n}}}\right|+\left|{\frac {a_{N}}{a_{n}}}\cdot g\right|<\varepsilon$ dla $n>N'\geqslant N.$ Czyli

\left|{\frac {b_{n}}{a_{n}}}-g\right|<2\varepsilon

dla każdego $n>N',$ co daje tezę.

Przypadek granicy niewłaściwej

Załóżmy teraz, że ciąg $\left({\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ ma granicę niewłaściwą. Wystarczy rozważyć przypadek, gdy $\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}=\infty .$ Jeśli granica jest równa $-\infty ,$ dowód przebiega analogicznie.

Zauważmy, że $\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}=\infty$ implikuje $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}=0.$ Pokażemy, że $\lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty$ oraz $(b_{n})$ jest rosnący. Wówczas na mocy udowodnionego Przypadku I otrzymamy, że $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=0.$ To wobec założenia $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ oznaczać będzie, że ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>0$ dla dostatecznie dużych $n,$ a w konsekwencji $\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\infty .$

Z faktu $\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}=\infty$ wynika istnienie liczby $N$ takiej, że

{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}>1

dla każdego $n\geqslant N.$ Wówczas

b_{n}-b_{n-1}>a_{n}-a_{n-1}>0

dla

n\geqslant N.

Gdzie ostatnia nierówność wynika z założenia o monotoniczności $(a_{n})$ . Mamy $b_{n}-b_{n-1}>0$ , czyli $(b_{n})$ jest rosnący.

Dodając powyższe nierówności dla $n=N,N+1,N+2,\dots ,N+k,$ otrzymujemy

b_{N+k}-b_{N+k-1}+b_{N+k-1}-b_{N+k-2}+\ldots +b_{N}-b_{N-1}>a_{N+k}-a_{N+k-1}+a_{N+k-1}-a_{N+k-2}+\ldots +a_{N}-a_{N-1}.

Po uproszczeniu obu stron uzyskujemy

{\textstyle b_{N+k}-b_{N-1}>a_{N+k}-a_{N-1}.}

Stąd dla dowolnego $k=1,2,\dots$ prawdziwa jest nierówność:

b_{N+k}>a_{N+k}-a_{N-1}+b_{N-1}.

Ponieważ $\lim _{k\to \infty }(a_{N+k}-a_{N-1}+b_{N-1})=\infty ,$ to $\lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty ,$ co kończy dowód.

Przykłady

Twierdzenie Cauchy’ego o zbieżności ciągu średnich arytmetycznych

Jeśli ciąg $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny (do granicy skończonej lub nieskończonej), to ciąg średnich arytmetycznych pierwszych $n$ wyrazów $\left({\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny do tej samej granicy, symbolicznie^[4]:

\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.

Powyższa równość granic ma związek z sumowalnością metodą Cesàro; dokładniej jeśli szereg jest zbieżny, to jest także sumowalny metodą Cesàro i obie te wartości są równe. Pokazuje to, że sumowalność metodą Cesàro jest uogólnieniem sumowalności metodą klasyczną.

Dowód: zdefiniujmy $a_{n}=n$ i $b_{n}=x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}.$ Zauważmy, że $a_{n}-a_{n-1}=1$ oraz $b_{n}-b_{n-1}=x_{n}.$ Zatem $\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n},$ więc na mocy twierdzenia Stolza otrzymujemy, że

\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.

Sumy potęg kolejnych liczb naturalnych

Ustalmy $k\in \mathbb {N} .$ Niech $a_{n}=n^{k+1},b_{n}=1^{k}+2^{k}+\ldots +n^{k},n\in \mathbb {N} .$ Rozważmy ciąg:

(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }.

Zauważmy, że $a_{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\infty$ oraz $b_{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\infty .$

Aby obliczyć granicę ciągu $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} },$ skorzystamy z twierdzenia Stolza. Obliczamy:

{\begin{aligned}\left({\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}\right)&={\frac {n^{k}}{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}}}\\&={\frac {n^{k}}{n^{k+1}-(n^{k+1}-(k+1)n^{k}+\ldots )}}\\&={\frac {n^{k}}{(k+1)n^{k}+\ldots }}\ \ {\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\ \ {\frac {1}{k+1}}.\end{aligned}}

Wobec tego^[5]^[3]:

\lim _{n\to \infty }c_{n}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}\right)={\frac {1}{k+1}}.

Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie Stolza nie daje się odwrócić, tzn. ze zbieżności ciągu ${\frac {b_{n}}{a_{n}}}$ nie wynika zbieżność ciągu ${\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}$ ^[6]. Pokazuje to przykład: