Em geometria , o cardioide é um epicicloide que possui somente uma ponta . Isto é, um cardioide é uma curva que pode ser produzida como um locus — traçando-se o caminho de um dado ponto de um círculo , que rola sem cair ao redor de um outro círculo, que é fixo mas que tem o mesmo raio do círculo rolante.[ 1]
Cardioide gerado pela rolagem de um círculo sobre outro círculo de mesmo raio. O cardioide é também um tipo especial de limaçon : é o limaçon de uma ponta. (A ponta é formada quando o raio de a até b na equação é igual a um).
Um cardioide é uma curva matemática cuja forma se assemelha à de um coração. Por este motivo, recebe o nome derivado do grego kardioeides = kardia :coração + eidos :forma.
Comparado ao símbolo ♥ entretanto, um cardioide não termina em uma ponta fina. Ele tem mais a forma do contorno da seção em cruz de uma ameixa .
O cardioide é um transformador inverso de uma parábola .
A grande figura preta central em um conjunto Mandelbrot é um cardioide. Este cardioide é cercado por uma arranjo fractal de círculos.
Uma vez que o cardioide é uma epiciclóide com uma ponta, as equações paramétricas do cardioide são:
x
(
θ
)
=
ρ
(
θ
)
cos
θ
=
(
1
+
cos
θ
)
⋅
cos
θ
=
cos
θ
+
1
2
+
1
2
cos
2
θ
,
{\displaystyle x(\theta )=\rho (\theta )\cos \theta =(1+\cos \theta )\cdot \cos \theta =\cos \theta +{1 \over 2}+{1 \over 2}\cos 2\theta ,\qquad \qquad }
y
(
θ
)
=
ρ
(
θ
)
sin
θ
=
(
1
+
cos
θ
)
⋅
sin
θ
=
sin
θ
+
1
2
sin
2
θ
.
{\displaystyle y(\theta )=\rho (\theta )\sin \theta =(1+\cos \theta )\cdot \sin \theta =\sin \theta +{1 \over 2}\sin 2\theta .\qquad \qquad }
A mesma curva pode ser definida em coordenadas polares pela equação:
ρ
(
θ
)
=
1
+
cos
θ
.
{\displaystyle \rho (\theta )=1+\cos \theta .\ }
quatro gráficos dos cardioides [ 2] orientados nos quatro sentidos cardeais , com suas respectivas equações polares.
A área de um cardioide a que seja cogruente com
ρ
(
θ
)
=
a
(
1
−
cos
θ
)
{\displaystyle \rho (\theta )=a(1-\cos \theta )}
é
A
=
3
2
π
a
2
{\displaystyle A={3 \over 2}\pi a^{2}}
[ 3] Basta verificar que
A
=
∫
0
2
π
∫
0
ρ
(
θ
)
r
d
r
d
θ
=
3
2
π
a
2
{\displaystyle \displaystyle A=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\rho (\theta )}rdrd\theta ={\frac {3}{2}}\pi a^{2}}
Essa área é facilmente calculada utilizando o Teorema de Green para um campo vetorial cuja circulação seja igual a 1
F
→
(
x
,
y
)
=
(
−
y
2
,
x
2
)
{\displaystyle {\vec {F}}(x,y)=\left(-{\frac {y}{2}},{\frac {x}{2}}\right)}
pois, pelo Teorema
∮
C
F
→
⋅
d
l
→
=
∮
C
L
d
x
+
M
d
y
=
∬
R
[
∂
∂
x
x
2
−
∂
∂
y
(
−
y
2
)
]
d
A
=
∬
R
d
A
{\displaystyle \oint \limits _{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {l}}=\oint \limits _{C}Ldx+Mdy=\iint \limits _{R}\left[{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\left(-{\frac {y}{2}}\right)\right]dA=\iint \limits _{R}dA}
então basta calcular a circulação ao longo da cardioide
P
→
(
θ
)
=
(
r
(
θ
)
cos
θ
,
r
(
θ
)
s
e
n
θ
)
{\displaystyle {\vec {P}}(\theta )=\left(r(\theta )\cos \theta ,r(\theta )~\mathrm {sen} ~\theta \right)}
no campo
F
→
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\vec {F}}(x,y)}
P
x
=
r
(
θ
)
cos
θ
{\displaystyle P_{x}=r(\theta )\cos \theta }
P
y
=
r
(
θ
)
s
e
n
θ
{\displaystyle P_{y}=r(\theta )~\mathrm {sen} ~\theta }
L
=
−
P
y
2
{\displaystyle L=-{\frac {P_{y}}{2}}}
M
=
P
x
2
{\displaystyle M={\frac {P_{x}}{2}}}
A
=
∮
P
F
→
(
P
x
,
P
y
)
⋅
P
→
′
(
θ
)
d
θ
=
1
2
∮
P
P
x
d
y
−
P
y
d
x
=
1
2
∮
P
(
r
2
s
e
n
2
θ
+
r
2
cos
2
θ
)
d
θ
=
a
2
2
∫
0
2
π
(
1
+
cos
θ
)
2
d
θ
{\displaystyle A=\oint \limits _{P}{\vec {F}}(P_{x},P_{y})\cdot {\vec {P}}~'(\theta )d\theta ={\frac {1}{2}}\oint \limits _{P}P_{x}dy-P_{y}dx={\frac {1}{2}}\oint \limits _{P}\left(r^{2}~\mathrm {sen} ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \right)d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }\left(1+\cos \theta \right)^{2}d\theta }
=
a
2
2
∫
0
2
π
(
1
+
2
cos
θ
+
cos
2
θ
)
d
θ
=
a
2
2
∫
0
2
π
(
1
+
2
cos
θ
+
1
+
cos
2
θ
2
)
d
θ
=
a
2
2
[
θ
+
θ
2
]
0
2
π
=
3
2
a
2
π
{\displaystyle ={\frac {a^{2}}{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }\left(1+2\cos \theta +\cos ^{2}\theta \right)d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }\left(1+2\cos \theta +{\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left[\theta +{\frac {\theta }{2}}\right]_{0}^{2\pi }={\frac {3}{2}}a^{2}\pi }
![{\displaystyle \oint \limits _{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {l}}=\oint \limits _{C}Ldx+Mdy=\iint \limits _{R}\left[{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\left(-{\frac {y}{2}}\right)\right]dA=\iint \limits _{R}dA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97c2ce72e7ab60ada7bb22b743597809a852f5a3)
![{\displaystyle ={\frac {a^{2}}{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }\left(1+2\cos \theta +\cos ^{2}\theta \right)d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }\left(1+2\cos \theta +{\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left[\theta +{\frac {\theta }{2}}\right]_{0}^{2\pi }={\frac {3}{2}}a^{2}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a6fc7c5f6a20b7398fff191072beb79844310b9)