Дотична

У геометрії, доти́чна пряма́ (або просто доти́чна) до кривої в точці — пряма, яка проходить через точку кривої і збігається з нею в цій точці з точністю до першого порядку.

Кажучи загальними словами, дотична пряма — це пряма, що найкраще наближає криву в околі заданої точки. Можна дотичну пряму визначити, як граничне положення січної.

Історія

Евклід робив кілька посилань на дотичну (ἐφαπτομένη ephaptoménē) до кола в третій книзі «Начал» (бл. 300 р. до н. е.).^[1] У своєму творі «Конічні перетини» (бл. 225 р. до н. е.), Аполлоній визначає дотичну як таку пряму, що між нею і кривою не може лежати жодна інша пряма.^[2]

Архімед (бл. 287—212 до н. е.) знайшов дотичну до архімедової спіралі, розглядаючи шлях точки, що рухається по кривій.^[3]

У 1630-х роках П'єр Ферма розробив техніку для знаходження дотичних та розв'язування інших задач з диференціального та інтегрального числення й використав її для обчислення дотичних до параболи. Ця техніка подібна до того, як взяти різницю між $f (x + h)$ і $f (x)$ та поділити її на $h$ . Незалежно від нього, Рене Декарт використовував свій метод нормалей, заснований на спостереженні, що радіус кола завжди перпендикулярний до дотичної кола в точці, до якої він проведений.^[4]

Ці методи призвели до розвитку диференціального числення в XVII столітті. Багато людей зробили свій внесок. Жиль де Роберваль^[en] знайшов загальний метод побудови дотичних, розглядаючи криву як таку, що описується рухомою точкою, рух якої є результатом кількох простіших рухів.^[5] Рене-Франсуа де Слуз^[en] та Йоганнес Гудде^[en] знайшли алгебраїчні алгоритми для пошуку дотичних.^[6] Подальші розробки включали роботи Джона Валліса та Ісаака Барроу, які використовувалися для створення теорії Ісаака Ньютона та Ґотфріда Ляйбніца.

У 1828 році дотична визначалася як «пряма лінія, яка дотикається до кривої, але при цьому не перетинає її».^[7] Це старе визначення не дозволяє точкам перегину мати дотичну. Від нього відмовилися, і сучасні визначення еквівалентні означенню Лейбніца, який визначив дотичну як пряму, що проходить через пару нескінченно близьких точок кривої; в сучасній термінології це виражається так: дотичною до кривої в точці $P$ називається граничне положення січної, коли дві точки, в яких вона перетинає дану криву, прямують до точки $P$ .

Дотична до кривої на площині

В кожній точці, пряма дотикається до кривої. Її кутовий коефіцієнт дорівнює похідній; області, де похідна додатна, від'ємна, а також рівна нулю позначені зеленим, червоним і чорним кольорами відповідно.

Якщо крива є графіком неперервно диференційовної функції $f$ , тобто її можна задати рівнянням $y=f(x),$ то рівняння її дотичної в точці $P(x_{0},y_{0})$ має наступний вигляд:

y=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}),

де $f^{\prime }(x_{0})$ — значення похідної функції $f$ у точці $x 0$ . Причому $f^{\prime }(x_{0})$ є кутовим коефіцієнтом даної дотичної.

Нехай крива задана неявно, а саме через рівняння $F(x,y)=0,$ причому в точці $P(x_{0},y_{0})$ функція $F$ має неперервні частинні похідні $F_{x}$ й $F_{y}$ , значення яких в цій точці одночасно не дорівнюють нулю. Тоді рівняння її дотичної в точці $P$ буде таким:

F_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})=0.

Якщо крива має регулярну параметризацію, тобто її можна задати вектор-функцією $r(t)=(x(t),y(t)),$ де $x$ та $y$ — неперервно диференційовні функції, і причому одночасно не дорівнюють нулю, то дотична в точці $P$ , яка відповідає значенню параметра $t = t 0$ , має наступне векторно-параметричне рівняння:

R(t)=r(t_{0})+r^{\prime }(t_{0})\cdot t,

де $r^{\prime }(t_{0})=(x^{\prime }(t_{0}),y^{\prime }(t_{0}))$ — дотичний вектор кривої (напрямний вектор дотичної).

Дотичні до кривих другого порядку

Крива	Рівняння кривої	Рівняння дотичної в точці $P (x 0, y 0)$
Коло	$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$	$(x_{0}-a)(x-x_{0})+(y_{0}-b)(y-y_{0})=0$
Парабола	$y^{2}=2px$	$y_{0}y=p(x+x_{0})$
Еліпс	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$
Гіпербола	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$

Дотична до кривої у просторі

Якщо крива у просторі має регулярну параметризацію, то її аналогічно до кривої на площині можна задати вектор-функцією $r(t)=(x(t),y(t),z(t)),$ де $x$ , $y$ та $z$ — неперервно диференційовні функції, які одночасно не дорівнюють нулю. Тоді дотична до цієї кривої в точці $P$ , яка відповідає значенню параметра $t = t 0$ , має векторно-параметричне рівняння $R(t)=r(t_{0})+r^{\prime }(t_{0})\cdot t,$ де $r^{\prime }(t_{0})=(x^{\prime }(t_{0}),y^{\prime }(t_{0}),z^{\prime }(t_{0}))$ — дотичний вектор кривої. Також ця дотична має таке канонічне рівняння:

{\frac {x-x(t_{0})}{x^{\prime }(t_{0})}}={\frac {y-y(t_{0})}{y^{\prime }(t_{0})}}={\frac {z-z(t_{0})}{z^{\prime }(t_{0})}}.

Нехай крива задана неявно, тобто через систему рівнянь

{\begin{cases}F(x,y,z)=0\\\Phi (x,y,z)=0\end{cases}},

де $F$ та $\Phi$ — неперервно диференційовні функції, для яких $[\nabla F,\nabla \Phi ]\neq 0,$ де квадратні дужки позначають векторний добуток, а $\nabla F=(F_{x},F_{y},F_{z})$ — градієнт функції $F$ . Тоді дотична в точці $P(x_{0},y_{0},z_{0})$ задається наступною системою рівнянь:

{\begin{cases}F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0\\\Phi _{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+\Phi _{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+\Phi _{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0\end{cases}}.

Причому $T=[\nabla F,\nabla \Phi ](x_{0},y_{0},z_{0})$ є напрямним вектором цієї дотичної. Звідси її канонічне рівняння має такий вигляд:

{\frac {x-x_{0}}{w_{1}}}={\frac {y-y_{0}}{w_{2}}}={\frac {z-z_{0}}{w_{3}}},

де $w 1$ , $w 2$ та $w 3$ — координати вектора $T$ .

Дотична площина до поверхні

Докладніше: Дотична площина

Дотична площина до сфери

Дотичною площиною до поверхні в точці $P(x_{0},y_{0},z_{0})$ , де поверхню можна задати таким рівнянням $F(x,y,z)=0,$ що $F$ — неперервно диференційована функція, причому $\nabla F\neq 0$ в точці $P$ , називається площина, яка утворена дотичними прямими до кривих, що лежать на поверхні та проходять через точку $P$ .

Рівняння цієї площини має наступний вигляд:

F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0.

Причому $\nabla F$ в точці $P$ є напрямним вектором нормалі до дотичної площини.

Дотичний простір до гладкого многовиду

Докладніше: Дотичний простір

Поняття дотичної можна узагальнити на довільний гладкий многовид. Дотичним простором до гладкого многовиду в деякій точці називається множина усіх дотичних векторів в цій точці. Причому ця множина утворює лінійний простір, розмірність якого дорівнює розмірності гладкого многовиду.

Див. також

Примітки

↑ Euclid. Euclid's Elements.
↑ Ungar, Peter; Shenk, Al; Munem, M. A.; Foulis, D. J.; Anton, Howard (1986-03). Calculus and Analytic Geometry. The American Mathematical Monthly. Т. 93, № 3. с. 221. doi:10.2307/2323355. ISSN 0002-9890. Процитовано 26 грудня 2019.
↑ Katz, Victor J. (2009). A history of mathematics : an introduction (вид. 3rd ed). Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-321-38700-7. OCLC 71006826.
↑ Katz, Victor J. (2008). A History of Mathematics (вид. 3rd). Addison Wesley. с. 510. ISBN 978-0321387004.
↑ Wolfson, Paul R. (2001-03). The Crooked Made Straight: Roberval and Newton on Tangents. The American Mathematical Monthly. Т. 108, № 3. с. 206. doi:10.2307/2695381. Архів оригіналу за 11 жовтня 2016. Процитовано 26 грудня 2019.
↑ Katz, Victor J. (2008). A History of Mathematics (вид. 3rd). Addison Wesley. с. 512—514. ISBN 978-0321387004.
↑ 2. Noah Webster “The Wildest Innovator”. The Dictionary Wars. Princeton: Princeton University Press. 31 грудня 2019. с. 21—40. ISBN 978-0-691-18999-4.

Література

Борисенко, О. А. Аналітична геометрія: [Навч. посібник для університетів]. — Харків : Основа, 1993. — 192 с. — ISBN 5-7768-0002-7.
Борисенко, О. А. Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — С. 41-46. — ISBN 5-7768-0388-8. Архівовано з джерела 23 січня 2022
О. Пришляк, Н. Лукова. Диференціальна геометрія та топологія. Курс лекцій. — 2012.
Ямпольський О.Л. Диференцiальна геометрiя. Базовий курс лекцiй. Архівовано з джерела 26 листопада 2019
Величко І.Г., Гургєнідзе М.О., Стєганцева П.Г. Диференціальна геометрія кривих та поверхонь: Навчально-методичний посібник до індивідуальної та самостійної роботи для студентів II курсу математичного факультету. — Запоріжжя : ЗНУ, 2009. — 76 с. Архівовано з джерела 19 серпня 2019

Посилання

Дотична // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), line Tangent line, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. Tangent Line(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

[1] Euclid. Euclid's Elements.

[2] Ungar, Peter; Shenk, Al; Munem, M. A.; Foulis, D. J.; Anton, Howard (1986-03). Calculus and Analytic Geometry. The American Mathematical Monthly. Т. 93, № 3. с. 221. doi:10.2307/2323355. ISSN 0002-9890. Процитовано 26 грудня 2019.

[:0-3] Katz, Victor J. (2009). A history of mathematics : an introduction (вид. 3rd ed). Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-321-38700-7. OCLC 71006826.

[4] Katz, Victor J. (2008). A History of Mathematics (вид. 3rd). Addison Wesley. с. 510. ISBN 978-0321387004.

[5] Wolfson, Paul R. (2001-03). The Crooked Made Straight: Roberval and Newton on Tangents. The American Mathematical Monthly. Т. 108, № 3. с. 206. doi:10.2307/2695381. Архів оригіналу за 11 жовтня 2016. Процитовано 26 грудня 2019.

[6] Katz, Victor J. (2008). A History of Mathematics (вид. 3rd). Addison Wesley. с. 512—514. ISBN 978-0321387004.

[7] 2. Noah Webster “The Wildest Innovator”. The Dictionary Wars. Princeton: Princeton University Press. 31 грудня 2019. с. 21—40. ISBN 978-0-691-18999-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]