Xem mã nguồn của Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz

{{otheruses4|bất đẳng thức trong phép nhân vectơ|bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân|Bất đẳng thức Cauchy}}
Trong [[đại số]] và [[Giải tích toán học|giải tích]], '''bất đẳng thức Cauchy-Schwarz''' (cũng gọi là '''bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz''')<ref>{{cite web|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Schwarz/|title=Hermann Amandus Schwarz|first1=J.J.|last1=O'Connor|first2=E.F.|last2=Robertson|website=[[University of St Andrews]], Scotland }}</ref><ref name="EncyclopediaOfMath">{{springer|id=b/b017770|title=Bunyakovskii inequality|first=V. I.|last=Bityutskov}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.wwu.edu/faculty/curgus/Courses/Math_pages/Math_504/Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky.html|title=Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality|first=Branko|last=Ćurgus|website=Western Washington University|department=Department of Mathematics }}</ref><ref>{{cite web|url=https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/ma130/cauchy.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/ma130/cauchy.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|title=Cauchy's inequality|first=David E.|last=Joyce|website=Clark University|department=Department of Mathematics and Computer Science }}</ref> phát biểu rằng trị tuyệt đối của [[tích vô hướng]] của hai [[vector]] luôn nhỏ hơn hoặc bằng tích độ dài của hai vector đó. Bất đẳng thức này được coi là một trong những [[bất đẳng thức]] quan trọng và xuất hiện thường xuyên trong toán học.<ref name="Steele">{{cite book|last=Steele|first=J. Michael|year=2004|title=The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities|publisher=The Mathematical Association of America|isbn=978-0521546775|page=1|url=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/CSMC_index.html|quote=...there is no doubt that this is one of the most widely used and most important inequalities in all of mathematics.}}</ref>

Tích vô hướng của véc-tơ có thể được biểu diễn thông qua tổng hữu hạn, [[Chuỗi (toán học)|chuỗi]] hay [[tích phân]] trong [[không gian Hilbert]] nên bất đẳng thức này có thể được biểu diễn thông qua nhiều dạng khác nhau. Bất đẳng thức của dạng tổng được công bố với [[Augustin-Louis Cauchy]] vào năm 1821, phiên bản tích phân là của [[Viktor Yakovlevich Bunyakovsky]] và [[Hermann Amandus Schwarz|Hermann Schwarz]] lần lượt vào năm 1859 và 1888,<ref name="EncyclopediaOfMath" /> Schwarz đưa ra chứng minh hiện đại hơn cho phiên bản tích phân này.<ref name="Steele" />

== Phát biểu ==
Trong phát biểu này, ta định nghĩa <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> là một [[tích vô hướng]] bất kì trong không gian tích trong, với ví dụ điển hình là [[tích vô hướng|tích vô hướng chính tắc]] trong không gian Euclid. 

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz phát biểu rằng với hai véc-tơ <math>\mathbf{u}</math> và <math>\mathbf{v}</math> trong [[không gian tích trong]], ta luôn có

{{NumBlk|:|<math>\left |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle\right |^2 \leq \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \cdot \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle,</math>|{{EquationRef|Cauchy–Schwarz inequality [written using only the inner product]|1}}}}

Lấy căn bậc hai ở hai vế ta thu được dạng quen thuộc hơn của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là<ref name="Strang5">{{cite book|last=Strang|first=Gilbert|date=19 July 2005|title=Linear Algebra and its Applications|edition=4th|chapter=3.2|publisher=Cengage Learning|location=Stamford, CT|isbn=978-0030105678|pages=154–155}}</ref><ref name=":0">{{cite book|last1=Hunter|first1=John K.|last2=Nachtergaele|first2=Bruno|year=2001|title=Applied Analysis|publisher=World Scientific|isbn=981-02-4191-7|url=https://books.google.com/books?id=oOYQVeHmNk4C}}</ref>

{{NumBlk|:|<math>|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\|  \|\mathbf{v}\|.</math>|{{EquationRef|Cauchy–Schwarz inequality - written using norm and inner product|2}}}}

Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi <math>\mathbf{u}</math> và <math>\mathbf{v}</math> là [[phụ thuộc tuyến tính]].<ref>{{cite book|last1=Bachmann|first1=George|last2=Narici|first2=Lawrence|last3=Beckenstein|first3=Edward|date=2012-12-06|title=Fourier and Wavelet Analysis|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9781461205050|page=14|url=https://books.google.com/books?id=PkHhBwAAQBAJ}}</ref><ref>{{cite book|last=Hassani|first=Sadri|year=1999|title=Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations|url=https://archive.org/details/mathematicalphys0000hass|publisher=Springer|isbn=0-387-98579-4|page=[https://archive.org/details/mathematicalphys0000hass/page/n54 29]|quote=Equality holds iff <c{{pipe}}c>=0 or {{pipe}}c>=0. From the definition of {{pipe}}c>, we conclude that {{pipe}}a> and {{pipe}}b> must be proportional.}}</ref><ref>{{cite book|last1=Axler|first1=Sheldon|date=2015|title=Linear Algebra Done Right, 3rd Ed.|publisher=Springer International Publishing|isbn=978-3-319-11079-0|page=172|url=https://books.google.com/books?id=CQWwoQEACAAJ|quote=This inequality is an equality if and only if one of u, v is a scalar multiple of the other.}}</ref> 

Một số phát biểu nổi tiếng và đặc biệt của bất đẳng thức này có thể kể đến như dưới đây

=== Bổ đề Sedrakyan ===
[[Bổ đề Titu|Bất đẳng thức Sedrakyan]], hay bất đẳng thức Engel, bổ đề Titu phát biểu rằng với bộ số thực <math>u_1, u_2, \dots, u_n</math> và bộ số dương <math>v_1, v_2, \dots, v_n</math>, ta có 

<math display=block>\frac{\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i\right)^2 }{\displaystyle\sum_{i=1}^n v_i} \leq \sum_{i=1}^n \frac{u_i^2}{v_i} \quad \text{ hay tương đương, } \quad  \frac{\left(u_1 + u_2 + \cdots + u_n\right)^2}{v_1 + v_2 + \cdots + v_n} \leq \frac{u^2_1}{v_1} + \frac{u^2_2}{v_2} + \cdots + \frac{u^2_n}{v_n} .</math>

Bất đẳng thức này được suy ra trực tiếp bằng việc sử dụng tích vô hướng chính tắc và sử dụng hai dãy phụ là <math>u_i' = \frac{u_i}{\sqrt{v_i}}</math> và <math>v_i' = \sqrt{v_i}</math>.

=== Không gian Euclid n-chiều ===
[[File:Cauchy-Schwarz inequation in Euclidean plane.gif|thumb|300px|Một minh họa cho bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong đường tròn đơn vị.]]
Trong [[không gian Euclid]] <math>\R^n</math> với tích vô hướng chính tắc , khi này bất đẳng thức C-S trở thành 

<math display=block>\left(\sum_{i=1}^n u_i v_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n u_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right).</math> 

Trong mặt phẳng <math>\R^2</math>, ta có hai dạng dễ gặp hơn là 

<math display=block>\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle^2 = (\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \cos \theta)^2 \leq \|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2,</math> 
và 
<math display=block>\left(u_1 v_1 + u_2 v_2\right)^2 \leq \left(u_1^2 + u_2^2\right) \left(v_1^2 + v_2^2\right),</math> 

=== Không gian phức n-chiều ===
Nếu <math>\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \Complex^n</math>, ta khi này định nghĩa tích vô hướng giữa hai véc-tơ là <math>\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle := u_1 \overline{v_1} + \cdots + u_{n} \overline{v_n},</math>, bất đẳng thức C-S khi đó được phát biểu là 

<math display=block>|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2 
= \left|\sum_{k=1}^n u_k\bar{v}_k\right|^2 
\leq \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle 
= \left(\sum_{k=1}^n u_k \bar{u}_k\right) \left(\sum_{k=1}^n v_k \bar{v}_k\right) 
= \sum_{j=1}^n \left|u_j\right|^2 \sum_{k=1}^n \left|v_k\right|^2.</math>
hay viết dưới dạng tường minh là 
<math display=block>\left|u_1 \bar{v}_1 + \cdots + u_n \bar{v}_n\right|^2 \leq \left(\left|u_1\right|^2 + \cdots + \left|u_n\right|^2\right) \left(\left|v_1\right|^2 + \cdots + \left|v_n\right|^2\right).</math>



== Chứng minh ==
Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với ''y'' = 0, vì thế ta có thể giả sử <x, ''y''> khác 0. Giả sử <math> \lambda</math> là một [[số phức]] bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau:

:<math> 0 \leq \left\| x-\lambda y \right\|^2
= \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle = \langle x,x \rangle - \lambda \langle x,y \rangle - \bar{\lambda} \langle y,x \rangle + |\lambda|^2 \langle y,y\rangle. </math>

Chọn
:<math> \lambda = \langle y,x \rangle \cdot \langle y,y \rangle^{-1}</math> 
chúng ta được

:<math> 0 \leq \langle x,x \rangle - |\langle x,y \rangle|^2 \cdot \langle y,y \rangle^{-1}</math>

mà bất đẳng thức trên đúng [[tương đương logic|khi và chỉ khi]]

:<math> |\langle x,y \rangle|^2 \leq \langle x,x \rangle \cdot \langle y,y \rangle </math>

hay tương đương:

:<math> \big| \langle x,y \rangle \big|
\leq \left\|x\right\| \left\|y\right\|. </math> (điều phải chứng minh)


== Một vài ứng dụng ==
[[Bất đẳng thức tam giác]] cho tích trong thường được xem là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz như sau: cho các vector ''x'' và ''y'',

:{|
|<math>\|x + y\|^2</math> || <math>= \langle x + y, x + y \rangle</math>
|-
| || <math>= \|x\|^2 + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \|y\|^2</math>
|-
| || <math>\le \|x\|^2 + 2|\langle x, y \rangle| + \|y\|^2</math>
|-
| || <math>\le \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^2</math>
|-
| || <math>\le \left(\|x\| + \|y\|\right)^2</math>
|}

Lấy [[căn bậc hai]] hai vế ta được bất đẳng thức [[tam giác]].


==Tham khảo==
{{tham khảo}}

[[Thể loại:Khái niệm toán học mang tên Cauchy]]
[[Thể loại:Bất đẳng thức]]
[[Thể loại:Giải tích toán học]]
[[Thể loại:Đại số tuyến tính]]
[[Thể loại:Lý thuyết toán tử]]
[[Thể loại:Bất đẳng thức xác suất]]
[[Thể loại:Lý thuyết xác suất]]
[[Thể loại:Augustin-Louis Cauchy]]