麦克斯韦-玻尔兹曼分布 （英語：Maxwell–Boltzmann distribution ）是一个描述一定温度下微观粒子运动速度的概率分布 ，在物理学 和化学 中有应用。最常见的应用是统计力学 的领域。任何（宏观）物理系统的温度都是组成该系统的分子 和原子 的运动 的结果。这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度 都因与其它粒子的碰撞 而不断变化。然而，对于大量粒子来说，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例却几乎不变，如果系统处于或接近处于平衡。麦克斯韦-玻尔兹曼分布具体说明了这个比例，对于任何速度范围，作为系统的温度的函数 。它以詹姆斯·麦克斯韦 和路德维希·玻尔兹曼 命名。
这个分布可以视为一个三维向量 的大小，它的分量是独立和正态分布 的，其期望值为0，标准差 为
a
{\displaystyle a}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
X
∼
N
(
0
,
a
2
)
{\displaystyle \ X\sim N(0,a^{2})}
Z
=
X
1
2
+
X
2
2
+
X
3
2
{\displaystyle Z={\sqrt {X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}}}}
就呈麦克斯韦-玻尔兹曼分布，其参数为
a
{\displaystyle a}
麦克斯韦-玻尔兹曼分布形成了分子运动论 的基础，它解释了许多基本的气体 性质，包括压强 和扩散 。麦克斯韦-玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以用统计力学 来推导（参见麦克斯韦-玻尔兹曼统计 ）。它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。
在许多情况下（例如非弹性碰撞 ），这些条件不适用。例如，在电离层 和空间等离子体 的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发（也就是辐射过程）是重要的。如果在这个情况下应用麦克斯韦-玻尔兹曼分布，就会得到错误的结果。但如果系統在恆溫槽中且處於熱力學平衡 ，即使發生非彈性碰撞，其以熱 的形式失去的動能仍然可由恆溫槽再以熱的形式補償回來，使得麦克斯韦-玻尔兹曼分布依然適用。另外一个不适用麦克斯韦-玻尔兹曼分布的情况，就是当气体的量子熱波長 非相对论 的假设，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速 的概率为零的预言。
麦克斯韦 最初的推导假设了三个方向上的表现都相同，但后来在玻尔兹曼 的一个推导中利用分子运动论 去掉了这个假设。现在，麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以轻易地从能量的玻尔兹曼分布 推出：
N
i
N
=
g
i
exp
(
−
E
i
/
k
T
)
∑
j
g
j
exp
(
−
E
j
/
k
T
)
(
1
)
{\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}\exp \left(-E_{i}/kT\right)}{\sum _{j}^{}g_{j}\,{\exp \left(-E_{j}/kT\right)}}}\qquad \qquad (1)}
其中N i T 时，处于状态 i 的粒子数目，具有能量 E i gi ，N 是系统中的总粒子数目，k 是玻尔兹曼常数 。（注意有时在上面的方程中不写出简并度g i i 将指定了一个单态，而不是具有相同能量E i g i 配分函数 。
下列所述的推导，与詹姆斯·克拉克·麦克斯韦 描述的推导和后来由路德维希·玻尔兹曼 描述的具有较少假设的推导都有很大不同。它与玻尔兹曼在1877年的探讨比较接近。
对于“理想气体”（由基态的非相互作用原子所组成）的情况，所有能量都是动能的形式。宏观粒子的动能与动量的关系为：
E
=
p
2
2
m
(
2
)
{\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}\qquad \qquad (2)}
其中p 2 是动量向量p = [p x p y p z
N
i
N
=
1
Z
exp
[
−
p
x
2
+
p
y
2
+
p
z
2
2
m
k
T
]
(
3
)
{\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]\qquad \qquad (3)}
其中Z 是配分函数 ，对应于方程1中的分母。在这里，m 是气体的分子质量，T 是热力学温度，k 是玻尔兹曼常数 。这个N i N 的分布与找到具有这些动量分量值的分子的概率密度函数 f p 正比 ，因此：
f
p
(
p
x
,
p
y
,
p
z
)
=
c
Z
exp
[
−
p
x
2
+
p
y
2
+
p
z
2
2
m
k
T
]
.
(
4
)
{\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\frac {c}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right].\qquad \qquad (4)}
歸一化常數 c 可以通过认识到分子具有任何 动量的概率必须为1来决定。因此，方程4在所有p x p y p z
可以证明：
c
=
Z
(
2
π
m
k
T
)
3
/
2
.
(
5
)
{\displaystyle c={\frac {Z}{(2\pi mkT)^{3/2}}}.\qquad \qquad (5)}
把方程5代入方程4，得出：
f
p
(
p
x
,
p
y
,
p
z
)
=
(
1
2
π
m
k
T
)
3
/
2
exp
[
−
p
x
2
+
p
y
2
+
p
z
2
2
m
k
T
]
.
(
6
)
{\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})=\left({\frac {1}{2\pi mkT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right].\qquad \qquad (6)}
可以看出，这个分布是三个独立、呈正态分布 的变量
p
x
{\displaystyle p_{x}}
p
y
{\displaystyle p_{y}}
p
z
{\displaystyle p_{z}}
m
k
T
{\displaystyle mkT}
a
=
m
k
T
{\displaystyle a={\sqrt {mkT}}}
利用p ² = 2mE ，以及动量的大小的分布函数（参见以下速率分布的章节），我们便得出能量的分布：
f
E
d
E
=
f
p
(
d
p
d
E
)
d
E
=
2
E
π
(
k
T
)
3
exp
[
−
E
k
T
]
d
E
.
(
7
)
{\displaystyle f_{E}\,dE=f_{p}\left({\frac {dp}{dE}}\right)\,dE=2{\sqrt {\frac {E}{\pi (kT)^{3}}}}~\exp \left[{\frac {-E}{kT}}\right]\,dE.\qquad \qquad (7)}
由于能量与三个呈正态分布的动量分量的平方和成正比，因此这个分布是具有三个自由度的卡方分布 ：
f
E
(
E
)
d
E
=
χ
2
(
x
;
3
)
d
x
{\displaystyle f_{E}(E)\,dE=\chi ^{2}(x;3)\,dx}
其中
x
=
2
E
k
T
.
{\displaystyle x={\frac {2E}{kT}}.\,}
麦克斯韦-玻尔兹曼分布还可以通过把气体视为量子气体 来获得。
认识到速度的概率密度函数f v
f
v
d
3
v
=
f
p
(
d
p
d
v
)
3
d
3
v
{\displaystyle f_{\mathbf {v} }d^{3}v=f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}v}
并利用p = mv ，我们便得到：
f
v
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
=
(
m
2
π
k
T
)
3
/
2
exp
[
−
m
(
v
x
2
+
v
y
2
+
v
z
2
)
2
k
T
]
,
{\displaystyle f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right],\qquad \qquad }
这就是麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布。在速度相空间 （v x v y v z dv x dv y dv z v = [v x v y v z
f
v
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
d
v
x
d
v
y
d
v
z
.
{\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.}
像动量一样，这个分布是三个独立、呈正态分布 的变量
v
x
{\displaystyle v_{x}}
v
y
{\displaystyle v_{y}}
v
z
{\displaystyle v_{z}}
k
T
m
{\displaystyle {\frac {kT}{m}}}
v x v y v z
f
v
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
=
f
v
(
v
x
)
f
v
(
v
y
)
f
v
(
v
z
)
{\displaystyle f_{v}\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})}
其中一个方向上的分布为：
f
v
(
v
i
)
=
m
2
π
k
T
exp
[
−
m
v
i
2
2
k
T
]
.
{\displaystyle f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left[{\frac {-mv_{i}^{2}}{2kT}}\right].\qquad \qquad }
这个分布具有正态分布 的形式，其方差为
k
T
m
{\displaystyle {\frac {kT}{m}}}
一些惰性气体 在298.15 K（25 °C）的温度下的速率分布函数。y轴的单位为s/m，因此任何一段曲线下的面积（它表示速度处于那个范围的概率）都是无量纲的。 通常，我们更感兴趣于分子的速率，而不是它们的速度分量。麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布为：
f
(
v
)
=
2
π
(
m
k
T
)
3
v
2
exp
(
−
m
v
2
2
k
T
)
{\displaystyle f(v)={\sqrt {{\frac {2}{\pi }}\left({\frac {m}{kT}}\right)^{3}}}\,v^{2}\exp \left({\frac {-mv^{2}}{2kT}}\right)}
其中速率v 定义为：
v
=
v
x
2
+
v
y
2
+
v
z
2
{\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}
注意：在这个方程中，f(v)的单位是概率每速率，或仅仅是速率的倒数，如右图那样。
由于速率是三个独立、呈正态分布的速度分量的平方之和的平方根，因此这个分布是麦克斯韦-玻尔兹曼分布。
我们通常更感兴趣于粒子的平均速率，而不是它们的实际分布。平均速率、最概然速率（众数），以及均方根速率可以从麦克斯韦-玻尔兹曼分布的性质获得。
虽然以上的方程给出了速率的分布，或具有特定速率的分子的比例，我们通常更感兴趣于粒子的平均速率，而不是它们的实际分布。
最概然速率v p f (v )的最大值或众数 。要把它求出来，我们计算df /dv ，依極值法，將其設为零，然后对v 求解：
d
f
(
v
)
d
v
=
0
{\displaystyle {\frac {df(v)}{dv}}=0}
得出：
v
p
=
2
k
T
m
=
2
R
T
M
{\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}={\sqrt {\frac {2RT}{M}}}}
其中R 是气体常数 ，M = NA m 是物质的摩尔质量 。
对于室温 （300K ）下的氮气（空气 的主要成分），可得
v
p
=
422
{\displaystyle v_{p}=422}
平均速率是速率分布的数学期望 ：
⟨
v
⟩
=
∫
0
∞
v
f
(
v
)
d
v
=
8
k
T
π
m
=
8
R
T
π
M
{\displaystyle \langle v\rangle =\int _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}}
近似得：
⟨
v
⟩
=
8
R
T
π
M
≈
1.6
K
b
T
m
≈
1.6
R
T
M
{\displaystyle \langle v\rangle ={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}\approx 1.6{\sqrt {\frac {K_{b}T}{m}}}\approx 1.6{\sqrt {\frac {RT}{M}}}}
方均根 速率v rms 是速率的平方的平均值的平方根：
v
r
m
s
=
(
∫
0
∞
v
2
f
(
v
)
d
v
)
1
/
2
=
3
k
T
m
=
3
R
T
M
{\displaystyle v_{\mathrm {rms} }=\left(\int _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv\right)^{1/2}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}}
它们具有以下的关系：
v
p
:
v
a
v
e
r
a
g
e
:
v
r
m
s
≈
1
:
1.128
:
1.224
{\displaystyle v_{p}:v_{average}:v_{\mathrm {rms} }\approx 1:1.128:1.224}
[ 1] 麦克斯韦-玻尔兹曼分布也可直接由氣體速率均向性以及分離變數的假設以微分方程計算得到指數函數之形式，微分方程解的未定數項則由粒子總數以及方均根速率和波茲曼常數的氣體動力論關係兩者聯立得解.詳見外部連結.
电子气体在不同温度下的Maxwell-Juttner速率分布 (相对论麦克斯韦分布) 当气体越来越热时，kT 趋于或超过mc2 ，这个相对论麦克斯韦气体的速率分布由Maxwell-Juttner分布给出：[ 2]
f
(
γ
)
=
γ
2
β
θ
K
2
(
1
/
θ
)
e
x
p
(
−
γ
θ
)
(
11
)
{\displaystyle f(\gamma )={\frac {\gamma ^{2}\beta }{\theta K_{2}(1/\theta )}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\gamma }{\theta }}\right)\qquad (11)}
其中
β
=
v
c
,
{\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}},}
γ
=
1
1
−
β
2
,
{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\beta ^{2}}}}},}
θ
=
k
T
m
c
2
,
{\displaystyle \theta ={\frac {kT}{mc^{2}}},}
K
2
{\displaystyle K_{2}}
贝塞尔函数 。
![{\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]\qquad \qquad (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbfec7dda96a9efc216747994f14901b0efc11db)
![{\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\frac {c}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right].\qquad \qquad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a77c1fbe0e0f7199932ffff038baaba8b21a77)
![{\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})=\left({\frac {1}{2\pi mkT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right].\qquad \qquad (6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bb5368683d11272aa07996ac3b990c73b22648e)
![{\displaystyle f_{E}\,dE=f_{p}\left({\frac {dp}{dE}}\right)\,dE=2{\sqrt {\frac {E}{\pi (kT)^{3}}}}~\exp \left[{\frac {-E}{kT}}\right]\,dE.\qquad \qquad (7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad123ba6085621329737407abb720df6c8f0dea5)
![{\displaystyle f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right],\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a89582f25c05ffba56e94442596c5399b86502e)
![{\displaystyle f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left[{\frac {-mv_{i}^{2}}{2kT}}\right].\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a2764bfa37198cf90080b34e353736d59c8097)
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