Евклид арауығы

Евклид арауығы (шулай уҡ эвклид арауығы) — баштағы мәғәнәлә, үҙсәнлектәре Евклид геометрияһы аксиомалары менән һүрәтләнгән арауыҡ. Был осраҡта арауыҡтың үлсәнеше 3-кә тигеҙ тип күҙ уңында тотола.

Хәҙерге аңлауҙа, дөйөмөрәк мәғәнәлә, оҡшаш һәм тығыҙ бәйләнгән объекттарҙың береһен белдерергә мөмкин: унда индерелгән ыңғай билдәләнгән скаляр ҡабатландыҡ менән сикле үлсәнешле ысын векторлы арауыҡ $\mathbb {R} ^{n}$, йәки шундай векторлы арауыҡҡа ярашлы метрик арауыҡ. Был мәҡәләлә беренсе билдәләмә сығанаҡ итеп алына.

$n$-үлсәмле Евклид арауығы ғәҙәттә $\mathbb {E} ^{n}$ тип тамғалана; шулай уҡ йыш ҡына, контекстан арауыҡ тәбиғи Евклид структураһы менән тәьмин ителгән икәне билдәле булғанда, $\mathbb {R} ^{n}$ тамғаланышы ла ҡулланыла.

Формаль билдәләмә

Евклид арауығына билдәләмә биреү өсөн төп төшөнсә сифатында скаляр ҡабатландыҡты алыу ябайыраҡ. Евклид векторлы арауығы, векторҙарында түбәндәге өс үҙсәнлеккә эйә булған ысын ҡиммәтле функция $(\cdot ,\cdot )$ бирелгән, ысын һандар яланында сикле үлсәнешле векторлы арауыҡ булараҡ билдәләнә:

• Билинейность: теләһә ниндәй $u,v,w$ векторҙары һәм теләһә ниндәй ысын һандар өсөн $a,b\quad (au+bv,w)=a(u,w)+b(v,w)$ һәм $(u,av+bw)=a(u,v)+b(u,w);$
• Симметриялыҡ: теләһә ниндәй векторҙар өсөн $u,v\quad (u,v)=(v,u);$
• Ыңғай билдәләнгәнлек: теләһә ниндәй $u\quad (u,u)\geqslant 0,$ шуның менән бергә $(u,u)=0\Rightarrow u=0.$

Шундай векторлы арауыҡҡа ярашлы Аффинлы арауыҡ, Евклидтың аффинлы арауығы, йәки ябай ғына Евклид арауығы тип атала .

Евклид арауығына миҫал — ысын һандарҙың бөтә мөмкин булған кортеждарынан $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ тороусы, скаляр ҡабатландыҡ $(x,y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}$ формулаһы менән бирелгән $\mathbb {R} ^{n}$ координаталы арауығы.

Оҙонлоҡтар һәм мөйөштәр

Евклид арауығында бирелгән скаляр ҡабатландыҡ төшөнсәһе оҙонлоҡтоң һәм мөйөштөң геометрик төшөнсәһен индереү өсөн етерлек. $u$ векторының оҙонлоғо ${\sqrt {(u,u)}}$ тип билдәләнә һәм $|u|$ тип тамғалана. Скаляр ҡабатландыҡтың ыңғай билдәләнгәнлеге нулдән айырмалы векторҙың оҙонлоғо нуль булмауын тәьмин итә, ә билинейность үҙсәнлегенән $|au|=|a||u|,$ булыуы, йәғни пропорциональ векторҙарҙың оҙонлоҡтары пропорциональ икәне килеп сыға.

$u$ һәм $v$ векторҙары араһындағы мөйөш $\varphi =\arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right)$ формулаһы буйынса билдәләнә. Косинустар теоремаһынан, ике үлсәмле Евклид арауығы (Евклид яҫылығы) өсөн бирелгән мөйөш билдәләмәһе ғәҙәттәге менән тап килә икәнлеге килеп сыға. Ортогональ векторҙарға, өс үлсәмле арауыҡтағы кеүек, араларындағы мөйөш ${\frac {\pi }{2}}$ тигеҙ булған векторҙар кеүек билдәләмә бирергә мөмкин.

Коши — Буняковский — Шварц тигеҙһеҙлеге һәм өсмөйөш тигеҙһеҙлеге

Юғарыла бирелгән мөйөш билдәләмәһендә бер етешһеҙлек бар: $\arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right)$-ҙың мәғәнәһе булһын өсөн, $\left|{\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right|\leqslant 1$ тигеҙһеҙлегенең үтәлеүе кәрәк. Был тигеҙһеҙлек ысынлап та ирекле Евклид арауығында үтәлә, ул Коши — Буняковский — Шварц тигеҙһеҙлеге тип атала. Был тигеҙһеҙлектән, үҙ сиратында, өсмөйөш тигеҙһеҙлеге килеп сыға: $|u+v|\leqslant |u|+|v|.$ Өсмөйөш тигеҙһеҙлеге, юғарыла һанап кителгән оҙонлоҡ үҙсәнлектәре менән бергә, Евклидтың векторлы арауығында векторҙың оҙонлоғо норма булып тора икәнен аңлата, ә $d(x,y)=|x-y|$ функцияһы Евклид арауығында метрик арауыҡ структураһын бирә (был функция Евклид метрикаһы тип атала). Атап әйткәндә, $\mathbb {R} ^{n}$ координаталы арауыҡтың $x$ һәм $y$ элементтары (нөктәләре) араһындағы алыҫлыҡ $d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$ формулаһы менән бирелә.

Алгебраик үҙсәнлектәре

Ортонормалаштырылған базистар

Евклид (векторлы) арауығында ортонормалаштырылған базис — ул пар-пар ортогональ берәмек нормалы векторҙарҙан торған базис. Ортонормалаштырылған базистар иҫәпләүҙәр өсөн бигерәк уңайлы. Шулай, мәҫәлән, ортонормалаштырылған базиста координаталары $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ һәм $(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ булған векторҙарҙың скаляр ҡабатландығын $(a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$ формулаһы буйынса иҫәпләргә мөмкин. Теләһә ниндәй Евклид арауығында ортонормалаштырылған базис бар. Ике Евклид арауығында ортонормалаштырылған базистар һайлап һәм уларҙың береһен һыҙыҡлы сағылыш менән икенсеһенә күсереп, бер үк үлсәнешле теләһә ниндәй ике Евклид арауығы изоморфлы икәнен иҫбатлап була (айырым алғанда, $n$-үлсәмле Евклид арауығы стандарт скаляр ҡабатландығы менән $\mathbb {R} ^{n}$-гә изоморфлы).

Ортогональ проекциялар

Вектор, әгәр ул аҫарауыҡтың бөтә векторҙарына ла ортогональ булһа, был аҫарауыҡҡа ортогональ тип атала. $x$ векторының $U$ аҫарауығына ортогональ проекцияһы — $U$-ға ортогональ, $x$ $u+h$ күренешендә, бында $u\in U$, күрһәтелә алған $h$ векторы ул. $u$ һәм $x$ векторҙарының остары араһындағы алыҫлыҡ $x$ векторының осонан $U$ аҫарауығына тиклем алыҫлыҡтар араһында иң бәләкәй алыҫлыҡ булып тора. Векторҙың аҫарауыҡҡа ортогональ проекцияһы һәр ваҡыт бар, уны төҙөү өсөн аҫарауыҡтағы ортонормалаштырылған базис һәм был векторҙың берекмәһенә Грам — Шмидтың ортогоналләштереү ысулын ҡулланыу етә. Ҙур үлсәмле арауыҡтарҙа ортогональ проекциялар, мәҫәлән, иң бәләкәй квадраттар ысулында ҡулланыла.

Эйәртеүле арауыҡтар һәм операторҙар

Евклид арауығының теләһә ниндәй $x$ векторы был арауыҡта $x^{*}(y)=(x,y)$ тип билдәләнгән $x^{*}$ һыҙыҡлы функционалын бирә. Был сағыштырып ҡарау Евклид арауығы менән ҡаршылыҡлы арауыҡ араһында изоморфизм булып тора һәм уларҙы иҫәпләүҙәр өсөн зыян итмәй тиңләштерергә мөмкинлек бирә. Атап әйткәндә, эйәртеүле операторҙарҙы уға ҡаршылыҡлы арауыҡта түгел, ә баштағы арауыҡта ғәмәлдә булған итеп ҡарарға, һәм үҙ эйәртеүле операторҙарҙы уларға эйәртеүле операторҙар һымаҡ билдәләргә була. Ортонормалаштырылған базиста эйәртеүле операторҙың матрицаһы баштағы оператор матрицаһына транспонирланған була, ә үҙ эйәртеүле оператор матрицаһы симметрик була.

Евклид арауығы хәрәкәттәре

Евклид арауығы хәрәкәте — ул метриканы һаҡлаусы үҙгәртеү (шулай уҡ изометрия тип аталалар). Хәрәкәт миҫалы — $p$ нөктәһен $p+v$ нөктәһенә күсереүсе, $v$ векторына параллель күсереү. Күренеүенсә, теләһә ниндәй хәрәкәт параллель күсереү һәм бер нөктәне ҡуҙғатмай һаҡлаған үҙгәртеүҙең композицияһы булып тора. Хәрәкәтһеҙ нөктәне координаталар башы итеп һайлап, теләһә ниндәй хәрәкәтте ортогональ үҙгәртеү итеп ҡарарға була. n-үлсәмле Евклид арауығының ортогональ үҙгәртеүҙәре O(n) тип тамғаланған төркөм төҙөйҙәр. Арауыҡта ортонормалаштырылған базис һайлап, был төркөмдө, $Q^{\mathsf {T}}Q=E$ шартын ҡәнәғәтләндергән, бында $Q^{\mathsf {T}}$ — транспонирланған матрица, ә $E$ — берәмек матрица, n × n матрицалар төркөмө итеп күрһәтергә була.

Миҫалдар

Евклид арауыҡтарының асыҡ, күренеп торған миҫалдары булып түбәндәге арауыҡтар хеҙмәт итә ала:

• $1$ үлсәнешле $\mathbb {E} ^{1}$ (ысын тура һыҙыҡ),
• $2$ үлсәнешле $\mathbb {E} ^{2}$ (Евклид яҫылығы),
• $3$ үлсәнешле $\mathbb {E} ^{3}$ (өс үлсәмле Евклид арауығы).

Абстрактлы миҫал:

• сикле киҫек буйынса (йәки бөтә тура һыҙыҡ буйынса, ләкин тиҙ кәмеүсе ауырлыҡ функцияһы $e^{-x^{2}}$ булған) ҡабатландыҡ интегралы һымаҡ билдәләнгән скаляр ҡабатладыҡ менән, $n$-дан ҙур булмаған дәрәжәле ысын күпбыуындар арауығы ${\mathcal {P}}^{n}$.

Күп үлсәмле Евклид арауығында геометрик фигуралар миҫалдары

• Төҙөк күп үлсәмле күпҡырҙар (атап әйткәндә, N-үлсәмле куб, N-үлсәмле октаэдр, N-үлсәмле тетраэдр)
• Гиперсфера

Бәйле билдәләмәләр

• Евклид метрикаһы аҫтында юғарыла һүрәтләнгән метриканы, шулай уҡ ярашлы Риман метрикаһын аңларға мөмкин.

• Локаль Евклидлыҡ тип ғәҙәттә шуны күҙ уңында тоталар, Риман төрлөлөгөнөң һәр тейеүсе арауығы бөтә килеп сыҡҡан үҙсәнлектәре менән Евклид арауығы була, мәҫәлән, (шыма метрика буйынса), нөктәнең бәләкәй эргә-тирәһендә, алыҫлыҡ юғарыла һүрәтләнгәнгә ярашлы күрһәтелгән (ниндәйҙер тәртипкә тиклем аныҡлыҡ менән) координаталар индерергә мөмкинлеге булған.

• Әгәр метрик арауыҡта, мәҫәлән, нуль кәкрелектәге Риман төрлөлөгө кеүек, метрика бөтә ерҙә (йәки сикле өлкәлә булһа ла) евклидлы булырлыҡ итеп (икенсе билдәләмә мәғәнәһендә), координаталарҙы индереп булһа, метрик арауыҡты шулай уҡ локаль Евклид арауығы тип атайҙар.

Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр

• Төп яланды ысын һандар яланынан комплекслы һандар яланына алмаштырыу унитар (йәки эрмит) арауыҡ билдәләмәһен бирә.
• Сикле үлсәмле булыу талабынан баш тартыу предгильберт арауығы билдәләмәһен бирә.
• Скаляр ҡабатландыҡтың ыңғай билдәләнгәнлек талабынан баш тартыу псевдоевклид арауығы билдәләмәһенә килтерә.

Әҙәбиәт

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.