Няроўнасць Кашы — Бунякоўскага

Няроўнасць Кашы́ — Буняко́ўскага звязвае норму і скалярны здабытак вектараў у еўклідавай прасторы. Гэта няроўнасць раўназначная няроўнасці трохвугольніка для нормы.

Няроўнасць Кашы — Бунякоўскага часам, асабліва ў замежнай літаратуры, называюць няроўнасцю Шварца і няроўнасцю Кашы — Бунякоўскага — Шварца («няроўнасць КБШ»), хаця працы Шварца на гэту тэму паявіліся толькі праз 25 гадоў пасля прац Бунякоўскага. Канечнамерны выпадак гэтай няроўнасці называецца няроўнасцю Кашы і быў даказан Агюстэнам Кашы ў 1821 годзе.

Фармулёўка

Няхай $L$ - лінейная прастора са скалярным здабыткам $\langle x,\;y\rangle$. Няхай $\|x\|$ — норма, спароджаная скалярным здабыткам, г.зн. $\|x\|\equiv {\sqrt {\langle x,\;x\rangle }},\;\forall x\in L$. Тады для любых $x,\;y\in L$ маем:

$|\langle x,\;y\rangle |\leqslant \|x\|\cdot \|y\|,$

прычым роўнасць дасягаецца тады і толькі тады, калі вектары $x$ і $y$ прапарцыянальныя (калінеарныя).

Каментарыі

У канечнамерным выпадку можна заўважыць, што $\|x\|^{2}\|y\|^{2}-\langle x,\;y\rangle ^{2}=S(x,\;y)^{2}$, дзе $S(x,\;y)$ — плошча паралелаграма, нацягнутага на вектары $x$ і $y$.

У агульным выпадку:

$\|x\|^{2}-{\frac {\langle x,\;y\rangle ^{2}}{\|y\|^{2}}}=\left\|x-{\frac {\langle x,\;y\rangle }{\|y\|^{2}}}y\right\|^{2}.$

Прыклады

• У прасторы камплексназначных квадратычна складальных паслядоўнасцей $l^{2}$ няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:

$\left|\sum \limits _{k=1}^{\infty }x_{k}{\bar {y}}_{k}\right|^{2}\leqslant \left(\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{2}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{\infty }|y_{k}|^{2}\right),$

дзе ${\bar {y}}_{k}$ абазначае камплекснае спалучэнне $y_{k}$.

• У прасторы камплексных квадратычна інтэгравальных функцый $L^{2}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$ няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:

$\left|\int \limits _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mu (dx)\right|^{2}\leqslant \left(\int \limits _{X}\left|f(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right)\cdot \left(\int \limits _{X}\left|g(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right).$

• У прасторы выпадковых велічынь з канечным другім момантам $L^{2}(\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mathbb {P} )$ няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:

  $\mathrm {cov} ^{2}(X,\;Y)\leqslant \mathrm {D} [X]\cdot \mathrm {D} [Y],$

дзе $\mathrm {cov}$ абазначае каварыяцыю, а $\mathrm {D}$ — дысперсію.

Доказ

• Калі $\langle x,y\rangle \in \mathbb {R} ,$ то $\forall \lambda \in \mathbb {R}$ справядліва наступнае

$0\leqslant \langle \lambda x+y,\;\lambda x+y\rangle =\lambda ^{2}\langle x,\;x\rangle +2\lambda \langle x,\;y\rangle +\langle y,\;y\rangle .$

Значыць дыскрымінант мнагачлена $\lambda ^{2}\langle x,\;x\rangle +2\lambda \langle x,\;y\rangle +\langle y,\;y\rangle$ недадатны, г.зн.

$D=(2\langle x,\;y\rangle )^{2}-4\langle x,\;x\rangle \langle y,\;y\rangle \leqslant 0.$

Такім чынам,

$|\langle x,\;y\rangle |\leqslant \|x\|\cdot \|y\|.$

• Калі $Im\langle x,y\rangle \neq 0,$ то прадставім скалярны здабытак у трыганаметрычным выглядзе $\langle x,y\rangle =re^{i\phi }.$

Вызначым вектар $z=e^{-i\phi }x.$ Тады

$\langle z,y\rangle =e^{-i\phi }\langle x,y\rangle =r=\left|\langle x,y\rangle \right|\in \mathbb {R}$ і

$\langle z,z\rangle =e^{-i\phi }\langle x,e^{-i\phi }x\rangle =e^{-i\phi }e^{i\phi }\langle x,x\rangle =\langle x,x\rangle$

Да скалярнага здабытку $\langle z,y\rangle \in \mathbb {R}$ прыменім вынік першага пункта доказу.

$\left|\langle x,y\rangle \right|=r=\langle z,y\rangle \leqslant \|z\|\cdot \|y\|=\|x\|\cdot \|y\|$