Kardinální číslo

V matematice se pojem kardinální číslo, někdy též kardinál, pojí s čísly používanými pro popis velikosti množin. Jelikož se matematika zabývá i nekonečnými objekty, kardinální čísla a mohutnosti množin popisují i nekonečné množiny.

Historie

Kardinální čísla byla popsána Georgem Cantorem, když se v letech 1874 až 1884 pokoušel postavit matematiku na pevnější základy a zavedl verzi teorie množin, která se dnes nazývá naivní.

Nejdříve zavedl kardinalitu jako nástroj pro porovnávání konečných množin. Například množiny {1,2,3} a {2,3,4} si nejsou rovny, ale mají stejnou kardinalitu.

Dále Cantor zavedl bijekci, pomocí které lze jednoduše definovat, že množiny mají stejnou kardinalitu, a to i pro nekonečné množiny, například přirozená čísla. Zavedl i pojem spočetná množina pro každou množinu, která má stejnou mohutnost jako množina přirozených čísel. Kardinál spočetných množin pojmenoval $\aleph _{0}$ ("alef nula", alef je první písmeno hebrejské abecedy).

Cantora zajímalo, zda každá nekonečná množina je spočetná. Pomocí takzvané diagonální metody dokázal, že tomu tak není a popsal nový kardinál, mohutnost kontinua, dnes běžně značený c. Vyjadřuje mohutnost množiny reálných čísel. Ukázal, že existuje nejmenší nekonečné kardinální číslo ($\aleph _{0}$) a též že pro každé kardinální číslo existuje kardinální číslo, které je větší ($\aleph _{1},\aleph _{2},\aleph _{3},\cdots$).

Později vyslovil tvrzení známé jako hypotéza kontinua. To říká, že c = $\aleph _{1}$. Marné pokusy tuto hypotézu vyřešit dováděly Cantora k šílenství. Teprve později se po pečlivé axiomatizaci teorie množin ukázalo, že platnost hypotézy kontinua je nezávislá na standardních axiomech teorie množin, a proto nemůže být na jejich základě dokázána ani vyvrácena.

Definice

Ordinální číslo $\alpha \,\!$ nazveme kardinálním číslem (nebo kardinálem), pokud každé menší ordinální číslo $\beta <\alpha \,\!$ má i menší mohutnost (tj. $\alpha \,\!$ nelze vzájemně jednoznačně zobrazit na žádnou podmnožinu $\beta \,\!$). Označíme-li jako $Cn\,\!$ třídu všech kardinálních čísel a $On\,\!$ třídu všech ordinálních čísel, můžeme zapsat tuto definici ve tvaru: $\alpha \in Cn\Leftrightarrow (\forall \beta )(\beta <\alpha \implies \neg (\beta \approx \alpha ))$

Kardinální čísla jsou obvykle značena písmeny ze středu řecké alfabety $\kappa ,\lambda ,\mu \,\!$, aby se odlišila od ordinálních čísel, pro která jsou používána písmena ze začátku alfabety: $\alpha ,\beta ,\gamma \,\!$

Vztah kardinálních čísel k mohutnosti

Kardinální čísla jsou vhodnými kandidáty k reprezentování jednotlivých tříd ekvivalence podle relace $\approx \,\!$ (viz článek mohutnost).
Je-li $x\,\!$ množina, kterou lze vzájemně jednoznačně zobrazit na kardinál $\lambda \,\!$, říkáme, že $\lambda \,\!$ je mohutnost množiny $x\,\!$ a píšeme $|x|=\lambda \,\!$.
Jednoznačné zobrazení mohutnosti všech množin na kardinály je závislé na axiomu výběru. Připouštíme-li axiom výběru, pak z principu dobrého uspořádání plyne, že každou množinu lze zobrazit na nějaký kardinál. V případě, že axiom výběru neplatí, však mohou existovat množiny, jejichž mohutnost nelze definovat výše uvedeným způsobem.

Vlastnosti a příklady kardinálních čísel

1. Přirozená čísla (tj. konečná ordinální čísla) jsou zároveň kardinálními čísly.
2. Množina $\omega \,\!$ všech přirozených čísel je první nekonečný kardinál a zároveň jediný nekonečný spočetný kardinál. Pokud existují nějaké další nekonečné kardinály, jsou již nespočetné. A ony existují:
3. Ke každému kardinálu existuje větší kardinál.
4. Třída $Cn\,\!$ všech kardinálů je vlastní třída izomorfní s třídou $On\,\!$ všech ordinálů – kardinály tedy lze očíslovat ordinálními čísly tak, aby žádný nechyběl a žádný nepřebýval.

Která konkrétní nekonečná ordinální čísla jsou tedy zároveň kardinály, když jich existuje tolik? Prvním z nich je, jak již víme, $\omega \,\!$. Pokusme se najít nějaký další:

• ordinální čísla $\omega +1,\omega +2,\omega +3,\ldots \,\!$ jsou spočetná – nejsou to tedy kardinály, protože mají stejnou mohutnost, jako menší ordinál $\omega \,\!$
• ordinální čísla $\omega +\omega =\omega .2,\omega .3,\omega .4,\ldots \,\!$ jsou stále spočetná
• ordinální čísla $\omega .\omega =\omega ^{2},\omega ^{3},\omega ^{4},\ldots \,\!$ jsou stále spočetná
• ordinální čísla $\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\ldots \,\!$ jsou stále spočetná
• dokonce i supremum předchozí posloupnosti (označované někdy jako $\epsilon _{0}\,\!$) je stále spočetné

Jak je vidět, za $\omega \,\!$ následuje ve třídě ordinálních čísel veliké hluché místo, ve kterém není žádný kardinál – pokud se budeme snažit postupovat třídou ordinálních čísel nahoru pomocí operací ordinální aritmetiky jako v předchozím příkladu, zůstávají další kardinály kdesi daleko za obzorem.

Funkce alef

Obdobné tvrzení, jako číslo 4 v odstavci Vlastnosti a příklady kardinálních čísel, platí i pro třídu všech nekonečných kardinálů $Cn-\omega \,\!$ – také existuje izomorfismus mezi ní a $On\,\!$.
Tato izomorfní funkce je obvykle nazývána prvním písmenem hebrejské abecedy – alef, a značena $\aleph \,\!$.

• $\aleph _{0}=\omega$ je nejmenší nekonečný kardinál – množina přirozených čísel
• $\aleph _{1}$ je nejmenší nespočetný kardinál
• pro každý ordinál $\alpha \,\!$ existuje kardinál $\aleph _{\alpha }$, má tedy dobrý smysl ptát se, jak asi vypadají kardinály $\aleph _{2},\aleph _{3},\aleph _{\omega },\aleph _{\omega ^{\omega }+\omega .5+127}$

Dá se ukázat, že funkce $\aleph \,\!$ je normální funkce (tj. rostoucí a spojitá pro limitní ordinály) na ordinálních číslech. Lze dokázat, že každá taková funkce má ve třídě $On\,\!$ nekonečně mnoho pevných bodů (tyto pevné body dokonce tvoří vlastní třídu izomorfní s $On\,\!$.

Aplikováno konkrétně na funkci $\aleph \,\!$: existuje obrovské (ve smyslu „hodně, ale opravdu hodně nekonečné“) množství ordinálů $\alpha \,\!$, pro které platí, že $\alpha =\aleph _{\alpha }$.

Pokud si toto dáme dohromady s výsledkem našeho hledání $\aleph _{1}\,\!$ v předchozím oddílu, vidíme, že funkce $\aleph \,\!$ má opravdu podivné vlastnosti:

• na jedné straně hrozně rychle roste (už její druhá hodnota – $\aleph _{1}\,\!$ je hodně daleko od její první hodnoty $\aleph _{0}\,\!$)
• na druhé straně asi někde musí hodně přibrzdit, protože existují místa (libovolně velké ordinály), kde úplně ztratí náskok před „nejpomaleji rostoucí“ identickou funkcí $Id:Id(\alpha )=\alpha \,\!$ – v takovýchto pevných bodech platí $\aleph _{\alpha }=Id(\alpha )=\alpha \,\!$

Kardinální aritmetika

Na třídě kardinálních čísel lze definovat stejně jako na třídě ordinálních čísel běžné aritmetické operace součtu, součinu a mocniny – rozdíl spočívá v tom, že zatímco u ordinálních operací hovoříme o „typu dobrého uspořádání“ výsledné množiny, u kardinálních operací nás zajímá mohutnost výsledné množiny. Vlastnostmi těchto operací se zabývá samostatný článek kardinální aritmetika

Související články

• Kardinální aritmetika
• Ordinální číslo
• Ordinální aritmetika
• Mohutnost
• Singulární kardinál
• Regulární kardinál
• Kofinál
• Hypotéza kontinua
• Zobecněná hypotéza kontinua
• Hypotéza singulárních kardinálů

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kardinální číslo na Wikimedia Commons

Autoritní data	NKC: ph121464 PSH: 7136 NLI: 987007538749805171

Portály: Matematika