Στα μαθηματικά , η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς ή ανισότητα Κωσύ-Μπουνιακόφσκι-Σβαρτς (αναφέρεται και ως ανισότητα Cauchy-Schwarz ή ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz ) δίνει ότι σε οποιοδήποτε πραγματικό ή μιγαδικό διανυσματικό χώρο
V
{\displaystyle V}
εσωτερικό γινόμενο
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
x
,
y
∈
V
{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}
[ 1] :8 [ 2] :19,28 [ 3] :157 [ 4] :66
|
⟨
x
,
y
⟩
|
≤
‖
x
‖
⋅
‖
y
‖
,
{\displaystyle |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |\leq \lVert \mathbf {x} \rVert \cdot \lVert \mathbf {y} \rVert ,}
όπου
‖
x
‖
=
⟨
x
,
x
⟩
{\displaystyle \textstyle \lVert \mathbf {x} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}
‖
y
‖
=
⟨
y
,
y
⟩
{\displaystyle \textstyle \lVert \mathbf {y} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}}
|
⟨
x
,
y
⟩
|
{\displaystyle |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |}
απόλυτη τιμή του
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }
αν και μόνο αν τα διανύσματα
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
y
{\displaystyle \mathbf {y} }
συγγραμικά .
Η ανισότητα ισχύει για κάθε συνάρτηση
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
εσωτερικού γινομένου και επομένως δίνει ως πόρισμα πολλές ανισότητες. Για παράδειγμα, για
V
=
R
n
{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}
[ 5] :32 [ 6] :198 [ 7] :83
⟨
x
,
y
⟩
=
x
1
y
1
+
…
+
x
n
y
n
=
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
,
{\displaystyle \textstyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i},}
η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για κάθε
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
(
y
1
,
…
,
y
n
)
∈
R
n
{\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
(
x
1
y
1
+
…
+
x
n
y
n
)
2
≤
(
x
1
2
+
…
+
x
n
2
)
⋅
(
y
1
2
+
…
+
y
n
2
)
.
{\displaystyle (x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n})^{2}\leq (x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2})\cdot (y_{1}^{2}+\ldots +y_{n}^{2}).}
Μία συνάρτηση
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
διανυσματικού χώρου
V
{\displaystyle V}
σώμα
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
F
=
R
{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }
F
=
C
{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }
⟨
x
,
x
⟩
>
0
{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle >0}
x
∈
V
{\displaystyle \mathbf {x} \in V}
x
≠
0
{\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }
⟨
x
,
y
⟩
=
⟨
y
,
x
⟩
¯
{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}}
x
,
y
∈
V
{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}
⟨
a
x
+
b
y
,
z
⟩
=
a
⟨
x
,
z
⟩
+
b
⟨
y
,
z
⟩
{\displaystyle \langle a\mathbf {x} +b\mathbf {y} ,\mathbf {z} \rangle =a\langle \mathbf {x} ,\mathbf {z} \rangle +b\langle \mathbf {y} ,\mathbf {z} \rangle }
x
,
y
,
z
∈
V
{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V}
a
,
b
∈
F
{\displaystyle a,b\in \mathbb {F} }
H ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για κάθε
x
,
y
∈
V
{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}
|
⟨
x
,
y
⟩
|
≤
‖
x
‖
⋅
‖
y
‖
,
{\displaystyle |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |\leq \lVert \mathbf {x} \rVert \cdot \lVert \mathbf {y} \rVert ,}
όπου
‖
x
‖
=
⟨
x
,
x
⟩
{\displaystyle \textstyle \lVert \mathbf {x} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}
‖
y
‖
=
⟨
y
,
y
⟩
{\displaystyle \textstyle \lVert \mathbf {y} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}}
αν και μόνο αν τα διανύσματα
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
y
{\displaystyle \mathbf {y} }
x
=
λ
y
{\displaystyle \mathbf {x} =\lambda \mathbf {y} }
λ
∈
F
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {F} }
Υπάρχουν πολλές αποδείξεις για αυτή την ανισότητα.[ 1] : 12-16
Έστω
x
,
y
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}
z
=
x
−
λ
y
{\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} }
λ
∈
R
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }
⟨
x
−
λ
y
,
x
−
λ
y
⟩
≥
0
{\displaystyle \langle \mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} ,\mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} \rangle \geq 0}
Επεκτείνοντας το αριστερό μέλος χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου
0
≤
⟨
x
,
x
⟩
−
⟨
x
,
λ
y
⟩
−
⟨
λ
y
,
x
⟩
+
⟨
y
,
y
⟩
=
⟨
x
,
x
⟩
−
⟨
x
,
λ
y
⟩
−
⟨
x
,
λ
y
⟩
+
⟨
y
,
y
⟩
=
‖
x
‖
2
−
2
λ
⟨
x
,
y
⟩
+
λ
2
‖
y
‖
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -\langle \mathbf {x} ,\lambda \mathbf {y} \rangle -\langle \lambda \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -\langle \mathbf {x} ,\lambda \mathbf {y} \rangle -\langle \mathbf {x} ,\lambda \mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \\&=\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}-2\lambda \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +\lambda ^{2}\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}.\end{aligned}}}
Όταν
‖
y
‖
>
0
{\displaystyle \lVert \mathbf {y} \rVert >0}
y
≠
0
{\displaystyle \mathbf {y} \neq \mathbf {0} }
τριώνυμο του
λ
{\displaystyle \lambda }
διακρίνουσα
Δ
≤
0
{\displaystyle \Delta \leq 0}
Δ
=
4
⟨
x
,
y
⟩
2
−
4
⋅
‖
x
‖
2
⋅
‖
y
‖
2
≤
0
{\displaystyle \Delta =4\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ^{2}-4\cdot \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}\cdot \lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}\leq 0}
Αναδιατάσσοντας και παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα και στα δύο μέλη,
|
⟨
x
,
y
⟩
|
≤
‖
x
‖
⋅
‖
y
‖
{\displaystyle |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |\leq \lVert \mathbf {x} \rVert \cdot \lVert \mathbf {y} \rVert }
που είναι η ζητούμενη ανισότητα. Επομένως, μένει να ελέγξουμε την περίπτωση
y
=
0
{\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {0} }
Ξεκινάμε με την παρατήρηση ότι για κάθετα διανύσματα
u
,
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}
⟨
u
,
v
⟩
=
0
{\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0}
‖
u
+
v
‖
2
=
⟨
u
+
v
,
u
+
v
⟩
=
‖
u
‖
2
+
⟨
u
,
v
⟩
+
⟨
v
,
u
⟩
¯
+
‖
v
‖
2
=
‖
u
‖
2
+
‖
v
‖
2
.
{\displaystyle \lVert \mathbf {u} +\mathbf {v} \rVert ^{2}=\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle =\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}+\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +{\overline {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}+\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}=\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}+\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}.}
Τώρα θα αποδείξουμε την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς για κάθε
x
,
y
∈
V
{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}
‖
y
‖
=
0
{\displaystyle \lVert \mathbf {y} \rVert =0}
y
=
0
{\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {0} }
z
=
x
−
⟨
x
,
y
⟩
‖
y
‖
2
⋅
y
∈
V
.
{\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {x} -{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} \in V.}
Αυτό το διάνυσμα είναι κάθετο στο
y
{\displaystyle \mathbf {y} }
⟨
z
,
y
⟩
=
⟨
x
−
⟨
x
,
y
⟩
‖
y
‖
2
⋅
y
,
y
⟩
=
⟨
x
,
y
⟩
−
⟨
x
,
y
⟩
‖
y
‖
2
⋅
⟨
y
,
y
⟩
=
⟨
x
,
y
⟩
−
⟨
x
,
y
⟩
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {z} ,\mathbf {y} \rangle &=\left\langle \mathbf {x} -{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} ,\mathbf {y} \right\rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0.\end{aligned}}}
Επομένως,
‖
x
‖
2
=
‖
z
+
⟨
x
,
y
⟩
‖
y
‖
2
⋅
y
‖
2
=
‖
z
‖
2
+
‖
⟨
x
,
y
⟩
‖
y
‖
2
⋅
y
‖
2
=
‖
z
‖
2
+
|
⟨
x
,
y
⟩
|
‖
y
‖
2
≥
|
⟨
x
,
y
⟩
|
‖
y
‖
2
.
{\displaystyle \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}=\left\|\mathbf {z} +{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} \right\|^{2}=\lVert \mathbf {z} \rVert ^{2}+\left\|{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} \right\|^{2}=\lVert \mathbf {z} \rVert ^{2}+{\frac {|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |}{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\geq {\frac {|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |}{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}.}
(1
Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε την ζητούμενη ανισότητα
‖
x
‖
2
⋅
‖
y
‖
2
≥
|
⟨
x
,
y
⟩
|
.
{\displaystyle \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}\cdot \lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}\geq |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |.}
Επίσης, η ισότητα από την (1 αν και μόνο αν ,
‖
z
‖
2
=
0
{\displaystyle \lVert \mathbf {z} \rVert ^{2}=0}
z
=
0
⇔
x
=
⟨
x
,
y
⟩
‖
y
‖
2
⋅
y
{\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {0} \Leftrightarrow \mathbf {x} ={\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} }
δηλαδή ανν τα διανύσματα είναι συγγραμικά.
Η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να αποδείξει την τριγωνική ανισότητα σε χώρους με εσωτερικό γινόμενο.[ 2] : 19
x
,
y
∈
V
{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}
‖
x
+
y
‖
2
=
⟨
x
+
y
,
x
+
y
⟩
=
⟨
x
,
x
+
y
⟩
+
⟨
y
,
x
+
y
⟩
=
⟨
x
,
x
⟩
+
⟨
x
,
y
⟩
+
⟨
y
,
x
⟩
+
⟨
y
,
y
⟩
=
‖
x
‖
2
+
⟨
x
,
y
⟩
+
⟨
x
,
y
⟩
¯
+
‖
y
‖
2
=
‖
x
‖
2
+
2
R
e
(
⟨
x
,
y
⟩
)
+
‖
y
‖
2
≤
‖
x
‖
2
+
2
|
⟨
x
,
y
⟩
|
+
‖
y
‖
2
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\lVert \mathbf {x} +\mathbf {y} \rVert ^{2}&=\langle \mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} \rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} \rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \\&=\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +{\overline {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }}+\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}\\&=\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+2\mathrm {Re} (\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle )+\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}\\&\leq \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+2|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |+\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2},\end{aligned}}}
όπου χρησιμοποιήσαμε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
R
e
(
z
)
≤
|
z
|
{\displaystyle \mathrm {Re} (z)\leq |z|}
‖
x
+
y
‖
2
≤
‖
x
‖
2
+
2
‖
x
‖
⋅
‖
y
‖
+
‖
y
‖
2
=
(
‖
x
‖
+
‖
y
‖
)
2
.
{\displaystyle \lVert \mathbf {x} +\mathbf {y} \rVert ^{2}\leq \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+2\lVert \mathbf {x} \rVert \cdot \lVert \mathbf {y} \rVert +\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}=(\lVert \mathbf {x} \rVert +\lVert \mathbf {y} \rVert )^{2}.}
Παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα και στα δύο μέλη, καθώς είναι μη-αρνητικά, λαμβάνουμε
‖
x
+
y
‖
≤
‖
x
‖
+
‖
y
‖
.
{\displaystyle \lVert \mathbf {x} +\mathbf {y} \rVert \leq \lVert \mathbf {x} \rVert +\lVert \mathbf {y} \rVert .}
Για το ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο
⟨
x
,
y
⟩
=
x
1
y
1
+
…
+
x
n
y
n
=
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
,
{\displaystyle \textstyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i},}
η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για κάθε
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
(
y
1
,
…
,
y
n
)
∈
R
n
{\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
(
x
1
y
1
+
…
+
x
n
y
n
)
2
≤
(
x
1
2
+
…
+
x
n
2
)
⋅
(
y
1
2
+
…
+
y
n
2
)
.
{\displaystyle (x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n})^{2}\leq (x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2})\cdot (y_{1}^{2}+\ldots +y_{n}^{2}).}
Για το εσωτερικό γινόμενο δύο συναρτήσεων
f
,
g
{\displaystyle f,g}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\ dx,}
η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι[ 8] :Ανισότητα (C), σελ. 4 [ 7] : 91
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
≤
(
∫
a
b
f
2
(
x
)
d
x
)
⋅
(
∫
a
b
g
2
(
x
)
d
x
)
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\ dx\leq \left(\int _{a}^{b}f^{2}(x)\ dx\right)\cdot \left(\int _{a}^{b}g^{2}(x)\ dx\right).}
Η ανισότητα αυτή αναφέρεται ως ανισότητα Μπουνιακοφκι-Σβαρτς.
Η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου που λέει ότι για κάθε
x
1
,
…
,
x
n
∈
R
+
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} _{+}}
x
1
+
…
+
x
n
n
≥
x
1
⋅
…
⋅
x
n
n
,
{\displaystyle {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}}},}
μπορεί να αποδειχθεί με την χρήση της ανισότητας Κωσύ-Σβρατς.[ 9] :Θεώρημα 17, σελ.457-459 [ 1] : 19-24
Στην θεωρία πιθανοτήτων , για δύο τυχαίες μεταβλητές
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
[ 10] :187-188 [ 11] :242 [ 12] :64-65
(
E
(
X
Y
)
)
2
≤
E
(
X
2
)
⋅
E
(
Y
2
)
,
{\displaystyle (\operatorname {E} (XY))^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\cdot \operatorname {E} (Y^{2}),}
με την ισότητα να ισχύει αν
Pr
(
a
X
=
b
Y
)
=
1
{\displaystyle \Pr(aX=bY)=1}
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
Εφαρμόζοντας την ανισότητα αυτή στις τυχαίες μεταβλητές
X
′
=
X
−
E
(
X
)
{\displaystyle X'=X-\operatorname {E} (X)}
Y
′
=
Y
−
E
(
Y
)
{\displaystyle Y'=Y-\operatorname {E} (Y)}
[ 13]
−
1
≤
ρ
(
X
,
Y
)
≤
1
,
{\displaystyle -1\leq \rho (X,Y)\leq 1,}
καθώς
ρ
(
X
,
Y
)
=
Cov
(
X
,
Y
)
Var
(
X
)
⋅
Var
(
Y
)
=
E
(
(
X
−
E
(
X
)
)
(
Y
−
E
(
Y
)
)
)
E
(
(
X
−
E
(
X
)
)
2
)
⋅
E
(
(
Y
−
E
(
Y
)
)
2
)
=
E
(
X
′
Y
′
)
E
(
(
X
′
)
2
)
⋅
E
(
(
Y
′
)
2
)
.
{\displaystyle \rho (X,Y)={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{\operatorname {Var} (X)\cdot \operatorname {Var} (Y)}}={\frac {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))(Y-\operatorname {E} (Y)))}{\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})\cdot \operatorname {E} ((Y-\operatorname {E} (Y))^{2})}}={\frac {\operatorname {E} (X'Y')}{\operatorname {E} ((X')^{2})\cdot \operatorname {E} ((Y')^{2})}}.}
Στον Ευκλείδειο χώρο
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
v
1
,
v
2
∈
R
2
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in \mathbb {R} ^{2}}
θ
{\displaystyle \theta }
cos
θ
=
⟨
v
1
,
v
2
⟩
‖
v
1
‖
⋅
‖
v
2
‖
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle }{\lVert \mathbf {v} _{1}\rVert \cdot \lVert \mathbf {v} _{2}\rVert }}}
Σε
n
≥
3
{\displaystyle n\geq 3}
v
1
,
v
2
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in \mathbb {R} ^{n}}
θ
{\displaystyle \theta }
v
1
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}}
v
2
{\displaystyle \mathbf {v} _{2}}
[ 2] : 28 [ 3] : 157
θ
=
cos
−
1
(
⟨
v
1
,
v
2
⟩
‖
v
1
‖
⋅
‖
v
2
‖
)
{\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\frac {\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle }{\lVert \mathbf {v} _{1}\rVert \cdot \lVert \mathbf {v} _{2}\rVert }}\right)}
Για να έχει νόημα αυτός ο ορισμός, πρέπει
⟨
v
1
,
v
2
⟩
‖
v
1
‖
⋅
‖
v
2
‖
∈
[
−
1
,
1
]
,
{\displaystyle {\frac {\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle }{\lVert \mathbf {v} _{1}\rVert \cdot \lVert \mathbf {v} _{2}\rVert }}\in [-1,1],}
το οποίο προκύπτει από την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς.
Η ανισότητα για το
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ .[ 9] : Θεώρημα 16, σ. 455 [ 8] : Ανισότητα (C), σελ. 4 Χέρμαν Σβαρτς και κάνει χρήση της απόδειξης που γενικεύεται για κάθε πραγματικό διανυσματικό χώρο με εσωτερικό γινόμενο.[ 14] [ 7] : Κεφάλαιο 4 [ 15] [ 16]
↑ 1,0 1,1 1,2 Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz master class : an introduction to the art of mathematical inequalities . Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 9780511817106 . ↑ 2,0 2,1 2,2 Cowley, S. J. (2010). «Mathematical Tripos: IA Vectors & Matrices» (PDF) . Cambridge University. Ανακτήθηκε στις 11 Σεπτεμβρίου 2022 . ↑ 3,0 3,1 Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες ISBN 978-960-603-273-8 . ↑ Αναστόπουλος, Χάρις. «Κβαντική Θεωρία» (PDF) . Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών. Ανακτήθηκε στις 11 Σεπτεμβρίου 2022 . ↑ Kolmogorov, A. N. (1970). Introductory real analysis . New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61226-3 . ↑ Zeitz, Paul (1999). The art and craft of problem solving . New York: John Wiley. ISBN 0-471-13571-2 . ↑ 7,0 7,1 7,2 Mitrinović, D. S.· Pečarić, J. E.· Fink, A. M. (1993). Classical and new inequalities in analysis . Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-2064-7 . ↑ 8,0 8,1 Bunyakovsky, Viktor (1859). «Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finies» . Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg 7 (1): 6. http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/bunyakovsky.pdf . ↑ 9,0 9,1 Cauchy, A.-L. (1821). «Sur les formules qui résultent de l'emploie du signe et sur > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités». Cours d'Analyse, 1er Partie: Analyse Algébrique 1821; OEuvres Ser.2 III 373-377 . ↑ Casella, George· Berger, Roger L. (2002). Statistical Inference (2η έκδοση). Cengage Learning. ISBN 978-81-315-0394-2 . ↑ Feller, William (1950). An introduction to probability theory and its applications Volume I (3η έκδοση). Wiley. ↑ Grimmett, Geoffrey (2001). Probability and random processes ISBN 978-0-19-857222-0 . ↑ Κολουντζάκης, Μ. «Βίντεο 2: Ανισότητα Cauchy-Schwarz. Συντελεστής συσχέτισης δύο ΤΜ» . Πανεπιστήμιο Κρήτης. Ανακτήθηκε στις 11 Σεπτεμβρίου 2022 . ↑ Schwarz, H. A. (1888). «Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung» . Acta Societatis Scientiarum Fennicae XV : 318. http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/Schwarz.pdf . ↑ Dragomir, S. S.; Sofo, A. (2008). «On some inequalities of Cauchy-Bunyakovsky type and applications». Tamkang Journal of Mathematics 39 (4): 291-301. ↑ Dragomir, S. S. (2003). «A survey on Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz type discrete inequalities» . Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 4 (3). https://www.emis.de/journals/JIPAM/images/010_03_JIPAM/010_03.pdf . 
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e82081b45b162237183374dbcba07217803b2493)
![{\displaystyle {\frac {\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle }{\lVert \mathbf {v} _{1}\rVert \cdot \lVert \mathbf {v} _{2}\rVert }}\in [-1,1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c59f564825b5526486ca1dd79df428f136c8fa)
