Tri-korpa problemo

Proksimumaj trajektorioj de tri identaj korpoj troviĝantaj ĉe la verticoj de skalena triangulo kaj havantaj nulajn komencajn rapidojn. Oni povas observi ke la masocentro, konforme kun la leĝo de konservado de movokvanto, restas fiksita en sia loko.

Dum sistemo de 3 korpoj interrilatantaj gravite estas kaosa, sistemo de 3 korpoj interrilatantaj elastikece ne estas.

La trikorpa problemo estas malnova kaj fama problemo en mekaniko, kiu serĉas priskribi la reciprokan movadon, t.e. determini iliajn moviĝojn - poziciojn kaj rapidecojn en ajna momento, de tri korpoj kun preskaŭ la sama maso sub la influo de reciproka gravita altiro kaj komencante de donitaj pozicioj kaj rapidecoj (ĝiaj komencaj kondiĉoj estas 18 valoroj, konsekvencaj por ĉiu el la korpoj: ĝiaj 3 poziciokoordinatoj kaj la tri komponantoj de ĝia rapideco) . Ĉar la problemo taŭgas por priskribi la movadon de korpoj kiel la Suno, la Tero kaj la Luno, ĝi havas grandan teorian gravecon en la astronomio de la Sunsistemo (kaj precipe en la temo de la stabileco de sunsistemo) .

Krom en certaj specialaj kazoj, la problemo estas nesolvebla.

La Du-korpa problemo estis plene solvita fare de Neŭtono en unu el la unuaj aplikoj de la diferenciala kalkulo. Neŭtono montris ke du korpoj moviĝantaj sub la influo de gravito sole, moviĝas relative unu al la alia en vojo kiu formas konusan sekcion : elipso, parabolo aŭ hiperbolo .

Kontraste, la trikorpa problemo estas malfacila problemo ĝenerale. Kvankam ĝi estis studita fare de multaj matematikistoj, precipe ekde la tempoperiodo de Henri Poincaré, neniu kompleta analiza solvo al la problemo estas konata, krom specialaj kazoj. Por akiri kvantajn rezultojn, en la ĝenerala kazo ĝi devas esti solvita nombre.

Historio

Ekde la malkovroj de Johano Keplero kaj Nikolao Koperniko, la trikorpa problemo estis konsiderata unu el la plej malfacilaj matematikaj problemoj, kiun tra la jarcentoj traktis multaj konataj matematikistoj kiel Alexis-Claude Clairaut, Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, Thorvald Nicolai Thiele, George William Hill kaj Henri Poincaré. En la ĝenerala kazo, la movado okazas ĥaose kaj nur nombre kalkuleblas.

En 1776, la franca matematikisto Pierre-Simon Laplace komencis publikigi 5 volumojn de Traité de la Mécanique Céleste, en kiu li kategorie deklaris ke, se la rapideco kaj pozicio de ĉiuj partikloj en la Universo estus konataj tuj, ilia pasinteco povus esti antaŭvidebla, kaj ankaŭ ili estonteco. Dum pli ol 100 jaroj lia deklaro ŝajnis ĝusta kaj, tial, oni konkludis, ke libera volo ne ekzistas, ĉar ĉio estis determinita.

La unua laboro de Poincaré pri la problemo estis skribita en respondo al konkurso sponsorita fare de Oscar la 2-a, Reĝo de Svedio. La (unua) problemo proponita al la aŭtoroj traktis la stabilecon de la sistemo de tri korpoj. La provkonrolantoj - Gusta Mittag-Leffler, Weierstrass kaj Hermite, komence havis malfacilecon legi la solvon de Poincaré, sed post kiam li prezentis klarigojn, kiuj daŭris preskaŭ cent paĝojn, ili elektis lin kiel la gajninton. Eraro estis malkovrita en tiu solvo, kaj antaŭ ol Poincaré povis korekti ĝin, malpli ol monaton poste, kaj malgraŭ la pezaj elspezoj, Mittag-Leffler devigis lin retiri ĉiujn presitajn kopiojn de la solvo. Mittag-Leffler, kiu apogis la intuician aliron de Poincaré, timis ke la germana lernejo gvidita fare de Kroenker vidus en eraro decidan pruvon de sia kritiko kontraŭ la laboro de Poincaré, kiu ne estis sufiĉe rigora por lia gusto. Sekvante tion, Poincaré skribis en 1892-1899 trivoluman disertaĵon pri "Novaj Metodoj en Ĉiela Mekaniko", kiu iniciatis modernan esploradon en dinamikajn sistemojn .

La hazardo estas nenio alia ol la mezuro de la nescio de la homo, rekonante, samtempe, la ekziston de sennombraj fenomenoj, kiuj ne estis tute hazardaj, kiuj simple ne respondis al lineara dinamiko, tiuj al kiuj malgrandaj ŝanĝoj en la komencaj kondiĉoj kondukis al grandegaj ŝanĝoj en la rezulto. - [ citaĵo bezonata ] Henri Poincare

Komence de la 20-a jarcento, Karl Frithiof Sundman estis la unua se temas pri doni analizan solvon al la trikorpa problemo en la formo de konverĝa potencoserio, sub la supozo ke la totala angula movokvanto de la sistemo ne malaperas kaj tial trikorpa kolizio ne okazas en kiu la distanco inter ĉiuj tri korpoj estas nula. Tamen, la solvo de Sundman ne estas utila por praktikaj kalkuloj, ĉar la sumo devus enkalkuli almenaŭ 10 al la potenco de 8,000,000 terminoj por atingi sufiĉan precizecon.

La stabileco de trikorpa sistemo estas priskribita per la teoremo de Kolmogorov-Arnold-Moser.

En praktika maniero, la problemo de la tri korpoj, kaj eĉ la pli ĝenerala plurkorpa N-korpa problemo, estas solvita helpe de nombraj metodoj. Por tiu celo, la movado estas dividita en mallongajn tempodaŭrojn, kaj la fortoj agantaj inter la korpoj en ĉiu tempoperiodo estas kalkulitaj. Ju pli mallongaj la tempoperiodoj, des pli precizaj estos la kalkuloj, sed atingi kompletan precizecon estas ege malfacila tasko .

En septembro 2023, pluraj eblaj solvoj estis trovita al la problemo laŭ raportoj ().

La limigita aŭ Euler-problemo

La "limigita tri-korpa problemo" supozas ke la maso de unu el la korpoj estas nekonsiderinda; La cirkla limigita tri-korpa problemo estas speciala kazo en kiu du el la korpoj estas supozitaj esti en cirklaj orbitoj (kio estas proksimume vera por la Suno - Tero - Luno sistemo). (Por diskuto de la kazo kie la nekonsiderinda korpo estas satelito de la malsupramasa korpo, vidu la artikolon pri la sfero de Hill; por binaraj sistemoj, vidu la Roche-lobon; por stabilaj solvoj de la sistemo, vidu Lagrange-punktojn ).

La limigita problemo (cirkla kaj elipsa) estis vaste studita fare de multaj famaj matematikistoj kaj fizikistoj, kiel ekzemple Lagrange en la 18-a jarcento kaj Henri Poincaré ĉe la fino de la 19- a jarcento. En la cirkla problemo, estas kvin ekvilibraj punktoj nomitaj Lagrange-punktoj. Tri el ĉi tiuj punktoj estas samliniaj kun la ĉefaj masoj kaj estas malstabilaj. La aliaj du situas ĉe la tria vertico, formante egallaterajn triangulojn kun la du ĉefaj masoj. Ĉi tiuj punktoj estas stabilaj. En la Suno - Jupitera sistemo la Lagrangaj punktoj estas en la sama orbito kiel Jupitero sed 60° antaŭe aŭ malantaŭe kaj formas du egallaterajn triangulojn kun la Suno kaj Jupitero. La fakto, ke ĉi tiuj punktoj estas okupataj de trojaj asteroidoj, konsistigas belan konfirmon.

Singularaj punktoj en la solvo

Donita la deirpunkto en tempo t=0, la problemo de n korpoj estas nenio krom solvo de sistemo de unuaordaj diferencialaj ekvacioj. Kiel tia, la ekzisto kaj neordinaraĵoteoremoj garantias analizan solvon en temposegmento $\ [0,T)$, por maksimuma T. Se T estas fina, tio estas ĉar la sistemo atingas singularan punkton en tempo T. En 1895, Paul Painlevé studis la singularajn punktojn de la n-korpa problemo, kaj montris ke ĉiu tia punkto estas akirita de la fakto ke la distanco inter du el la korpoj tendencas al nulo. Tia fenomeno okazas kompreneble, se la korpoj kolizias, sed ĝi ankaŭ povas aperi, ekzemple, se du korpoj kune forkuras al la senfineco kaj proksimiĝas unu al la alia. Painlevé pruvis ke en la tri-korpa problemo ĉiu singularecpunkto ekestiĝas de kolizio. En 1908, von Zeipel montris ke eksterordinarpunkto rezultas el kolizio se kaj nur se la limo de la inercia energio estas fina, kaj tio nepre okazos se la pozicioj de la korpoj en la sistemo estas blokitaj per la segmento $\ [0,T)$. Aliflanke, von Zeipel ne ekskludis la eblecon de singularaj punktoj kie la inercia energio tendencas al senfineco.

En 1992, Zhihong Xia trovis solvon al la kvin-korpa problemo, en kiu singularaĵo aperas en fina tempo, ne kiel rezulto de kolizio. En la sistemo konstruita de Xia estas du paroj da malpezaj korpoj de egala pezo centritaj sur fikslinio de simetrio, kaj kvina korpo, peza, moviĝanta sur la sama linio. La peza korpo oscilas laŭ la rekta linio, kaj ĉiufoje kiam ĝi pasas proksime de unu el la paroj, ĝi igas ilin alproksimiĝi, tiras ilin post ĝi for de la alia paro, kaj falas reen. La reciproka movo proksimigas la korpojn en ĉiu el la paroj kaj akcelas la pezan korpon tiel, ke ĝi eskapas al senfineco en fina tempo .

En kulturo

En la klasika 1951 scienco-fikcio filmo The Day the Earth Stood Still (La Tagon kiam la Tero staris senmove), la eksterterano nomata Klaatu, uzante la pseŭdonimon S-ro Carpenter, faras kelkaj skribaĉoj al ekvacioj sur la skribtabulo de profesoro Barnhardt. Tiuj ekvacioj estas preciza priskribo de aparta formo de la tri-korpa problemo.

En la sciencfikcia romano La Tri Korpoj de ĉina verkisto Liu Cixin (trilogio Remembrance of Earth's Past), la trikorpa problemo estas uzata kiel centra intriga aparato kaj ludas decidan rolon en komunikado kun ekstertera civilizo .

Fontoj

• Henri Poincare, A Scientific Biography, Recenzo (en libro de Jeremy Gray) de John Stillwell, Notices of the AMS, 61 (4), 2014.
• The Existence of Noncollision Singularities in Newtonian Systems, Zhihong Xia, Annals of Mathematics, Dua Serio, Vol. 135, nr. 3 (majo, 1992), pp. 411-468.

• Victor Szebehely: The theory of orbits: The Restricted Problem of Three Bodies, Academic Press 1967
• Richard Montgomery: Das Dreikörper-Problem. In: Spektrum der Wissenschaft. 2020, Heft 3, S. 12–19.

Vidu ankaŭ

• Ĥaosoteorio

Eksteraj ligiloj

• (2007) “Three body problem”, Scholarpedia 2, p. 2111. doi:10.4249/scholarpedia.2111. Bibkodo:2007SchpJ...2.2111C. 

• 3korpa simulilo Arkivigite je 2022-11-17 per la retarkivo Wayback Machine - ekzemplo de komputila programo kiu nombre solvas la tri-korpan problemon