Dünaamiline süsteem

Dünaamiline süsteem on matemaatiline süsteem, mis areneb ajas süsteemile aluseks oleva dünaamilise eeskirja järkjärgulise rakendumise kaudu. Dünaamilised süsteemid on näiteks matemaatilised mudelid, mis kirjeldavad planeetide liikumist, ilma, kristallide kasvamist või piljardipallide liikumist piljardilaual.

Dünaamilised süsteemid koosnevad olekute ruumist $S$, aja väärtuste hulgast $T$ ja dünaamikast $R$. Olekute ruum sisaldab süsteemi kõiki võimalikke olekuid $s\in S$. Dünaamika on eeskiri, mille järgi süsteemi olek antud ajahetkel areneb süsteemi olekuks hilisemal ajahetkel. Matemaatiliselt on dünaamika funktsioon, mis kujutab olekute ruumi punktid olekute ruumi punktideks: $R:S\times T\rightarrow S$.

Olekute ruum

Muutujaid $x_{1},x_{2},x_{3}...$, mis kirjeldavad dünaamilist süsteemi täielikult, nimetatakse olekumuutujateks ehk olekute ruumi koordinaatideks. Olekute ruum $S$ on olekumuutujate kõikidest võimalikest väärtustest moodustuv hulk. Olekute ruum saab olla diskreetne või pidev. Diskreetsel juhul saavad olekumuutujad võtta ainult täisarvulisi väärtusi. Pideval juhul saavad olekumuutujad võtta mistahes reaalarvulisi väärtusi. Olekumuutujate arvu nimetatakse dünaamilise süsteemi dimensiooniks. Lõplikumõõtmelist pidevat olekute ruumi kutsutakse faasiruumiks. Olekute ruumid saavad olla ka lõpmatumõõtmelised.

Diskreetse olekute ruumi näiteks on mündivise, mida saab modelleerida kahemõõtmelise diskreetse olekute ruumiga. Sel juhul oleks igale viskele vastav olek $s$ element hulgast {"kull","kiri"}. Samas võib diskreetsel olekute ruumil olla ka lõpmatult palju mõõtmeid. Pideva olekute ruumi näiteks on füüsikaline pendel. Pendli oleku määramiseks on vaja teada pendli kõrvalekalde nurka $\theta$ vertikaalist ja pendli nurkkiirust $\omega =d\theta /dt.$ Seega moodustavad füüsikalise pendli faasiruumi $\theta$ ja $\omega$ võimalikud väärtused ehk faasiruum on kahemõõtmeline muutkond.

Süsteemi "täieliku kirjeldamise" all ei mõelda seda, et olekumuutujad peavad kirjeldama täielikult reaalset nähtust, mida modelleeritakse, vaid olekumuutujad peavad täielikult kirjeldama matemaatilist süsteemi, mille abil modelleeritakse reaalset nähtust.

Dünaamika

Süsteemi arengu eeskiri ehk dünaamika leiab süsteemi tulevase oleku süsteemi praeguse oleku kaudu. Süsteemi arengu eeskiri saab olla deterministlik, kui igale olekule vastab unikaalne järgmine olek, või stohhastiline ehk juhuslik, kui ühele olekule vastab rohkem kui üks võimalikku järgmist olekut. Oleku $s$ trajektooriks nimetatakse ajaliselt järjestatud olekute kogumit, mis tuleneb dünaamika rakendumisest olekule $s$. Paljudel juhtudel saame süsteemi arengu eeskirjaks võtta funktsiooni $f$. Kui funktsioon $f$ on olekute suhtes lineaarne, nimetatakse dünaamilist süsteemi lineaarseks. Kui funktsioon $f$ on mittelineaarne, nimetatakse dünaamilist süsteemi mittelineaarseks. Kui funktsioon $f$ ei sõltu ajast ilmutatud kujul, nimetatakse dünaamilist süsteemi autonoomseks.

Aeg

Aeg $t$ on samuti olekumuutuja, aga kuna me ei saa mõjutada aja kulgemist, nimetatakse aega sõltumatuks muutujaks. Ka aeg võib olla diskreetne või pidev.

Diskreetne aeg

Diskreetsed dünaamilised süsteemid muudavad oma olekut diskreetsete ajavahemike tagant. Mündiviske näite korral eiratakse mündi kukkumist ja põrkamist, mündi olekut vaadatakse ainult siis, kui münt on jõudnud tasakaaluolekusse. Tihti valitakse ajahetked nii, et $t=0,1,2...$ ehk aja väärtusi sisaldav hulk $T=\mathbb {N}$. Süsteemi olekut hetkel $t$ saame tähistada $s_{t}$. Alustades algtingimusest $s_{0}$, kui $t=0$, saame rakendada funktsiooni $f$, et leida süsteemi olekud järgnevatel ajahetkedel: $s_{1}=f(s_{0}),$ $s_{2}=f(s_{1})...$. Selle tulemusena saame olekute hulga $s_{0},s_{1}.s_{2}...$, mis moodustab trajektoori olekute ruumis.

Pidev aeg

Pidevate dünaamiliste süsteemide korral muutub süsteemi olek üle pideva aja. Sel juhul võime mõelda olekust $s(t)$ kui punktist, mis liigub aja kulgedes olekute ruumis. Süsteemi arengu eeskiri ehk dünaamika määrab siis, kuidas punkt $s(t)$ liigub. Alustades algtingimusest $s(0)$, kui $t=0$, annavad kõik süsteemi tulevased olekud trajektoori, milleks on kõver olekute ruumis.

Dünaamilised süsteemid ilmnesid esimest korda siis, kui Isaac Newton rakendas mehaanikas harilike diferentsiaalvõrrandite teooriat. Sel juhul $T=\mathbb {R}$. Henri Poincare, keda peetakse kaasaegse, kvalitatiivse dünaamiliste süsteemide teooria rajajaks, märkas aga, et ka diferentsiaalvõrrandeid võib vaadata diskreetsete süsteemidena, kui uurida süsteemi lahendeid diskreetsete aja väärtuste hulgal. See on vajalik kõikides numbrilistes arvutustes ja katselistes mõõtmistes, sest mõõta on võimalik ainult lõpliku arvu väärtusi.

Sissejuhatavad näited

Eksponentsiaalne kasv

Kaks eksponentsiaalselt kasvavat populatsiooni x_t (punane) ja y_t (sinine), kusjuures y₀ = x₃

Lihtne dünaamilise süsteemi näide on eksponentsiaalselt kasvava suuruse, näiteks takistamatult kasvava bakterikultuuri populatsiooni suuruse ajaline areng. Olek mingil kindlal hetkel on antud mittenegatiivse reaalarvuga, nimelt populatsiooni suurusega, st süsteemi olekuruum on mittenegatiivsete reaalarvude hulk $X=[0,\infty )$. Kui vaadelda kõigepealt olekuid $x_{0},x_{1},x_{2},\dotsc$ diskreetsel hetkedel $t=0,1,2,\dotsc$, st ajaruumis $T=\mathbb {N} _{0}$, siis kehtib $x_{t+1}=ax_{t}$ konstantse kasvuteguriga $a$. Siis olek hetkel $t\in T$ on $x_{t}=a^{t}x_{0}$.

Dünaamilise süsteemi iseloomulik omadus on see, et olek sõltub küll möödunud ajast $t\in T$ ja algväärtusest $x_{0}\in X$, kuid mitte alghetke valikust. Olgu näiteks antud veel üks eksponentsiaalselt kasvav populatsioon $y_{0},y_{1},y_{2},\ldots$ sama kasvuteguriga $a$, kuid algväärtusega $y_{0}=x_{t}$. Hetkel $s\in T$ kehtib siis

$y_{s}=a^{s}y_{0}=a^{s}a^{t}x_{0}=a^{s+t}x_{0}=x_{s+t}$.

Teine populatsioon kasvab niisiis ajalõigus $[0,s]$ samamoodi nagu esimene populatsioon ajalõigus $[t,s+t]$. Seda käitumist saab väljendada ka nii: voolufunktsioon $\Phi \colon T\times X\to X$, mis seab igale hetkele $t\in T$ ja igale algolekule $x\in X$ vastavusse oleku $\Phi (t,x)$ hetkel $t$, siin niisiis $\Phi (t,x)=a^{t}x$, rahuldab kõikide $s,t\in T$ ja kõikide $x\in X$ korral võrrandit

$\Phi {\bigl (}s,\Phi (t,x){\bigr )}=\Phi (s+t,x)$.

See on dünaamilise süsteemi voolu poolrühmaomadus.

Vedrupendel

Veel üks dünaamiliste süsteemide allikas on mehaaniliste süsteemide matemaatiline modelleerimine, lihtsaimal juhtumil punktmassi liikumine niisuguse jõu mõjul, mis sõltub kohast ja kiirusest, kuid mitte eksplitsiitselt ajast. Niisuguse süsteemi olek hetkel $t\in T=[0,\infty )$ on antud järjestatud paarina $(x(t),v(t))$, mis koosneb kohast $x(t)$ ja kiirusest $v(t)$. Siis on kogu liikumise kulg üheselt määratud, kui on ette antud algasend $x(0)=x_{0}$ koos algkiirusega $v(0)=v_{0}$. Ühemõõtmelise liikumise korral on olekuruum seega $X=\mathbb {R} ^{2}$.

Konkreetse näitena vaatleme vedrupendlit, mille massiivsele osale massiga $m$ mõjub vedru taastav jõud ning võib-olla kiirusest sõltuv hõõrdejõud. Kui tähistada resultantjõudu $F(x(t),v(t))$, saame harilike diferentsiaalvõrrandite süsteemi

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=v(t),\\{\dot {v}}(t)&={\frac {1}{m}}F(x(t),v(t)),\end{aligned}}$ 

kus punkt muutujate kohal tähistab tuletist – selles näites pideva – aja järgi. Esimene võrrand ütleb, et kiirus on koha tuletis aja järgi, ja teine võrrand tuleneb otse Newtoni teisest seadusest, mille järgi massi ja kiirenduse korrutis võrdub punktmassile mõjuva resultantjõuga.

Saab näidata, et ka selle süsteemi puhul on voolul

$\Phi \colon T\times X\to X,\quad \Phi (t,(x_{0},v_{0}))={\bigl (}x(t),v(t){\bigr )}$

poolrühmaomadust. Kui vaadelda süsteemi oleku kulgu olekuruumis $X=\mathbb {R} ^{2}$, st trajektoori $\{(x(t),v(t))\in \mathbb {R} ^{2}\mid t\geq 0\}$, siis tekib vedrupendli sumbvõnkumise korral trajektoor, mis suundub spiraalikujuliselt rahuoleku $(0,0)$ poole.

Definitsioonid

Dünaamiline süsteem on järjestatud kolmik $(T,X,\Phi ),$, mis koosneb hulgast $T=\mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} ,\mathbb {R} _{0}^{+}$ või $\mathbb {R} ,$ ajaruumist, mittetühjast hulgast $X$, olekuruumist (faasiruumist), ja binaarsest tehtest $\Phi \colon \,T\times X\to X,$ nii et kõikide olekute $x\in X$ ja kõikide hetkede $t,s\in T$ korral kehtib:

1. $\Phi (0,x)=x$   (identsusomadus)   ja
2. $\Phi (s,\Phi (t,x))=\Phi (s+t,x)$   (poolrühmaomadus).

Kui $T=\mathbb {N} _{0}$ või $T=\mathbb {Z}$, siis nimetatakse dünaamilist süsteemi $(T,X,\Phi )$ aegdiskreetseks ehk diskreetseks, ja kui $T=\mathbb {R} _{0}^{+}$ või $T=\mathbb {R}$, siis nimetatakse dünaamilist süsteemi $(T,X,\Phi )$ aegpidevaks ehk pidevaks. Dünaamilist süsteemi $(T,X,\Phi )$ nimetatakse diskreetseks või pidevaks pööratavaks, kui $T=\mathbb {Z}$ või vastavalt $T=\mathbb {R}$ gilt.

Dünaamiliste süsteemide uurimine

Dünaamilise süsteemi sisemine dünaamika võib olla üsna lihtne, aga selle korduv rakendumine võib aja lähenemisel lõpmatusele viia asümptootilise käitumiseni, mida ei ole otse dünaamika põhjal lihtne ennustada ega analüüsida. Paljudel juhtudel ei ole süsteemi lõppoleku leidmiseks lihtsamat viisi kui lasta süsteemil ajas töötada. Sellised arvutused võivad aga minna väga keeruliseks ja aeganõudvaks. Samas tihti puudub vajadus täpsete lahendite järgi ning piisab sellest, kui süsteemi algoleku ja dünaamika kaudu leida süsteemi käitumist kvalitatiivselt kirjeldavad tulemused.

Näide

Üldine pidev deterministlik $n-$mõõtmeline dünaamiline süsteem

Üldise pideva $n-$mõõtmelise dünaamilise süsteemi saame kirjutada kujul

${\frac {dx_{1}}{dt}}=f_{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n},\mu _{1},\mu _{2},...,\mu _{p}),$

${\frac {dx_{2}}{dt}}=f_{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n},\mu _{1},\mu _{2},...,\mu _{p}),$

$...$

${\frac {dx_{n}}{dt}}=f_{n}(x_{1},x_{2},...,x_{n},\mu _{1},\mu _{2},...,\mu _{p}),$,

mida saab kompaktselt väljendada kujul

${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {\mu } )$.

Antud juhul $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ tähistab olekumuutujaid ja $\mathbf {\mu } \in \mathbb {R} ^{p}$ tähistab süsteemi parameetreid, mis ei sõltu ajast.

Vaata ka

• Süsteemidünaamika
• Süsteemiteooria
• Dünaamiline süsteemiteooria
• Võnkumine