Cauchy-Schwarzi võrratus

Cauchy-Schwarzi võrratus (ka Cauchy-Schwarzi-Bunjakovski võrratus) on võrratus, mis ütleb, et vektorite skalaarkorrutise moodul pole suurem vektorite pikkuste (normide) korrutisest:

$\left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|\|y\|\,,$

kus $\langle x,y\rangle$ ja $\|x\|,\|y\|$ vastavalt vektorite $x,y\in V$ skalaarkorrutis ja pikkused ning V on mõni skalaarkorrutisega vektorruum. Võrratuse asemel on võrdus parajasti siis, kui x ja y on lineaarselt sõltuvad.

Erijuhud

• Eukleidilises ruumis $\mathbb {R} ^{n}$ kehtib:

$\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)$.

• Ruutintegreeruvate funktsioonide ruumis

$\left|\int f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx.$

Tõestuse idee

Vaatame suurust $\|x+\lambda y\|^{2}$, kus $\lambda$ on suvaline kompleksarv ja x ja y vektorid. Trikk tõestuse juures on moodustada vektor $x+\lambda y$ ja arvutada selle vektori pikkus, mis ei saa olla negatiivne:

$\|x+\lambda y\|^{2}=\langle x+\lambda y,x+\lambda y\rangle =\|x\|^{2}+\lambda \langle x,y\rangle +\lambda ^{*}\langle y,x\rangle +|\lambda |^{2}\|y\|^{2}\geq 0\,,$

Sellest võrratusest saab tuletada Cauchy-Schwarzi võrratuse, kui leiame sobiva $\lambda$ väärtuse. Valime $\lambda$ väärtuse nii, et vektori $x+\lambda y$ pikkus võimalikult väike oleks. Sobivaks $\lambda$ väärtuseks osutub

$\lambda =-{\frac {\langle y,x\rangle }{\|y\|^{2}}}.$

Asendades $\lambda$ esimesse võrratusse näeme, et

$\|x+\lambda y\|^{2}=\|x\|^{2}-|\langle x,y\rangle |^{2}\|y\|^{-2}\geq 0\,.$

Korrutades saadud võrratuse läbi vektori y pikkuse ruuduga ja viies skalaarkorrutise teisele poole võrratuse märki, leiame, et

$\|x\|^{2}\|y\|^{2}\geq |\langle x,y\rangle |^{2}\,,$

millest ruutjuure võtmine annab Cauchy-Schwarzi võrratuse. Märkigem, et võrdus realiseerub parajasti siis, kui $\|x+\lambda y\|=0$, mis tähendab, et x = -$\lambda$ y ehk x ja y on lineaarselt sõltuvad.

Vaata ka

• Hölderi võrratus – Cauchy-Schwarzi võrratuse üldistus