Euklidinen avaruus

Euklidinen avaruus on n-ulotteinen reaalikertoiminen vektoriavaruus, jolle pätevät euklidisen geometrian aksioomat. Euklidista avaruudelle käytetään merkintöjä $\mathbb {R} ^{n}$ tai $\mathbb {E} ^{n}$.

Tunnetuin euklidinen avaruus on $\mathbb {R} ^{1}$ eli reaaliluvut. Lisäksi matematiikassa tulevat usein vastaan euklidinen taso $\mathbb {R} ^{2}$ ja kolmiulotteinen avaruus $\mathbb {R} ^{3}$.

Nykyisen käsityksen mukaan maailmankaikkeus ei ole euklidinen avaruus, sillä suhteellisuusteorian mukaisesti avaruuden rakenne taipuu suurten massojen vaikutuksesta. Suhteellisen pienillä nopeuksilla tilannetta voi hyvin kuvata euklidisen avaruuden rakenteilla.

Johdanto

Esimerkiksi vektoriavaruuden $\mathbb {R} ^{3}$ alkioita eli vektoreita ovat reaalilukukolmikot $(x,y,z)$. Kahden tällaisen summa lasketaan koordinaateittain:

$(1,2,3)+(20,30,40)=(21,32,43)$.

Skalaarilla eli reaaliluvulla kerrottaessa jokainen vektorin koordinaatti kerrotaan annetulla reaaliluvulla, esimerkiksi

$7\cdot (1,2,3)=(7,14,21)$.

Tämä siis tuottaa skalaarista ja vektorista vektorin.

Skalaaritulossa eli pistetulossa sen sijaan lasketaan kahdesta vektorista skalaari,

$(a,b,c)\cdot (x,y,z)=ax+by+cz$.

Tämän skalaaritulon avulla voidaan määrittää avaruuteen $\mathbb {R} ^{3}$ normi eli pituusmitta:

$\|(a,b,c)\|={\sqrt {(a,b,c)\cdot (a,b,c)}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$.

Tämä vastaa Pythagoraan lausetta. Kahden vektorin $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{3}$ etäisyys määritellään niiden erotuksen normiksi:

$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|$.

Vastaavat säännöt pätevät kaikissa vektoriavaruuksissa $\mathbb {R} ^{n}$.

Määritelmiä

Euklidinen avaruus määritellään topologisesti tuloavaruutena, eli $\mathbb {R}$:n karteesisena tulona itsensä kanssa n kertaa. Tuloavaruuden pisteet ovat järjestettyjä n-jonoja, eli niissä on n kappaletta alkioita. Esimerkiksi

$\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).$

Sen voi määritellä myös lineaarialgebran tapaan vektoriavaruutena, jolloin avaruuden kannan muodostavat n kappaletta kohtisuorasti toisiaan vastaan olevaa yksikkövektoria:

$\mathbf {e} _{1}=(1,0,0,\ldots ,0),$

$\mathbf {e} _{2}=(0,1,0,\ldots ,0),$

$\vdots$

$\mathbf {e} _{n}=(0,0,0,\ldots ,1).$

$\mathbb {R} ^{n}$:n mielivaltainen vektori merkitään

$\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$

missä reaaliluvut $x_{i}$ ovat vektorin koordinaatit. Vektori voidaan esittää myös yksikkövektoreiden avulla summana:

$\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}.$

Lukua 0 vastaa nollavektori

$\mathbf {0} =\underbrace {(0,0,\ldots ,0)} _{n\ {\rm {kpl}}}.$

Kahden $\mathbb {R} ^{n}$:n vektorin summa on määritelty laskemalla vektorit koordinaateittain yhteen:

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})\mathbf {e} _{i}.$

Vakiolla kerrottaessa jokainen vektorin koordinaateista kerrotaan erikseen:

$a\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}(ax_{i})\mathbf {e} _{i}.$

Laskusääntöjä

Vektorin pituuden ja vektoreiden välisen kulman laskemiseksi tarvitsee määritellä pistetulo. $\mathbb {R} ^{n}$:n vektoreille $\mathbf {x}$ ja $\mathbf {y}$ se on

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.$

Vektorin pituus eli euklidinen normi on neliöjuuri sen sisätulosta itsensä kanssa:

$\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i})^{2}}}.$

Euklidinen metriikka määrittää kahden pisteen etäisyyden euklidisessa avaruudessa. Sitä kutsutaan myös etäisyysfunktioksi, ja se on oikeastaan yksi pythagoraan lauseen muoto. Pisteille $x$ ja $y$ se on

$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$

Kulma vektoreiden $\mathbf {x}$ ja $\mathbf {y}$ välillä lasketaan pistetulon ja normin avulla:

$\theta =\cos ^{-1}\left({\dfrac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|}}\right).$

Katso myös

• Eukleides

Lähteet

• Väisälä, Jussi: Topologia I. Helsinki: Limes ry, 2002. ISBN 951-745-192-X
• Martio, Olli: Vektorianalyysi. Helsinki: Limes ry, 2004. ISBN 951-745-205-5
• Mendelson, Bert: Introduction to Topology. Dover Publications, 1990. (englanniksi)

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).