Kolmen kappaleen probleema

Kolmen toisiinsa vaikuttavan kappaleen liikettä.

Kolmen kappaleen probleemasta voidaan fysiikassa puhua kahdessa eri merkityksessä:

1. Alun perin kolmen kappaleen probleemalla tarkoitetaan kysymystä siitä, miten voidaan laskea kolmen kappaleen liikeradat, kun niiden massat sekä sijainnit ja nopeudet jollakin annetulla hetkellä tunnetaan ja niiden oletetaan noudattavan klassisen mekaniikan liike­lakeja ja vaikuttavan toisiinsa Newtonin gravitaatio­lain mukaisella tavalla.
2. Nykyaikaisessa laajemmassa merkityksessä kolmen kappaleen probleema on klassisessa tai kvantti­mekaniikassa mikä tahansa kysymys kolmen kappaleen liikkeestä tiettyjen alku­tilannetta koskevien oletusten vallitessa. Tyypillisessä tapauksessa kaikki kolme kappaletta voidaan olettaa massapisteiksi ja niiden välistä vuorovaikutusta, joka voi olla esimerkiksi gravitaatio tai sähkö­magneettinen, voidaan kuvata skalaarisella potentiaalilla.

Yleisessä tapauksessa kolmen kappaleen vuoro­vaikuttaessa niiden liike­yhtälöitä ei voida ratkaista matemaattisen analyysin keinoin, vaan on turvauduttava erilaisiin likiarvoihin tai numeerisiin ratkaisuihin. Suomalainen matemaatikko Karl F. Sundman osoitti vuosina 1906–1912, että ratkaisu voidaan esittää myös suppenevien potenssi­sarjojen avulla.

Historiallisesti kolmen kappaleen probleemaa tutkittiin ensimmäiseksi Kuun, Maan ja Auringon välisten voimien ja niiden liikkeiden tarkemmaksi selvittämiseksi.

Historia

Kysymys kolmen kappaleen liikkeestä niiden välisen gravitaation vaikutuksesta tuli tarkemman käsittelyn alaiseksi ensimmäiseksi vuonna 1687, kun Isaac Newton julkaisi teoksensa 'Principia' (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica). Sen ensimmäisen kirjan 66. propositiossa ja sen 22 korollaarissa Newton otti ensimmäiset askelet tämän kysymyksen selittämiseksi. Kolmannen kirjan 25. ja 35. propositiossa Newton otti myös ensimmäiset askelet tämän soveltamiseksi Kuun liikkeeseen sen ollessa Maan ja Auringon vetovoimien vaikutuksen alaisena.

Vasta myöhemmin tämä kysymys tuli kolmen kappaleen probleeman nimisenä kuuluisaksi varsinkin suuren vaikeutensa vuoksi.

1700-luvun toisella neljänneksellä Kuun liikettä tutkittiin erityisen tarkasti. Asia sai suuren käytännöllisenkin merkityksen, sillä mitä tarkemmin Kuun liikkeet pystyttiin ennalta laskemaan, sitä tarkemmin Kuun asemaa voitiin käyttää hyväksi navigoinnissa pituuspiirin määrittämiseksi merellä. Newtonin työn perusteella pääteltiin, että ainakin suurimmaksi osaksi kysymystä Kuun liikkeestä voitiin käsitellä yksin­kertaisesti olettamalla, että Aurinko aiheuttaa tietyn suuruisia häiriöitä Kuun kierto­liikkeeseen Maan ympäri.

Jean d’Alembert ja Alexis Clairaut yrittivät toisistaan riippumatta molemmat kehittää probleemalle yleisemmän ratkaisun käyttämällä differentiaaliyhtälöitä, joiden ratkaisuina saatiin perättäisiä, yhä tarkempia liki­arvoja. Molemmat jättivät ensimmäiset kilpailevat analyysinsä asiasta Ranskan tiedeakatemialle (Académie Royale des Sciences) vuonna 1747.

Nimitys ”kolmen kappaleen probleema” (ransk. Problème des trois corps) tuli ensimmäiseksi käyttöön Pariisissa 1740-luvulla näiden tutkimusten yhteydessä. Myöhemmin, vuonna 1761, Jean d’Alembert mainitsi eräässä kysymyksen historiaa käsittelevässä tutkielmassaan, että Leonhard Euler oli kehittänyt keinon eräiden aiheeseen liittyvien differentiaali­yhtälöiden ratkaisemiseksi jo vuonna 1740. Suomessa probleeman kansantajuistajana ja merkittävänä tutkijana on 1980–2010-luvuilla tullut tunnetuksi Turun yliopiston tähtitieteen professori Mauri Valtonen.

Esimerkkejä

Ympyräliike

Eräs tärkeä esimerkki kolmen kappaleen probleemasta on tapaus, jossa kaksi massiivista kappaletta kiertää ympyrä­rataa yhteisen massakeskipisteensä ympäri, ja kolmas kappale on paljon pienempi ja liikkuu samassa tasossa. Tällöin kahden massiivisen kappaleen keskinäinen kierto­liike on vakaa, ja myös kolmas, pienempi kappale voi pysyä näiden suhteen levossa, jos se sijaitsee jossakin Lagrangen pisteistä. Näistä viidestä pisteestä kolmessa tilanne on kuitenkin epävakaa, sillä pienikin ulkoinen häiriö saa kappaleen poikkeamaan paikoiltaan, ja vain kaksi on vakaita.

Tällaisen systeemin voivat muodostaa esimerkiksi Maa, Kuu ja avaruuteen lähetetty avaruusluotain. Sellaisen muodostavat myös Aurinko, Jupiter ja troijalaiset asteroidit, jotka sijaitsevat näiden muodostaman systeemin Lagrangen pisteissä ja kiertävät Aurinkoa siten, että osa niistä on aina kuudesosan kierrosta Jupiteria edellä, toiset taas saman verran jäljessä.

Kuiden liikkeet

Toinen paljon tutkitun tapauksen muodostavat Aurinko, planeetta ja sitä kiertävä kuu. Tällaisissa tapauksissa voidaan planeetan ja kuun liikettä Auringon ympäri tarkastella ikään kuin ne muodostaisivat yhden kappaleen. Kuun liikkeelle planeetan ympäri voidaan taas laskea ensimmäinen liki­arvo jättämällä Auringon vaikutus kokonaan ottamatta huomioon, ja tarkemmin sen liike on laskettavissa käsittelemällä Auringon vaikutusta häiriö­teoreettisena korjauksena.

Planeettojen liikkeet

Kaikkialla aurinkokunnassa Auringon vetovoima on paljon suurempi kuin planeettojen väliset vetovoimat. Näin ollen planeettojen radat voidaan likimääräisesti laskea ottamatta huomioon muita voimia kuin Auringon vetovoima, mutta näin saatuja likiarvoja tarkennetaan muiden planeettojen aiheuttamilla pienillä häiriöillä. Myös näille korjauksille on johdettu sarjakehitelmiä.

Atomifysiikka

Sähkömagneettinen vuorovaikutus muistuttaa gravitaatiota siinä, että kahden sähkö­varauksen välinen voima on kääntäen verrannollinen niiden etäisyyden neliöön aivan samoin kuin kahden massan välinen gravitaatio­voimakin. Tämän vuoksi gravitaation liittyvälle kolmen kappaleen probleemalle kehitettyjä ratkaisuja voidaan analogisesti soveltaa myös tapauksiin, jossa hiukkaset vaikuttavat toisiinsa sähköisillä voimilla. Tällaisia sovelluksia on varsinkin atomi­fysiikassa. Tällä tavoin voidaan tutkia esimerkiksi heliumatomin ytimen ja sen molempien elektronien välisiä vuoro­vaikutuksia.

Samaan tapaan voidaan kuvata myös joidenkin kolmi­atomisten molekyylien, kuten vesi- ja hiilidioksidimolekyylien ominaisuuksia. Tätä on voitu käyttää kaasujen eri suurten lämpökapasiteettien selittämiseen. Useimpia atomi­fysikaalisia kysymyksiä on kuitenkin käsiteltävä kvantti­mekaniikan avulla.

Suhteellisuusteoreettisia näkökohtia

Jos kappaleiden nopeus on lähellä valon­nopeutta, kysymyksen käsittelyssä on otettava huomioon myös suhteellisuusteorian tulokset. Yleisen suhteellisuus­teorian mukaan kiihtyvässä liikkeessä olevat massat saavat aikaan myös gravitaatio­aaltoja ja menettävät täten energiaansa, mikä on otettava huomioon.

Kvantti­fysiikassa on lisäksi otettava huomioon, että jos energiaa on riittävästi, voi esiintyä myös parinmuodostusta ja annihilaatiota eikä hiukkasten luku­määräkään näin ollen pysy vakiona.

Näiden seikkojen vuoksi klassiseen fysiikkaan perustuvat kolmen kappaleen probleeman ratkaisut ovat vain liki­määräisiä.

Useamman kappaleen probleema

Kolmen kappaleen probleema on erikoistapaus useamman kappaleen probleemasta (n kappaleen probleemasta). Tämä koskee sitä, miten n kappaletta liikkuvat, kun ne vaikuttavat toisiinsa esimerkiksi gravitaatiovoimilla. Myös n kappaleen tapauksessa ratkaisu voidaan esittää suppenevien potenssi­sarjojen avulla, kuten Sundman osoitti kolmen ja myöhemmin Quidong Wang useamman kappaleen tapauksessa. Kuitenkin sekä Sundmanin että Wangin sarjat suppenevat yleensä niin hitaasti, etteivät ne sovellu käytännön tarkoituksiin, ja siksi toistaiseksi numeerisen analyysin menetelmät (sekä eräissä tapauksissa trigono­metrisilla sarjoilla saadut approksimaatiot) ovatkin ainoat käyttö­kelpoiset.

Esimerkkejä systeemeistä, joita n kappaleen probleema eri muodoissaan koskee, ovat galaksit sekä planeetta­kunnat, joissa on useampia planeettoja ja niillä mahdollisesti kuita, samoin useampi­elektroniset atomit, ionit ja molekyylit.

Kirjallisuutta

• Aarseth S. J.: Gravitational N-Body Simulations. 2003. Cambridge University Press.
• Bagla J. S.: Cosmological N-body simulation: Techniques, scope and status. 2005. Current Science.
• Chambers J. E. – Wetherill G. W.: Making the Terrestrial Planets: N-Body Integrations of Planetary Embryos in Three Dimensions. 1998. Academic Press.
• Chenciner, Alain: Three body problem. Scholarpedia, 2007, 2. vsk, nro 10. Artikkelin verkkoversio. Viitattu 18.12.2009.
• Efstathiou G. – Davis M. – White S. D. M. – Frenk C. S.: Numerical techniques for large cosmological N-body simulations. 1985. ApJ.
• Hulkower Neal D.: The Zero Energy Three Body Problem. Indiana University Mathematics Journal 27 (1978), s. 409–447.
• Hulkower Neal D.: Central Configurations and Hyperbolic-Elliptic Motion in the Three-Body Problem. Celestial Mechanics 21 (1980), s. 37–41.
• Valtonen, Mauri: Ratkesiko kolmen kappaleen ongelma sata vuotta sitten? Tieteessä tapahtuu, 2013, nro 6, s. 25–27. ISSN 0781-7916 Artikkelin verkkoversio.

Aiheesta muualla

• Applet demonstrating chaos in restricted three-body problem (Arkistoitu – Internet Archive)
• Scholarpedia: Three body problem (englanniksi)