מספרי לוקאס

במתמטיקה, מספרי לוקאס הם סדרה של מספרים טבעיים הקרויה על שמו של המתמטיקאי הצרפתי אדוארד לוקאס (1842-1891). הגדרתה דומה לזו של סדרת פיבונאצ'י: כל איבר בסדרה הוא סכום שני קודמיו. היא נבדלת מסדרת פיבונאצ'י בתנאי ההתחלה: האיבר האפס והאיבר הראשון הם 2 ו-1 בהתאמה. זהו מקרה פרטי של סדרת לוקאס.

תחילת הסדרה היא: ...2,1,3,4,7,11,18,29,47,76

ההגדרה הרקורסיבית של הסדרה היא:

$L_{n}:={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\L_{n-1}+L_{n-2}&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}$

מאפיינים

כמו כל סדרה בה כל איבר מוגדר באופן רקורסיבי כצירוף ליניארי של האיברים הקודמים, ניתן לבטא את סדרת לוקאס בנוסחה סגורה על ידי סכום של שתי סדרות הנדסיות (כאשר $\ \phi$ הוא יחס הזהב):

$L_{n}=\phi ^{n}+(1-\phi )^{n}=\phi ^{n}+(-\phi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,$

מכיוון שהרכיב השני בסכום שואף ל-0 כש-n שואף לאינסוף, ניתן גם לחשב את מספרי לוקאס (מלבד השניים הראשונים) באמצעות עיגול חזקות של יחס הזהב:

$L_{n}=\mathrm {round} (\phi ^{n})$

כל איבר בסדרה שווה לסכום שני מספרי פיבונאצ'י המופיעים משני צדדיו של האיבר המקביל לו בסדרת פיבונאצ'י:

$\,L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}$

לדוגמה, האיבר הרביעי בסדרה הוא 7 השווה לסכום של 2 ו-5, האיברים השלישי והחמישי בסדרת פיבונאצ'י.

ראו גם

• סדרת פיבונאצ'י
• סדרת פֶּל

קישורים חיצוניים

• מספרי לוקאס, באתר MathWorld (באנגלית)
• סדרת מספרי לוקאס באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים