שמורה (מתמטיקה)

במתמטיקה ובמדעים מתמטיים, שְׁמוּרָה (בלועזית: אִינְווָריִאָנְט) (אנ') היא תכונה של אובייקט מתמטי או של מחלקת אובייקטים שאינה משתנה תחת פעולה או טרנספורמציה מסוימת (או משפחת טרנספורמציות). אם ערכה של השמורה שונה בין שני מצבים, זו ראיה לכך שאי אפשר לעבור ביניהם באמצעות ביצוע הטרנספורמציות המותרות. כך למשל, צלעותיו וזויותיו של משולש אינן משתנות תחת פעולות הזזה, שיקוף או סיבוב, לכן הן אינווריאנטיות תחת הפעולות האלה.

שמורות משמשות במגוון תחומים במתמטיקה, כגון גאומטריה, טופולוגיה ואלגברה: כמה משפחות של טרנספורמציות מוגדרות דווקא על ידי השמורות שלהן; למשל: העתקה קונפורמית מוגדרת כטרנספורמציה על המישור המשמרת זוויות בין עקומות. כמו כן גילוי שמורות הוא שלב משמעותי בתהליך של סיווג עצמים מתמטיים. בין הדוגמאות היסודיות ביותר לשמורות: מספר, ממד ומידה.

זיהוי של שמורת זוגיות, באופנים שונים, מאפשר לפתור כמה חידות מוכרות:

חידת ה-15, שסחפה את אירופה בסוף המאה ה-19, מבקשת לסדר לוח בגודל 4 על 4 שבו 15 לוחיות ממוספרות ולוחית אחת חסרה. במצב ההתחלתי כל הלוחיות במקומן, למעט זוג אחד של לוחיות, שהוחלף. כל שני צעדים רצופים במשחק מחליפים שלוש לוחיות באופן מחזורי. החלפה כזו היא תמורה זוגית, ולכן הזוגיות של מצב המשחק נשארת קבועה לאורך כל מספר זוגי של מהלכים. אבל כדי שהלוחית החסרה תחזור למקומה, מספר המהלכים מוכרח להיות זוגי - ומכאן שאי אפשר לסדר את הלוח בשום דרך.
בכד יש כדורים שחורים ולבנים. בכל צעד מוציאים באקראי שני כדורים, ומחזירים אחד במקומם: מחזירים כדור לבן אם שני הכדורים שווי-צבע, וכדור שחור אם הם בצבעים שונים. באיזה צבע יהיה הכדור האחרון? הפתרון הוא שבכל צעד, הזוגיות של מספר הכדורים השחורים נשמרת, וממילא הכדור האחרון יהיה לבן אם בתחילה היה מספר זוגי של כדורים שחורים, ושחור אחרת.
ב"אתגר שלוש הכוסות"^[1] מונחות לפני השחקן שלוש כוסות, מהן אחת הפוכה ושתיים ישרות, ועליו לסדר את הכוסות כך שכולן תהיינה ישרות. אלא שבכל צעד מותר להפוך בדיוק שתי כוסות. גם כאן, הזוגיות של מספר הכוסות ההפוכות אינה משתנה בכל צעד, וממילא אי אפשר לעבור ממצב שבו יש כוס אחת הפוכה למצב שבו אין כוסות כאלה.