A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A szórás a valószínűségszámításban az eloszlásokat jellemző szóródási mérőszám. A szórás egy valószínűségi változó értékeinek a várható értéktől való eltérésének a mértéke.
Az
X
{\displaystyle X}
valószínűségi változó szórását az
D
(
X
)
=
E
(
(
X
−
E
(
X
)
)
2
)
{\displaystyle \mathbf {D} (X)={\sqrt {\mathbf {E} \left((X-\mathbf {E} (X))^{2}\right)}}}
képlet adja meg (feltéve, hogy ez az érték létezik), ahol
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
várható értéket jelöli.
Az
X
{\displaystyle X}
jelölésére a szakirodalomban a következő konvenciók léteznek:
D
(
X
)
,
D
X
,
D
(
X
)
,
D
X
.
{\displaystyle \mathbf {D} (X),\,\mathbf {D} X,\,D(X),\,\mathbf {D} X.}
A szórás négyzetét olyan gyakran használják a valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában , hogy önálló fogalomként, mint szórásnégyzet vagy variancia is szoktak rá utalni.
Az
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
centrális momentuma .
Az
X
{\displaystyle X}
X
2
{\displaystyle X^{2}}
D
(
X
)
=
D
2
(
X
)
=
V
(
X
)
=
=
E
(
(
X
−
E
(
X
)
)
2
)
=
E
(
X
2
−
2
X
E
(
X
)
+
E
2
(
X
)
)
=
=
E
(
X
2
)
−
2
E
(
X
)
E
(
X
)
+
E
2
(
X
)
=
E
(
X
2
)
−
2
E
2
(
X
)
+
E
2
(
X
)
=
=
E
(
X
2
)
−
E
2
(
X
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (X)&={\sqrt {\mathbf {D} ^{2}(X)}}={\sqrt {\mathbf {V} (X)}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} \left((X-\mathbf {E} (X))^{2}\right)}}={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2}-2X\mathbf {E} (X)+\mathbf {E} ^{2}(X))}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2})-2\mathbf {E} (X)\mathbf {E} (X)+\mathbf {E} ^{2}(X)}}={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2})-2\mathbf {E} ^{2}(X)+\mathbf {E} ^{2}(X)}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2})-\mathbf {E} ^{2}(X)}}\end{aligned}}}
Tetszőleges
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbf {R} }
D
(
a
X
)
=
V
(
a
X
)
=
E
(
(
a
X
)
2
)
−
E
2
(
a
X
)
=
E
(
a
2
X
2
)
−
(
E
(
a
X
)
)
2
=
=
a
2
E
(
X
2
)
−
(
a
E
(
X
)
)
2
=
a
2
E
(
X
2
)
−
a
2
E
2
(
X
)
=
=
a
2
(
E
(
X
2
)
−
E
2
(
X
)
)
=
a
2
V
(
X
)
=
=
|
a
|
D
(
X
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (aX)&={\sqrt {\mathbf {V} (aX)}}={\sqrt {\mathbf {E} \left((aX)^{2}\right)-\mathbf {E} ^{2}(aX)}}={\sqrt {\mathbf {E} (a^{2}X^{2})-\left(\mathbf {E} (aX)\right)^{2}}}=\\&={\sqrt {a^{2}\mathbf {E} (X^{2})-\left(a\mathbf {E} (X)\right)^{2}}}={\sqrt {a^{2}\mathbf {E} (X^{2})-a^{2}\mathbf {E} ^{2}(X)}}=\\&={\sqrt {a^{2}\left(\mathbf {E} (X^{2})-\mathbf {E} ^{2}(X)\right)}}={\sqrt {a^{2}\mathbf {V} (X)}}=\\&=\vert a\vert \mathbf {D} (X),\end{aligned}}}
D
(
X
+
b
)
=
V
(
X
+
b
)
=
E
(
(
X
+
b
)
2
)
−
(
E
(
X
+
b
)
)
2
=
=
E
(
X
2
+
2
b
X
+
b
2
)
−
(
E
(
X
)
+
b
)
2
=
(
E
(
X
2
)
+
2
b
E
(
X
)
+
b
2
)
−
(
E
2
(
X
)
+
2
b
E
(
X
)
+
b
2
)
=
=
E
(
X
2
)
+
2
b
E
(
X
)
+
b
2
−
E
2
(
X
)
−
2
b
E
(
X
)
−
b
2
=
=
E
(
X
2
)
−
E
2
(
X
)
=
=
D
(
X
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (X+b)&={\sqrt {\mathbf {V} (X+b)}}={\sqrt {\mathbf {E} \left((X+b)^{2}\right)-\left(\mathbf {E} (X+b)\right)^{2}}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2}+2bX+b^{2})-\left(\mathbf {E} (X)+b\right)^{2}}}={\sqrt {\left(\mathbf {E} (X^{2})+2b\mathbf {E} (X)+b^{2}\right)-\left(\mathbf {E} ^{2}(X)+2b\mathbf {E} (X)+b^{2}\right)}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2})+2b\mathbf {E} (X)+b^{2}-\mathbf {E} ^{2}(X)-2b\mathbf {E} (X)-b^{2}}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2})-\mathbf {E} ^{2}(X)}}=\\&=\mathbf {D} (X).\end{aligned}}}
Az
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
D
(
X
)
=
0
⇔
X
=
c
{\displaystyle \mathbf {D} (X)=0\Leftrightarrow X=c}
Ha
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
corr
(
X
,
Y
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {corr} (X,Y)=0}
D
(
X
+
Y
)
=
D
2
(
X
)
+
D
2
(
Y
)
.
{\displaystyle \mathbf {D} (X+Y)={\sqrt {\mathbf {D} ^{2}(X)+\mathbf {D} ^{2}(Y)}}.}
Azt látjuk tehát, hogy (korrelálatlan, véges szórású valószínűségi változók esetén) nem a szórás, hanem a szórásnégyzet viselkedik lineárisan.
Bognár Jánosné, Mogyoródi József, Prékopa András, Rényi Alfréd , Szász Domokos (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény Typotex Kiadó , Budapest. Baran Sándor, Fazekas István, Glevitzky Béla, Iglói Endre, Ispány Márton, Kalmár István, Nagy Márta, Tar László, Verdes Emese (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
Medgyessy Pál – Takács Lajos (1973): Valószínűségszámítás Tankönyvkiadó, Budapest.
Michelberger Pál, Szeidl László, Várlaki Péter (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis Typotex Kiadó, Budapest.
