Մատրիցի ռանգ

$m$ տողերով և $n$ սյուներով $A$ մատրիցի տողերի (սյուների) համակարգի ռանգ են անվանում գծորեն անկախ տողերի (սյուների) առավելագույն թիվը։ Մի քանի տող (սյուն) անվանում են գծորեն անկախ, եթե նրանցից յուրաքանչյուրը չի կարող գծորեն ներկայացվել մյուսների միջոցով։ Տողերի համակարգի ռանգը միշտ հավասար է սյուների համակարգի ռանգի հետ, և այդ թիվն անվանում են մատրիցի ռանգ։

Մատրիցի ռանգ, տվյալ մատրիցի մինորների կարգերից առավելագույնը, որը հավասար չէ զրոյի։

Մատրիցի ռանգ, $dim(im(A))$ գծային օպերատորի տեսքի մեծություն, որին համապատասխանում է մատրիցը։

Սովորաբար $A$ մատրիցի ռանգը նշանակում են $\operatorname {rang} A$ ($\operatorname {rg} A$) կամ $\operatorname {rank} A$։

Սահմանում

Ենթադրենք, $A_{m\times n}$֊ը ուղղանկյուն մատրից է։

Այդ դեպքում ըստ սահմանման $A$ մատրիցի ռանգը հավասար է՝

• զրո, եթե $A$֊ն զրոյական մատրից է,
• $r\in \mathbb {N} :\;\exists M_{r}\neq 0,\;\forall M_{r+1}=0$ թվին, որտեղ $M_{r}$֊ը՝ $r$ կարգի $A$ մատրիցի մինորն է, իսկ $M_{r+1}$ նրան սահմանակից $(r+1)$ կարգի մինորը, եթե դրանք գոյություն ունեն։

Թեորեմ (ռանգերի որոշման ճշտության մասին) Ենթադրենք $k$ կարգի $A_{m\times n}$ մատրիցի բոլոր մինորներրը հավասար են զրոյի ($M_{k}=0$)։ Այդ դեպքում $\forall M_{k+1}=0$, եթե դրանք գոյություն ունեն։

Օրինակներ

${\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}$

Այս մատրիցի ռանգը հավասար է 2֊ի․ առաջին երկու տողերը գծորեն անկախ են, ուստի մատրիցի ռանգի նվազագույն արժեքը 2 է։ Բայց բոլոր երեք տողերը գծորեն կախված են (առաջինը հավասար է երկրորդի և երրորդի գումարին), ուստի ռանգը 3֊ից փոքր պետք է լինի։

$A={\begin{bmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{bmatrix}}$

$A$ մատրիցի ռանգը 1 է․ այն ունի ոչ զրոյական սյուներ, ուստի ռանգը դրական է։ Բայց սյուների ցանկացած երկուսը գծորեն կախված են։ Նմանապես, $A$֊ի վերադասավորման արդյունքում ստացված

$A^{T}={\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{bmatrix}}$

մատրիցի ռանգը հավասար է 1֊ի։ Իսկապես, քանի որ $A$֊ի սյուների վեկտորները $A^{T}$֊ի տողերի վեկտորներն են, մատրիցի սյուների և տողերի ռանգերի հավասարության պայմանը համարժեք մատրիցի և իր վերադասավորության ռանգերի հավասարության պայմանին, այսինքն, $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} A^{T}$։

Կապակցված սահմանումներ

• $m\times n$ չափանի $M$ մատրիցի $\operatorname {rang} M$ ռանգն անվանում են լրիվ, եթե $\operatorname {rang} M=\min\{m,n\}$։
• $A$ մատրիցի բազիսային մինորը $r$ կարգի $A$ մատրիցի ցանկացած ոչ զրոյական մինորն է, որտեղ $r=\operatorname {rang} A$։
  • Այն տողերն ու սյուները, որոնց հատման վրա կառուցված է բազիսային մինորը, կոչվում են բազիսային տողեր և սյուներ։

Հատկություններ

• "Թեորեմ (բազիսային մինորի մասին)։ Ենթադրենք $r=\operatorname {rang} A$, իսկ $M_{r}$֊ը $A$ մատրիցի բազիսային մինորն է։ Այդ դեպքում՝
  1. բազիսային տողերն ու բազիսային սյուները գծորեն անկախ են,
  2. $A$ մատրիցի ցանկացած տող (սյուն) բազիսային տողերի (սյուների) գծային կոմբինացիան է։
• Հետևանքներ
  • Եթե մատրիցի ռանգը $r$ է, ապա այդ մատրիցի ցանկացած $p\colon p>r$ տողեր կամ սյուներ կլինեն գծորեն անկախ։
  • Եթե $A$֊ն քառակուսի մատրից է, և $\det A=0\iff$, ապա այդ մատրիցի տողերն ու սյուները գծորեն անկախ են։
  • Ենթադրենք $r=\operatorname {rang} A$։ Այդ դեպքում այդ մատրիցի գծորեն անկախ տողերի (սյուների) առավելագույն քանակը հավասար կլինի $r$֊ի։
• Թեորեմ (տարրական ձևափոխությունների ժամանակ ռանգի անփոփոխելիության մասին)։ Ներմուծենք $A\sim B$ նշանակումը այն մատրիցների համար, որոնք միմյանցից ստացվում են տարրական ձևափոխությունների հետևանքով։ Այդ դեպքում կարելի է պնդել, որ եթե $A\sim B$, ապա դրանց ռանգերը հավասար են։
• Կրոնեքեր֊Կապելլիի թեորեմը։ Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը համատեղելի է այն և միայն այն դեպքում, երբ նրան հիմնական մատրիցի ռանգը հավասար է նրա ընդլայնված մատրիցի ռանգին։ Մասնավորապես՝
  • Համակարգի գլխավոր փոփոխականների քանակը հավասար է համակարգի ռանգին։
  • Համատեղելի համակարգը կորոշվի (նրա լուծումը միակն է), եթե համակարգի ռանգը հավասար լինի նրա բոլոր փոփոխականների ռանգին։

Գծային ձևափոխությունները և մատրիցի ռանգը

Ենթադրենք $A$֊ն $m\times n$ չափի մատրից է $C$ (կամ $R$) դաշտի վրա։ Ենթադրենք $T$֊ն գծային ձևափոխությունը է, որը համապատասխանում է $A$֊ին ստանդարտ բազիսում․ դա նշանակում է, որ $T(x)=Ax$։ $A$ մատրիցի ռանգը $T$ ձևափոխության արժեքների տարածքի մեծությունն է։

Մեթոդներ

Գոյություն ունեն ռանգի որոշման մի քանի մեթոդներ։

• Տարրական ձևափոխությունների մեթոդ

Մատրիցի ռանգը հավասար է մատրիցի ոչ զրոյական տողերի քանակին՝ նրա տողերի նկատմամբ տարրական ձևափոխությունների կիրառման միջոցով պարզ տեսքի բերելուց հետո։

• Սահմանակից մինորների մեթոդ

Ենթադրենք, $A$ մատրիցում գտնված է $k$-րդ կարգի $M$ մինորը։ Դիտարկենք նրա $(k+1)$ կարգի բոլոր մինորները, որոնք իրենց մեջ ներառում են (սահմանակից են) $M$ մինորը։ Եթե դրանք բոլորը հավասար են զրոյի, ապա մատրիցի ռանգը հավասար է $k$֊ի։ Հակառակ դեպքում սահմանակից մինորների մեջ կգտնվի ոչ զրոյական մինոր և ամբողջ գործընթացը կկրկնվի։