Talnamengi

Talnamengi er mengi talna. Hér verður fjallað um nokkur sérstök talnamengi sem flokkuð eru eftir eiginleikum talnanna sem í þeim eru.

$1,2,3,4...$	Fyrst má nefna náttúrlegu tölurnar. Þær eru kallaðar náttúrlegar þar sem að þær líkjast því sem við eigum að venjast úr náttúrunni - til náttúrlegra talna teljast tölurnar 1, 2, 3, 4,..., en þær eru óendanlega margar. Náttúrlegar tölur eru táknaðar með $\mathbb {N}$. Náttúrlegar tölur má skilgreina mengjafræðilega með aðferðum í Zermelo-Fraenkel mengjafræði, sem tengjast valfrumsemdunni.
$0,1,2,3...$	Talan núll hefur valdið mönnum mikil heilabrot alla tíð. Þar sem að tölur táknuðu upphaflega fjölda, hvernig gat ekkert talist sem fjöldi? Sifja alls var þó að lokum tekin í sátt og gefið táknið 0. Það var innleitt inn í náttúrlegu tölurnar í sértilfelli, og er það mengi kallað $\mathbb {N} _{0}$.
$...-2,-1,0,1,2...$	Fljótlega kom í ljós að ekki var hægt að stunda frádrátt í öllum tilfellum ef að tölurnar geta ekki verið neikvæðar. Lengi vel voru neikvæðar tölur taldar ónáttúrlegar, en fólk féllst þó á að leyfa þeim að heita tölur og gaf fólk þeim mengjanafnið $\mathbb {Z}$, sem er komið af þýska orðinu zahlen, eða tölurnar. Þessar tölur eru kallaðar heilar tölur: ... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ...
${\frac {5}{7}},{\frac {1}{3}},{\frac {8}{8}},...$	Nú gátu menn lagt saman, margfaldað, og dregið frá eftir hentisemi, en þó var enn ógjörningur að deila í öllum tilfellum, þó svo að menn sáu mjög augljóslega að deiling var til í dæminu - ef að brauði var skipt í tvennt þá voru tveir helmingar eftir. Nú datt mönnum til hugar að skýrt yrði að rita slíkar deilingar sem almenn brot, og tölur sem skrifaðar væru á þann hátt væru ræðar tölur - tölur sem hægt er að skrifa á forminu ${\frac {p}{q}}$ þar sem að p og q eru stök í $\mathbb {Z}$. Allar tölur sem er hægt að skrifa á þann hátt eru stök í $\mathbb {Q}$ - mengi ræðra talna.
${\sqrt {2}},e,\pi ,...$	Ekki leið á löngu þar til að fólk sá að það vantaði ofsalega margar tölur. Þá helst tók fólk eftir að Pýþagórasarreglan var óútreiknanleg í sumum tilfellum - til dæmis þegar að skammhliðar þríhyrningsins voru hvor um sig 1 að lengd. Samkvæmt reglu Pýþagórasar yrði langhliðin þá að vera ${\sqrt {1^{2}+1^{2}}}={\sqrt {1+1}}={\sqrt {2}}$, og með nokkuð einfaldri sönnun sést að ${\sqrt {2}}$ er ekki ræð tala. Þær tölur sem ekki eru ræðar eru nú kallaðar óræðar tölur, táknaðar með ${\bar {\mathbb {Q} }}$, en sammengið $\mathbb {Q} \cup {\bar {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R}$ er mengi rauntalna.
${\sqrt {-9}},i,5+4i,...$	Sumt var þó ekki hægt að reikna með þeim óendanlega fjölda samfelldu talna sem rauntalnamengið bauð upp á. Því voru tvinntölur innleiddar - til þess að ávallt væri til lausn við annars stigs jöfnu. Tvinntölur voru uppgötvaðar af þremur stærðfræðingum - Caspar Wessel, Carl Friedrich Gauss (Carl Friedrich Gauß) og William Hamilton - í lok 18. aldar og snemma á 19. öld. Þær voru hugsaðar sem framlenging á $\mathbb {R} ^{2}$ þar sem að innfeldi væri skilgreint. Mengi tvinntalna er táknað með $\mathbb {C}$. Mengi tvinntalna er sagt vera algebrulega fullkomið, þar sem að núllstöðvar allra tvinngildra margliða eru tvinntölur. Þessi staðreynd er þekkt sem undirstöðusetning algebrunnar.