キーペルト双曲線

三角形におけるキーペルト双曲線（キーペルトそうきょくせん、Kiepert Hyperbola）とは、三角形の3つの頂点と重心と垂心を通る双曲線である。また外接円錐曲線の一種である。名前はドイツの数学者であるルードヴィヒ・キーペルトに由来している。

キーペルト点と存在証明

キーペルト点は、以下の手順で作図される点である。

三角形 ABC に対し、∠xBC = ∠xCB = θ となる点 x をとる。
- θが正の時は x は BC に対し A と逆側に取る。θ が負の時は x は BC に対し A と同じ側に取る。
同様に y, z をとる。
Ax, By, Cz の交点 N がキーペルト点である。

キーペルト点の軌跡がキーペルト双曲線となる。

3線が1点で交わることは以下のように証明できる。

Ax と BC が交わる点を D とする。
BD : DC = △ABx : △ACx = AB sin(B + θ) : AC sin(C + θ)
同様に BｙとCA の交点を E, Cz と AB の交点を F とすると
CE : EA = BC sin(C + θ) : AB sin(A + θ), AF : FB = AC sin(A + θ) : BC sin(B + θ).
チェバの定理の逆より AD, BE, CF は1点で交わる。これはヤコビの定理として一般化されている。

上述の式からキーペルト点の重心座標は以下のようになる。

(a/sin(A + θ), b/sin(B + θ), c/sin(C + θ)).

ここで、a = BC, b = CA, c = AB である。

キーペルト双曲線の重心座標による式は以下のようになる。

(a² − b²)xy + (c² − a²)xz + (b² − c²)yz = 0.

漸近線は、ブロカール軸と外接円の交点から求められるシムソン線であり、その交点X(115)は重心座標によって以下のように表される^[1]。

((b² − c²)², (c² − a²)², (a² − b²)²).

この点は九点円上にある。

三角形が二等辺三角形のとき、この双曲線は2本の漸近線に退化する。正三角形のとき、上述の重心座標の式の左辺は0になるため定義できない。実際 θ=-60° のとき、任意の点 P に対して AxP ByP CzP の3組は同一直線上にある。

ブロカール軸上の点の等角共役の軌跡はキーペルト双曲線である。

以下の点はキーペルト双曲線上にある。

^ “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(115)”. faculty.evansville.edu. 2024年3月26日閲覧。