Аудан (геометрия)

Aудан (геометриялық мағынада), S - геoметриялық пішіннің екі өлшемді кеңістіктен алатын бөлігін сипаттайтын шама. Aудан - геометриялық пішіндерге байланысты негізгі шамалардың бірі болып табылады. Қарапайым жағдайда аудан пішін ішіне сиятын бірлік квадраттардың санымен өлшенеді. Ауданды жобалап өлшеу үшін планиметр құралын қолданады.

Ауданы тең пішіндерді тең шамалы пішіндер деп атайды.

Аксиомалар

1. Тең фигуралардың аудандары да тең.
2. Егер фигура қандай да бір сызықпен екі басқа фигураларға бөлінсе, онда берілген фигураның ауданы осы бөліктердің аудандарының қосындысына тең.
3. Қабырғасы бір өлшем бірлігіне тең квадраттың ауданы 1-ге тең.

Аудан анықтамасы

Берілген жиын егер Жордан ішкі өлшемі сыртқы өлшеміне тең болса Жордан бойынша өлшемді болып табылады

Аудан — келесі қасиеттері орындалатын функция:

• Оң, яғни аудан теріс бола алмайды;
• Аддитивті шама, яғни пішін ауданы осы пішінді құрайтын бөлшектер аудандарының қосындысына тең;
• Инварианттілік,конгруэнтті пішіндердің аудандары тең;
• Нормаланған, яғни бірлік квадраттың ауданы 1-ге тең.

Осы анықтамадан ауданның өспелілігі шығады, яғни пішін бөлігінің ауданы толық пішін ауданынан аспайды.

Салдары

Жоғарыдағы аксиомалардан келесі салдар шығады:

1. Егер бір фигура екінші фигураның бөлігі болса, онда бұл фигураның ауданы екінші фигураның ауданынан кем болады.
2. Тең құрамды фигуралардың аудандары да тең болады.

Аудандарды есептеу

Көпбұрыштылар

Фигура	Формула	Айнымалылар
Дұрыс үшбұрыш	${\frac {\sqrt {3}}{4}}s^{2}$	$s$ — қабырғалары ұзындығы
Тікбұрышты үшбұрыш	${\frac {ab}{2}}$	$a$ мен $b$ — катеттері
Кез келген үшбұрыш	${\frac {1}{2}}ah$	$a$ — қабырғасы, $h$ — сол қабырғаға түсірілген биіктік
	${\frac {1}{2}}ab\sin \alpha$	$a$ мен $b$ — кез келген екі қабырғалары, $\alpha$ — солардың араларындағы бұрыш
	${\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$ (Герон формуласы)	$a$, $b$ мен $c$ — қабырғалары, $p$ — жарты периметрі $\left(p={\frac {a+b+c}{2}}\right)$
	${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}$	$(x_{0};y_{0})$, $(x_{1};y_{1})$, $(x_{2};y_{2})$ — үшбұрыш төбелері координаттары (сағат тілімен есептегенде оң сан, әйтпесе теріс болады)
Квадрат	$s^{2}$	$s$ — квадрат қабырғасы ұзындығы
Тік төртбұрыш	$ab$	$a$ мен $b$ — тік төртбұрыш қабырғалары (ұзындығы мен ені)
Ромб	${\frac {1}{2}}cd$	$c$ мен $d$ — ромб диагональдары ұзындықтары
Параллелограмм	$ah$	$a$ мен $h$ — бір қабырғасы мен оған түсірілген биіктік ұзындықтары
	$ab\sin \alpha$	$a$ мен $b$ — сыбайлас қабырғалары мен араларындағы $\alpha$ бұрышы
Трапеция	${\frac {1}{2}}(a+b)h$	$a$ мен $b$ — трапеция негізі, $h$ — биіктігі
Кез келген төртбұрыш	${\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos \alpha }}$ (Брахмагупта формуласы)	$a$, $b$, $c$, $d$ — төрбұрыш қабырғалары , $p$ — жарты периметрі, $\alpha$ — қарама-қарсы бұрыштарының жарты қосындысы
Дұрыс алтыбұрыш	${\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}s^{2}$	$s$ — қабырғасы ұзындығы
Дұрыс сегізбұрыш	$2(1+{\sqrt {2}})s^{2}$	$s$ — қабырғасы ұзындығы
Дұрыс көпбұрыш	${\frac {P^{2}/n}{4\operatorname {tg} (\pi /n)}}$	$P$ — периметрі, $n$ — қабырғалары саны
Кез келген көпбұрыш (дөңес не емес)	${\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i+1}-x_{i})(y_{i+1}+y_{i})\right|$ (трапециялар тәсілі)	$(x_{i};y_{i})$ — көпбұрыш төбелерінің координаттары сағат тілі бойынша: $(x_{n+1};y_{n+1})=(x_{1};y_{1})$; егер тесігі болса бағыты сыртқы шекарасы бағытына қарсы алынады