കോശി-ഷ്വാർസ്‌ അസമവാക്യം

രേഖാഗണിതം, സാധ്യതാതന്ത്രം ആദിയായ ഗണിത മേഖലകളിൽ പ്രമുഖമായി പ്രയോഗിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു തത്വമാണ് കോശി-ഷ്വാർസ്‌ അസമവാക്യം. ഗണിതത്തിലെ തന്നെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടതെന്ന് കരുതപ്പെടുന്ന ഒരു അസമവാക്യമാണിത്.^[1]

1821ൽ അഗസ്റ്റിൻ-ലൂയിസ് കോശിയാണ് സങ്കലനങ്ങളുടെ ഇടയിൽ ഈ അസമവാക്യത്തിന്റെ നിലനിൽപ്പ് തെളിയിച്ചത്. 1859ൽ വിക്ടർ ബന്യകോവ്‌സ്‌കിയാണ് സമാകലനങ്ങളിലെ കോശി അസമവാക്യം തെളിയിച്ചത്. ഇതേ തെളിവ് 1888ൽ ഹെർമൻ ഷ്വാർസ്‌ സ്വതന്ത്രമായി കണ്ടെത്തി.^[1]

അസമത്വത്തിന്റെസാമാന്യ രൂപം

ഒരു ആന്തരിക ഗൗണ്യ ക്ഷേത്രത്തിൽ (inner product space) ഉൾപ്പെടുന്ന u, v എന്ന എല്ലാ സാദിശവസ്തുക്കളും (vectors) ഇപ്രകാരം ബന്ധപ്പെട്ടു കിടക്കുന്നു:

|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,

ഇവിടെ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ എന്നത് കൊണ്ട് ഒരു ആന്തരികഗുണനമാണുദ്ദേശിക്കുന്നത്, ഉദാഹരണത്തിന്, സാദിശവസ്തുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ബൈന്ദവ ഗുണനം (dot product). പ്രസ്തുത സമവാക്യത്തെ ഇങ്ങനെയും എഴുതാവുന്നതാണ്.

|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.

ഇവിടെ ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടാകുന്നത് u, v എന്ന സാദിശവസ്തുക്കൾ സമാന്തരമാണെങ്കിൽ മാത്രമാണ്.^[2]^[3]^[4]

അവലംബം

↑ ^1.0 ^1.1 Steele, J. Michael (2004). The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. p. 1. ISBN 978-0521546775. ...there is no doubt that this is one of the most widely used and most important inequalities in all of mathematics.
↑ Strang, Gilbert (19 July 2005). "3.2". Linear Algebra and its Applications (4th ed.). Stamford, CT: Cengage Learning. pp. 154–155. ISBN 978-0030105678.
↑ Hunter, John K.; Nachtergaele, Bruno (2001). Applied Analysis. World Scientific. ISBN 981-02-4191-7.
↑ Hassani, Sadri (1999). Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations. Springer. p. 29. ISBN 0-387-98579-4. Equality holds iff <c|c>=0 or |c>=0. From the definition of |c>, we conclude that |a> and |b> must be proportional.

[Steele-1] 1.0 ^1.1 Steele, J. Michael (2004). The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. p. 1. ISBN 978-0521546775. ...there is no doubt that this is one of the most widely used and most important inequalities in all of mathematics.

[Strang5-2] Strang, Gilbert (19 July 2005). "3.2". Linear Algebra and its Applications (4th ed.). Stamford, CT: Cengage Learning. pp. 154–155. ISBN 978-0030105678.

[:0-3] Hunter, John K.; Nachtergaele, Bruno (2001). Applied Analysis. World Scientific. ISBN 981-02-4191-7.

[4] Hassani, Sadri (1999). Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations. Springer. p. 29. ISBN 0-387-98579-4. Equality holds iff <c|c>=0 or |c>=0. From the definition of |c>, we conclude that |a> and |b> must be proportional.

[1]

[2]

[3]

[4]