Ongelijkheid van Cauchy-Schwarz

De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, ook bekend als de ongelijkheid van Schwarz, de ongelijkheid van Cauchy of de ongelijkheid van Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, is een stelling uit de lineaire algebra die stelt dat in elke inwendig-productruimte het inwendig product van twee vectoren van gegeven lengte absoluut gezien maximaal is als de vectoren in elkaars verlengde liggen. Dit wordt geformuleerd als: het kwadraat van het inwendig product van twee willekeurige vectoren $x$ en $y$ is ten hoogste gelijk aan het product van de inwendig producten van $x$ met zichzelf en $y$ met zichzelf. In formule:

$|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$.

Als $x$ en $y$ in elkaars verlengde liggen, dus als

$y=\lambda x$,

is inderdaad zoals boven genoemd:

$|\langle x,y\rangle |^{2}=|\lambda |^{2}\langle x,x\rangle =\langle x,x\rangle \langle \lambda x,\lambda x\rangle =\langle x,x\rangle \langle y,y\rangle$.

De ongelijkheid bestaat ook in een andere versie die gebruikmaakt van de door het inproduct geïnduceerde norm van de vectoren. Daartoe trekt men de wortel uit beide zijden van bovenstaande ongelijkheid:

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|$

De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz is genoemd naar Augustin Louis Cauchy en Herrmann Amandus Schwarz.

Bewijs

Omdat de ongelijkheid triviaal waar is voor $y=0,$ mogen we aannemen dat $\langle y,y\rangle$ niet-nul is. Voor elk complex getal $\lambda$ geldt dan:

$0\leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle -\lambda \langle y,x\rangle -{\overline {\lambda }}\langle x,y\rangle +|\lambda |^{2}\langle y,y\rangle$

Door de keuze

$\lambda ={\frac {\langle x,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}$

krijgt men:

$0\leq \langle x,x\rangle -{\frac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\langle y,y\rangle }}$

of anders geschreven:

$|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$

of equivalent met de geïnduceerde norm:

${\big |}\langle x,y\rangle {\big |}\leq \left\|x\right\|\left\|y\right\|$

Bijzondere gevallen

De oorspronkelijke ongelijkheid van Cauchy had betrekking op het canonieke inproduct in een eindigdimensionale euclidische ruimte. Voor eindige rijen reële of complexe getallen $(x_{i})$ en $(y_{i})$ wordt de formulering:

${\big |}\sum x_{i}y_{i}{\big |}^{2}\leq \sum |x_{i}|^{2}\sum |y_{i}|^{2}$

De ongelijkheid blijft gelden voor oneindige rijen die kwadratisch absoluut sommeerbaar zijn.

Voor kwadratisch lebesgue-integreerbare functies $f$ en $g$ luidt de ongelijkheid

$\left|\int fg\right|^{2}\leq \int |f|^{2}\int |g|^{2}.$

Driehoeksongelijkheid

In het bovenstaande gingen we er steeds van uit dat een inproduct een norm bepaalt. Om echter te weten dat het voorschrift

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$

wel degelijk een norm definieert, moest de driehoeksongelijkheid geverifieerd worden. Dit kan eenvoudig aan de hand van de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz door het inproduct van $x+y$ met zichzelf uit te werken.

Zie ook

• Ongelijkheid van Hölder