Mengd
Ei mengd er eit av dei viktigaste omgrepa i matematikk. Mengdelære vart utvikla på slutten av 1800-talet, og er grunnlaget for moderne matematikk. Det er vanleg å definere andre matematiske omgrep ved hjelp av mengder.
Mengdelæra går tilbake til Georg Cantor. Han definerte ei mengd som ei «samling bestemte, forskjellige objekt, sett på som eit heile.» Det viste seg at ein slik definisjon fører til uløyselege paradoks. (Sjå Russells paradoks). Difor let ein vere å definere omgrepet mengd, men ser istaden på det som eit grunnomgrep som ein ikkje kan definere.
Ei mengd inneheld objekt, kalla element. Elementa kan vere kva som helst, til dømes tal, personar, bilar eller andre mengder. Ei mengd må vere veldefinert: for kvart objekt må det vere mogleg å avgjere om objektet er eit element i mengda eller ei.
Notasjon og operasjonar på mengder
[endre | endre wikiteksten]Viss x er eit element i mengda M, skriv ein x ∈ M.
Det er vanleg å bruka notasjonen {x ∈ A : P(x)} for mengda av element x i A som er slik at P(x) er sann. Til dømes er {n ∈ : 2 deler n} mengda av partal.
Ei mengd kan vere tom. Det vil seie at mengda ikkje inneheld nokre element. Symbolet for den tomme mengda er Ø.
Unionen av to mengder A og B er mengda som inneheld alle elementa i A og alle elementa i B. Den vert skrive A ∪ B. Snittet av A og B inneheld alle elementa som finst i både A og B, og vert skrive A ∩ B. Viss A og B ikkje har nokre felles element er snittet av mengdene den tomme mengda, Ø, og A og B er disjunkte mengder.
Viss A og B inneheld dei same elementa, er A = B.
Viss alle elementa i A òg er element i B, er A ei delmengd av B, og ein skriv A ⊂ B.