Cauchyho-Schwarzova nerovnosť

Cauchyho-Schwarzova nerovnosť (iné názvy:Buňakovského nerovnosť, Cauchyho-Buňakovského nerovnosť, Schwarzova nerovnosť, Cauchyho-Buňakovského-Schwarzova nerovnosť) je matematická nerovnosť pochádzajúca z oblasti lineárnej algebry, ktorá má širokú škálu aplikácií napríklad v matematickej analýze, či teórii pravdepodobnosti. Všeobecná formulácia Heisenbergovho princípu neurčitosti je odvodená na základe Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti v Hilbertovom priestore čistých kvantových stavov.

Znenie nerovnosti

Nech x a y sú vektory daného unitárneho priestoru nech $\langle x,y\rangle$ označuje skalárny súčin vektorov x a y v danom unitárnom priestore. Potom Cauchyho-Schwarzova nerovnosť hovorí, že

$|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle .$

Odmocnením oboch strán nerovnosti (skalárny súčin je vždy nezáporný) je možné dostať ekvivalentný tvar Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti:

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|,\,$

kde $\|x\|$ je norma vektora x.

Dôležité špeciálne prípady

Asi najčastejšie využívaným špeciálnym tvarom Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti je jej formulácia pre euklidovský priestor $\mathbb {R} ^{n}$. V takomto prípade dostávame

$\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right),$

čo býva niekedy označované ako diskrétny tvar Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti.

Ďalej, relatívne často používaným špeciálnym prípadom je priestor $L^{2}$, v ktorom má nerovnosť tvar

$\left|\int f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx,$

čo býva označované aj ako spojitý tvar Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti.

Externé odkazy

• Článok o Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti Archivované 2010-03-11 na Wayback Machine na PlanetMath (po anglicky)
• Článok o nerovnosti na Wolfram MathWorld (po anglicky)
• Cauchyho-Schwarzova nerovnosť