Коши-Шварцова неједнакост

Коши-Шварцова неједнакост, позната и као неједнакост Коши-Шварц-Буњаковског, корисна је неједнакост која се примењује у многим областима математике као што су линеарна алгебра, анализа, теорија вероватноће и друге. Сматра се једном од најважнијих неједнакости у математици.^[1]

Неједнакост за суме открио је Огистен Луј Коши (1821), док је одговарајућу неједнакост за интеграле први доказао Виктор Буњаковски (1859). Интегралну неједнакост нешто касније је открио, независно од Буњаковског, и Херман Шварц (1888)^[1].

Исказ неједнакости

Коши-Шварцова неједнакост тврди да за све векторе $u$ и $v$ унитарног векторског простора важи

|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ представља унутрашњи производ. Еквивалентно, кореновањем обе стране претходне неједнакости, уз коришћење норме вектора, неједнакост се може записати у облику^[2]^[3]

|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.

Специјално, једнакост важи ако и само ако су $\mathbf {u}$ и $\mathbf {v}$ линеарно зависни (што значи да су паралелни: један од вектора $u$ и $v$ је нула вектор, или представља скаларни умножак другог).^[4]^[5]

Ако је $u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C}$ и $v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {C}$ , и унутрашњи производ је стандардни комплексни унутрашњи производ, тада се неједнакост може експлицитно изразити на следећи начин (где црта изнад означава комплексну конјугацију):

|u_{1}{\bar {v}}_{1}+\cdots +u_{n}{\bar {v}}_{n}|^{2}\leq (|u_{1}|^{2}+\cdots +|u_{n}|^{2})(|v_{1}|^{2}+\cdots +|v_{n}|^{2}),

односно

\left|\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\bar {v}}_{i}\right|^{2}\leq \sum _{j=1}^{n}|u_{j}|^{2}\sum _{k=1}^{n}|v_{k}|^{2}.

Докази

Први доказ

Нека су $u$ и $v$ произвољни вектори векторског простора над $\mathbb {F}$ са унутрашњим производом, где је $\mathbb {F}$ поље реалних или комплексних бројева. Желимо да докажемо неједнакост

{\big |}\langle u,v\rangle {\big |}\leq \|u\|\|v\|,

као и да једнакост важи ако и само ако је један од вектора $u$ и $v$ скаларни умножак другог (специјално, (бар) један од вектора је нула вектор).

Ако је $v=0$ , јасно је да тада важи једнакост, а такође и да су $u$ и $v$ линеарно зависни (без обзира на вектор $u$ ), тако да закључујемо да у овом случају тврђење важи. Аналогно се показује за случај $u=0$ . Претпоставимо стога да $v$ није нула вектор.

Нека је

z=u-{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v.

Тада, због линеарности унутрашњег производа по првом аргументу, имамо да је

\langle z,v\rangle =\left\langle u-{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v,v\right\rangle =\langle u,v\rangle -{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}\langle v,v\rangle =0.

Одавде следи да је вектор $z$ ортогоналан на $v$ (заиста, $z$ је пројекција вектора $u$ на раван ортогоналну на $v$ ). Стога можемо да применимо Питагорину теорему на

u={\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v+z

,

што нам даје

\|u\|^{2}=\left|{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}\right|^{2}\|v\|^{2}+\|z\|^{2}={\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{(\|v\|^{2})^{2}}}\,\|v\|^{2}+\|z\|^{2}={\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}}+\|z\|^{2}\geq {\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}},

одакле, након множења са $\|v\|^{2}$ и узимања квадратног корена обе стране, добијамо Коши-Шварцову неједнакост. Додатно, ако у претходном изразу уместо $\geq$ важи једнакост, тада је $\|z\|^{2}=0$ , односно $z=0$ ; тада нам дефиниција вектора $z$ даје линеарну зависност вектора $u$ и $v$ .

Са друге стране, ако су $u$ и $v$ линеарно зависни, тада постоји $\lambda \in \mathbb {F}$ тако да је $u=\lambda \cdot v$ (јер је $v\neq 0$ ). Тада имамо

|\langle u,v\rangle |=|\langle \lambda \cdot v,v\rangle |=\left|\lambda \|v\|^{2}\right|=|\lambda |\|v\|^{2}=\|\lambda \cdot v\|\|v\|=\|u\|\|v\|.

Овиме је тврђење доказано.

Други доказ

Нека су $u$ и $v$ произвољни вектори унитарног векторског простора над $\mathbb {C}$ .

У специјалном случају $v=0$ тврђење тривијално важи. Претпоставимо сада да је $v\neq 0$ . Нека је $\lambda \in \mathbb {C}$ дато са $\lambda ={\frac {\langle u,v\rangle }{\|v\|^{2}}}$ . Тада је

{\begin{aligned}0&\leq \|u-\lambda \cdot v\|^{2}\\&=\langle u,u\rangle -\langle \lambda \cdot v,u\rangle -\langle u,\lambda \cdot v\rangle +\langle \lambda \cdot v,\lambda \cdot v\rangle \\&=\langle u,u\rangle -\lambda \langle v,u\rangle -{\overline {\lambda }}\langle u,v\rangle +\lambda {\overline {\lambda }}\langle v,v\rangle \\&=\|u\|^{2}-\lambda {\overline {\langle u,v\rangle }}-{\overline {\lambda }}\langle u,v\rangle +\lambda {\overline {\lambda }}\|v\|^{2}\\&=\|u\|^{2}-{\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}}-{\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}}+{\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}}\\&=\|u\|^{2}-{\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}}.\end{aligned}}

Дакле, имамо да важи $0\leq \|u\|^{2}-{\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}}$ , oдносно $|\langle u,v\rangle |\leq \|u\|\|v\|$ , што је и требало доказати.

Ако у претходној неједнакости заправо важи једнакост, онда је $\|u-\lambda \cdot v\|=0$ , односно $u-\lambda \cdot v=0$ , одакле следи да су $u$ и $v$ линеарно зависни. Са друге стране, ако су $u$ и $v$ линеарно зависни, тада се као у првом доказу добија да важи $|\langle u,v\rangle |=\|u\|\|v\|$ .

Више доказа

Постоји још много различитих доказа Коши-Шварцове неједнакости.^[6] При разматрању других извора, често долази до забуне из два разлога. Прво, неки аутори дефинишу $⟨\cdot,\cdot⟩$ као оператор који је линеаран по другом аргументу, уместо по првом. Друго, неки докази важе само у случају када се ради над пољем $\mathbb {R}$ , а не $\mathbb {C}$ .^[7]

Специјални случајеви

Титуова лема

Титуова лема (названа по математичару имена Titu Andreescu, позната још и као Т2 лема, Енгелова форма, или Седракјанова неједнакост) тврди да за позитивне реалне бројеве важи

{\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}.

Ова лема је директна последица Коши-Шварцове неједнакости, добијена сменом $u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}}}}$ и $v_{i}'={\sqrt {v_{i}}}.$ Овај облик посебно је користан када се у неједнакости појављује разломак чији је бројилац потпун квадрат.

R² (стандардни дводимензионални простор)

У обичном дводимензионалном простору са скаларним производом, нека је $u=(u_{1},u_{2})$ и $v=(v_{1},v_{2})$ . Коши-Шварцова неједнакост тада има облик

\langle u,v\rangle ^{2}=(\|u\|\|v\|\cos \theta )^{2}\leq \|u\|^{2}\|v\|^{2},

где је $\theta$ угао између вектора $u$ и $v.$

Овај облик је вероватно и најједноставнији за разумевање неједнакости, с обзиром да квадрат косинуса може бити највише 1, а то се дешава када су вектори истог или супротног смера (дакле, када су линеарно зависни). Претходна неједнакост може се расписати и преко координата вектора $u_{1},u_{2},v_{1}$ и $v_{2}$ , чиме се добија

(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2})^{2}\leq (u_{1}^{2}+u_{2}^{2})(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}),

при чему једнакост важи ако и само ако је вектор $(u_{1},u_{2})$ истог или супротног смера у односу на вектор $(v_{1},v_{2}),$ или ако је један од њих нула вектор.

Rⁿ (n-димензионални еуклидски простор)

У еуклидском простору $\mathbb {R} ^{n}$ са стандардним унутрашњим производом, Коши-Шварцова неједнакост гласи

\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).

У овом случају, дата неједнакост се може доказати и помоћу елементарне алгебре. Наиме, посматрајмо следећи квадратни полином по $x$ :

0\leq (u_{1}x+v_{1})^{2}+\cdots +(u_{n}x+v_{n})^{2}=\left(\sum u_{i}^{2}\right)x^{2}+2\left(\sum u_{i}v_{i}\right)x+\sum v_{i}^{2}.

Како је дати квадратни полином ненегативан, он може имати највише један реалан корен, одакле следи да је његова дискриминанта мања или једнака нули. Дакле,

\left(\sum (u_{i}v_{i})\right)^{2}-\sum {u_{i}^{2}}\sum {v_{i}^{2}}\leq 0,

одакле непосредно следи Коши-Шварцова неједнакост.

L²

За унутрашњи производ простора квадратно интеграбилних функција са комплексним вредностима важи

\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2}\,dx.

Уопштење овога представља Хелдерова неједнакост.

Примене

Анализа

Неједнакост троугла за стандардну норму често се наводи као последица Коши-Шварцове неједнакости. Наиме, ако су дати вектори $x$ и $y$ , имамо да важи:

{\begin{aligned}\|x+y\|^{2}&=\langle x+y,x+y\rangle \\&=\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|^{2}\\&=\|x\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle +\|y\|^{2}\\&\leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}\\&\leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}\\&=(\|x\|+\|y\|)^{2}.\end{aligned}}

Узимањем квадратног корена обе стране неједнакости добијамо управо неједнакост троугла:

\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.

Коши-Шварцова неједнакост се користи и да се докаже да је унутрашњи производ непрекидна функција, узимајући у обзир топологију која је индукована самим унутрашњим производом.^[8]^[9]

Геометрија

Коши-Шварцова неједнакост омогућава да се појам угла између два вектора уопшти на било који реални простор са унутрашњим производом тако што се дефинише^[10]^[11]

\cos \theta _{xy}={\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\|y\|}}.

Помоћу Коши-Шварцове неједнакости доказује се да је дата дефиниција добра, тако што се покаже да вредност израза са десне стране припада интервалу [−1, 1], и оправдава се тврђење да (реални) Хилбертови простори заправо представљају генерализацију еуклидског простора. Горенаведена једнакост може се користити и за дефинисање угла у комплексним просторима са унутрашњим производом, узимањем модула или реалног дела десне стране.^[12]^[13]

Теорија вероватноће

Нека су X и Y случајне променљиве. Тада за њихову коваријансу важи неједнакост:^[14]^[15]

\operatorname {Var} (Y)\geq {\frac {(\operatorname {Cov} (Y,X))^{2}}{\operatorname {Var} (X)}},

где $\operatorname {Var}$ означава варијансу, а $\operatorname {Cov}$ коваријансу датих случајних променљивих.

Дефинисањем унутрашњег производа на скупу случајних променљивих помоћу очекивања њиховог производа:

\langle X,Y\rangle :=\operatorname {E} (XY),

Коши-Шварцова неједнакост постаје

|\operatorname {E} (XY)|^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Y^{2}).

Да бисмо доказали неједнакост за коваријансу помоћу Коши-Шварцове неједнакости, означимо $\mu =\operatorname {E} (X)$ и $\nu =\operatorname {E} (Y)$ ; тада је

{\begin{aligned}|\operatorname {Cov} (X,Y)|^{2}&=|\operatorname {E} ((X-\mu )(Y-\nu ))|^{2}\\&=|\langle X-\mu ,Y-\nu \rangle |^{2}\\&\leq \langle X-\mu ,X-\mu \rangle \langle Y-\nu ,Y-\nu \rangle \\&=\operatorname {E} ((X-\mu )^{2})\operatorname {E} ((Y-\nu )^{2})\\&=\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y).\end{aligned}}

Уопштења

Постоје разна уопштења Коши-Шварцове неједнакости. Хелдерова неједнакост представља њено уопштење на $L^{p}$ норме. Још општије, ова неједнакост може се интерпретирати као специјалан случај дефиниције норме линеарног оператора у Банаховом простору (конкретно, када је простор Хилбертов). Даље генерализације су у контексту теорије оператора, на пример за алгебре оператора у којима су домен и/или кодомен замењени са C*-алгебром или W*-алгебром.

Унутрашњи производ се може користити за дефинисање позитивног линеарног функционала. На пример, ако је дат Хилбертов простор $L^{2}(m)$ , где је $m$ коначна мера, помоћу стандардног унутрашњег производа може се дефинисати позитивни функционал $\varphi$ са $\varphi (g)=\langle g,1\rangle$ . Обратно, сваки позитивни линеарни функционал $\varphi$ на $L^{2}(m)$ може се користити за дефинисање унутрашњег производа: $\langle f,g\rangle _{\varphi }:=\varphi (g^{*}f)$ , где $g^{*}$ представља тачка по тачка комплексни конјугат од $g$ . У овом случају Коши-Шварцова неједнакост постаје^[16]

|\varphi (g^{*}f)|^{2}\leq \varphi (f^{*}f)\varphi (g^{*}g),

што се уопштава на позитивне функционале у C*-алгебрама:

Теорема (Коши-Шварцова неједнакост за позитивне функционале на C*-алгебрама):^[17]^[18] Ако је $\varphi$ позитивни линеарни функционал на C*-алгебри ${\mathcal {A}},$ онда за све $a,b\in {\mathcal {A}}$ важи

|\varphi (b^{*}a)|^{2}\leq \varphi (b^{*}b)\varphi (a^{*}a)

.

Наредне две теореме представљају даља уопштења Коши-Шварцове неједнакости у алгебри оператора.

Теорема (Кадисон-Шварцова неједнакост,^[19]^[20] названа по Ричарду Кадисону): Ако је $\varphi$ унитална позитивна мапа, тада за сваки нормални елемент $a$ из њеног домена важи

\varphi (a^{*}a)\geq \varphi (a^{*})\varphi (a)

и

\varphi (a^{*}a)\geq \varphi (a)\varphi (a^{*})

.

Одавде следи чињеница да је $\varphi (a^{*}a)\cdot 1\geq \varphi (a)^{*}\varphi (a)=|\varphi (a)|^{2}$ , уколико је $\varphi$ линеарни функционал. Случај када је $a$ самоадјунгован, тј. $a=a^{*},$ се некад назива Кадисонова неједнакост.

Теорема (Модификована Шварцова неједнакост за 2-позитивне мапе):^[21] Ако је $\varphi$ 2-позитивна мапа између C*-алгебри, тада за све $a,b$ из њеног домена важи:

\varphi (a)^{*}\varphi (a)\leq \Vert \varphi (1)\Vert \varphi (a^{*}a){\text{ и }}

\Vert \varphi (a^{*}b)\Vert ^{2}\leq \Vert \varphi (a^{*}a)\Vert \cdot \Vert \varphi (b^{*}b)\Vert .

Још једно уопштење се добија интерполацијом обе стране Коши-Шварцове неједнакости:

Теорема (Неједнакост Калебаута):^[22] За реалне бројеве $0\leqslant s\leqslant t\leqslant 1$ важи:

{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}{\Bigr )}^{2}\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+s}b_{i}^{1-s}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-s}b_{i}^{1+s}\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+t}b_{i}^{1-t}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-t}b_{i}^{1+t}\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}.

Ово се лако доказујe коришћењем Хелдерове неједнакости.^[23]

Види још

Референце

^ ^а ^б Steele, J. Michael (2004). The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. стр. 1. ISBN 978-0521546775. „...there is no doubt that this is one of the most widely used and most important inequalities in all of mathematics.”
^ Strang, Gilbert (19. 7. 2005). „3.2”. Linear Algebra and its Applications (4th изд.). Stamford, CT: Cengage Learning. стр. 154—155. ISBN 978-0030105678.
^ Hunter, John K.; Nachtergaele, Bruno (2001). Applied Analysis. World Scientific. ISBN 981-02-4191-7.
^ Bachmann, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (6. 12. 2012). Fourier and Wavelet Analysis. Springer Science & Business Media. стр. 14. ISBN 9781461205050.
^ Hassani, Sadri (1999). Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations. Springer. стр. 29. ISBN 0-387-98579-4. „Equality holds iff <c|c>=0 or |c>=0. From the definition of |c>, we conclude that |a> and |b> must be proportional.”
^ Wu, Hui-Hua; Wu, Shanhe (април 2009). „Various proofs of the Cauchy-Schwarz inequality” (PDF). Octogon Mathematical Magazine. 17 (1): 221—229. ISBN 978-973-88255-5-0. ISSN 1222-5657. Архивирано из оригинала (PDF) 09. 10. 2022. г. Приступљено 18. 5. 2016.
^ Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2. 5. 2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide. Springer Science & Business Media. ISBN 9783540326960.
^ Bachman, George; Narici, Lawrence (26. 9. 2012). Functional Analysis. Courier Corporation. стр. 141. ISBN 9780486136554.
^ Swartz, Charles (21. 2. 1994). Measure, Integration and Function Spaces. World Scientific. стр. 236. ISBN 9789814502511.
^ Ricardo, Henry (21. 10. 2009). A Modern Introduction to Linear Algebra. CRC Press. стр. 18. ISBN 9781439894613.
^ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (6. 6. 2014). Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics. CRC Press. стр. 181. ISBN 9781482248241.
^ Valenza, Robert J. (6. 12. 2012). Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics. Springer Science & Business Media. стр. 146. ISBN 9781461209010.
^ Constantin, Adrian (21. 5. 2016). Fourier Analysis with Applications. Cambridge University Press. стр. 74. ISBN 9781107044104.
^ Mukhopadhyay, Nitis (22. 3. 2000). Probability and Statistical Inference. CRC Press. стр. 150. ISBN 9780824703790.
^ Keener, Robert W. (8. 9. 2010). Theoretical Statistics: Topics for a Core Course. Springer Science & Business Media. стр. 71. ISBN 9780387938394.
^ Faria, Edson de; Melo, Welington de (12. 8. 2010). Mathematical Aspects of Quantum Field Theory. Cambridge University Press. стр. 273. ISBN 9781139489805.
^ Lin, Huaxin (1. 1. 2001). An Introduction to the Classification of Amenable C*-algebras. World Scientific. стр. 27. ISBN 9789812799883.
^ Arveson, W. (6. 12. 2012). An Invitation to C*-Algebras. Springer Science & Business Media. стр. 28. ISBN 9781461263715.
^ Størmer, Erling (13. 12. 2012). Positive Linear Maps of Operator Algebras. Springer Monographs in Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 9783642343698.
^ Kadison, Richard V. (1. 1. 1952). „A Generalized Schwarz Inequality and Algebraic Invariants for Operator Algebras”. Annals of Mathematics. 56 (3): 494—503. JSTOR 1969657. doi:10.2307/1969657.
^ Paulsen, Vern (2002). Completely Bounded Maps and Operator Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 78. Cambridge University Press. стр. 40. ISBN 9780521816694.
^ Callebaut, D.K. (1965). „Generalization of the Cauchy–Schwarz inequality”. J. Math. Anal. Appl. 12 (3): 491—494. doi:10.1016/0022-247X(65)90016-8  .
^ Callebaut's inequality. Entry in the AoPS Wiki.

Литература

Aldaz, J. M.; Barza, S.; Fujii, M.; Moslehian, M. S. (2015), „Advances in Operator Cauchy—Schwarz inequalities and their reverses”, Annals of Functional Analysis, 6 (3): 275—295, doi:10.15352/afa/06-3-20
Bityutskov, V. I. (2001). „Bunyakovskii inequality”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Bunyakovsky, V. (1859), „Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finies” (PDF), Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg, 7 (1): 9
Cauchy, A.-L. (1821), „Sur les formules qui résultent de l'emploie du signe et sur > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités”, Cours d'Analyse, 1er Partie: Analyse Algébrique 1821; OEuvres Ser.2 III 373-377
Dragomir, S. S. (2003), „A survey on Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz type discrete inequalities”, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 4 (3): 142 pp, Архивирано из оригинала 20. 7. 2008. г.
Grinshpan, A. Z. (2005), „General inequalities, consequences, and applications”, Advances in Applied Mathematics, 34 (1): 71—100, doi:10.1016/j.aam.2004.05.001 
Kadison, R. V. (1952), „A generalized Schwarz inequality and algebraic invariants for operator algebras”, Annals of Mathematics, 56 (3): 494—503, JSTOR 1969657, doi:10.2307/1969657 .
Lohwater, Arthur (1982), Introduction to Inequalities, Online e-book in PDF format
Paulsen, V. (2003), Completely Bounded Maps and Operator Algebras, Cambridge University Press .
Schwarz, H. A. (1888), „Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung” (PDF), Acta Societatis Scientiarum Fennicae, XV: 318
Solomentsev, E. D. (2001). „Cauchy inequality”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Steele, J. M. (2004), The Cauchy–Schwarz Master Class, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54677-X

Спољашње везе

Earliest Uses: The entry on the Cauchy–Schwarz inequality has some historical information.
Example of application of Cauchy–Schwarz inequality to determine Linearly Independent Vectors Tutorial and Interactive program.

[Steele-1] а ^б Steele, J. Michael (2004). The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. стр. 1. ISBN 978-0521546775. „...there is no doubt that this is one of the most widely used and most important inequalities in all of mathematics.”

[Strang5-2] Strang, Gilbert (19. 7. 2005). „3.2”. Linear Algebra and its Applications (4th изд.). Stamford, CT: Cengage Learning. стр. 154—155. ISBN 978-0030105678.

[:0-3] Hunter, John K.; Nachtergaele, Bruno (2001). Applied Analysis. World Scientific. ISBN 981-02-4191-7.

[4] Bachmann, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (6. 12. 2012). Fourier and Wavelet Analysis. Springer Science & Business Media. стр. 14. ISBN 9781461205050.

[5] Hassani, Sadri (1999). Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations. Springer. стр. 29. ISBN 0-387-98579-4. „Equality holds iff <c|c>=0 or |c>=0. From the definition of |c>, we conclude that |a> and |b> must be proportional.”

[6] Wu, Hui-Hua; Wu, Shanhe (април 2009). „Various proofs of the Cauchy-Schwarz inequality” (PDF). Octogon Mathematical Magazine. 17 (1): 221—229. ISBN 978-973-88255-5-0. ISSN 1222-5657. Архивирано из оригинала (PDF) 09. 10. 2022. г. Приступљено 18. 5. 2016.

[7] Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2. 5. 2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide. Springer Science & Business Media. ISBN 9783540326960.

[8] Bachman, George; Narici, Lawrence (26. 9. 2012). Functional Analysis. Courier Corporation. стр. 141. ISBN 9780486136554.

[9] Swartz, Charles (21. 2. 1994). Measure, Integration and Function Spaces. World Scientific. стр. 236. ISBN 9789814502511.

[10] Ricardo, Henry (21. 10. 2009). A Modern Introduction to Linear Algebra. CRC Press. стр. 18. ISBN 9781439894613.

[11] Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (6. 6. 2014). Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics. CRC Press. стр. 181. ISBN 9781482248241.

[12] Valenza, Robert J. (6. 12. 2012). Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics. Springer Science & Business Media. стр. 146. ISBN 9781461209010.

[13] Constantin, Adrian (21. 5. 2016). Fourier Analysis with Applications. Cambridge University Press. стр. 74. ISBN 9781107044104.

[14] Mukhopadhyay, Nitis (22. 3. 2000). Probability and Statistical Inference. CRC Press. стр. 150. ISBN 9780824703790.

[15] Keener, Robert W. (8. 9. 2010). Theoretical Statistics: Topics for a Core Course. Springer Science & Business Media. стр. 71. ISBN 9780387938394.

[16] Faria, Edson de; Melo, Welington de (12. 8. 2010). Mathematical Aspects of Quantum Field Theory. Cambridge University Press. стр. 273. ISBN 9781139489805.

[17] Lin, Huaxin (1. 1. 2001). An Introduction to the Classification of Amenable C*-algebras. World Scientific. стр. 27. ISBN 9789812799883.

[18] Arveson, W. (6. 12. 2012). An Invitation to C*-Algebras. Springer Science & Business Media. стр. 28. ISBN 9781461263715.

[19] Størmer, Erling (13. 12. 2012). Positive Linear Maps of Operator Algebras. Springer Monographs in Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 9783642343698.

[20] Kadison, Richard V. (1. 1. 1952). „A Generalized Schwarz Inequality and Algebraic Invariants for Operator Algebras”. Annals of Mathematics. 56 (3): 494—503. JSTOR 1969657. doi:10.2307/1969657.

[21] Paulsen, Vern (2002). Completely Bounded Maps and Operator Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 78. Cambridge University Press. стр. 40. ISBN 9780521816694.

[22] Callebaut, D.K. (1965). „Generalization of the Cauchy–Schwarz inequality”. J. Math. Anal. Appl. 12 (3): 491—494. doi:10.1016/0022-247X(65)90016-8  .

[23] Callebaut's inequality. Entry in the AoPS Wiki.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]