வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு

f is a function from domain X to codomain Y. The yellow oval inside Y is the image of f.

கணிதத்தில் ஒரு சார்பின் வீச்சு (Range) என்பது அச்சார்பின் எல்லா வெளியீடுகளின் கணமாகும். இதையே சார்பின் எதிருரு (Image) என்றும் சொல்வதுண்டு. எதிருருவின் ஒருவித மறுதலை முன்னுரு. சரியான வரையறைகளைக் கீழே பார்க்கலாம்.

துல்லியமான வரையறை

$f\colon A\rightarrow B$ என்ற சார்பை நோக்குக.

f

வழியாக A யிலுள்ள ஒவ்வொரு

x

க்கும் அதன் எதிருரு என்பது,

B

இல்

f

இனால்

x

உடன் தனிப்படியாக உறவுண்டாக்கப்பட்ட (associated) ஒரு உறுப்பு. அது

f(x)

என்ற குறியீட்டினால் குறிக்கப்படும்.

f(A):=\{f(x)\mid x\in A\}

என்ற கணத்திற்கு

f

இன் வீச்சு என்று பெயர்.இதையே

f

இன் எதிருரு (Image) என்றும் சொல்வதுண்டு. அதனாலேயே

Im(f)

என்ற குறியீடும் பழக்கத்திலிருக்கிறது. எனினும் இந்தக்குறியீட்டை கவனமாகப் பயன்படுத்தவேண்டும். ஏனென்றால் சில பழைய நூல்களில்

Im(f)

என்ற குறியீடு

f

இன் இணையாட்களத்தைக் குறித்தது.

f

இன் எதிருருக்காக ஐயமறப் பயன்படுத்தப்படக்கூடியது

R(f)

என்ற குறியீடு.

R(f)

ஐ

f

இன் வழியாக

A

இன் எதிருரு என்றும் சொல்லலாம். குறியீடு

Im_{f}[A]

. சூழ்நிலையிலிருந்து

f

தெரிந்துகொள்ளப்படின்,

Im[A]

என்றே எழுதலாம். ஐயமேற்பட வாய்ப்பில்லாத பொழுது, இதையும் எளிதாக

Im(A)

என்று எழுதுவதும் உண்டு.

$f$ இன் இணையாட்களம் $B$ என்ற கணம்.

முன்னுரு

$f\colon A\rightarrow B$ என்று கொள்க.

எதிருருவே ஒரு கோப்பு

Im(f

) என்பது

A

இலுள்ள ஒவ்வொரு உட்கணம்

X

ஐயும்

Im_{f}(X)=Y

என்ற (

B

இன்) ஒரு உட்கணத்திற்கு எடுத்துச்செல்கிறது. இதனால்

Im(f

) ஐ

A

இனுடைய அடுக்குக்கணத்திலிருந்து (Power Set of A),

B

இன் அடுக்குக்கணத்திற்குப்போகும் ஒரு சார்பு அல்லது கோப்பாகக்கொள்ளலாம். குறியீடுகளில் சொன்னால்,

Im(f)\colon 2^{A}\rightarrow 2^{B}

: வரையறை:

(Im(f))(X)=Im_{f}(X)

முன்னுருவின் வரையறை

ஒவ்வொரு $Y\subseteq B$ க்கும் அதனுடைய முன்னுரு (Pre-image or Inverse image) என்பது

f⁻¹[Y] = {x ∈ A | f(x) ∈ Y}

என்று வரையறுக்கப்பட்ட (A இன்) உட்கணம்.

Y = {y} ஓர் ஓருறுப்புக்கணமாக இருக்குமானால் f⁻¹[{y}], ஒரு நார் (fibre/fiber) எனப்படும்.

மேலும், குழப்பத்திற்கு வாய்ப்பு இல்லாவிட்டால்,, $f$ ⁻¹[Y] ஐ $f$ ⁻¹(Y) என்று எழுதி, f⁻¹ ஐ $B$ இன் அடுக்குக்கணத்திலிருந்து $A$ இன் அடுக்குக்கணத்திற்குப்போகும் ஒரு சார்பாகக் கொள்ளலாம். $f$ ⁻¹ ஐ நேர்மாறுச் சார்புடன் குழப்பிக் கொள்ளக்கூடாது. $f$ ஒரு இருவழிக் கோப்பாக இருந்தால் தான் இரண்டும் ஒன்றாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

$f\colon$ R $\rightarrow$ R : $f(x)=x^{2}$

f இன் வீச்சு = R⁺ =

\{f(x):0\leq f(x)<\infty \}

= [0,

\infty

)

{-2,3} இன் எதிருரு: f({-2,3}) = {4,9},

{4,9} இன் முன்னுரு : f⁻¹({4,9}) = {-3,-2,2,3}.

$g\colon$ R $\rightarrow$ R : $g(x)=2x$

g இன் வீச்சு, இணையாட்களம், இரண்டுமே R தான்.

$h\colon$ Z $\to$ Z : $h(x)\ :=x^{2}$ (படிமம் பார்க்க)

இச்சார்புக்கு

h(\{0,1,2,3\})=\{0,1,4,9\}\

h(\{-3,-2,-1,0\})=\{0,1,4,9\}\

h(\{-3,-2,-1,0,1,2,3\})=\{0,1,4,9\}\

R(h)=\operatorname {im} h=\{0,1,4,9,16,25,36,49,...\}\

$f:\{1,2,3\}\rightarrow \{a,b,c,d\}$ . வரையறை:

f(x)={\begin{cases}a&{\text{x=1}}\\d&{\text{x=2}}\\c&{\text{x=3}}\end{cases}}

f

வழியாக, {2,3) இன் எதிருரு :f({2,3}) = {d,c},

f

இன் வீச்சு :{

a,d,c

}

{

a,c

} இன் முன்னுரு: f⁻¹({a,c}) = {1,3}.

f: R² → R : வரையறை:f(x, y) = x² + y².

f⁻¹({a})என்ற நார்களை மூன்று விதமாகச் சொல்லவேண்டும்.

a > 0 வாக இருக்குமானால், நார்கள் தொடக்கப்புள்ளியைச்சுற்றி பொதுமையவட்டங்கள்;

a = 0 வாக இருக்குமானால். நார் வெறும் தொடக்கப்புள்ளியைக்கொண்ட ஓருறுப்புக்கணம்;

a < 0 வாக இருக்குமானால், நார்கள் வெற்றுக்கணங்களே.

விளைவுப் பண்புகள்

f: A → B ஒரு சார்பு என்றும் X , Y இரண்டும் A இன் உட்கணங்கள் என்றும் M , N இரண்டும் B இன் உட்கணங்கள் என்றும் கொண்டால்,

$f(\varnothing )=\varnothing$
$f(X\cup Y)=f(X)\cup f(Y)$
$f(X\cap Y)\subseteq f(X)\cap f(Y)$ . இங்கு, $f$ ஒரு உள்ளிடுகோப்பானால், சமன்பாடு உண்மையாகும்.
$X\subseteq Y\Rightarrow f(X)\subseteq f(Y)$
$f$ ஒரு முழுக்கோப்பு $\Longleftrightarrow$ $\operatorname {im} f=B$ .
f⁻¹(M ∪ N) = f⁻¹(M) ∪ f⁻¹(N)
f⁻¹(M ∩ N) = f⁻¹(M) ∩ f⁻¹(N)
f(f⁻¹(M)) ⊆ M
f⁻¹(f(X)) ⊇ X
M ⊆ N $\Rightarrow$ f⁻¹(M) ⊆ f⁻¹(N)
f⁻¹(M^C) = (f⁻¹(M))^C
(f |_X)⁻¹(M) = X ∩ f⁻¹(M).

இரண்டு உட்கணங்களின் ஒன்றிப்பு, வெட்டு இவற்றைப்பற்றிய மேற்படி பண்புகளை, உட்கணங்களின் எந்தக் கூட்டத்திற்கும் உண்மை என்று கொள்ளலாம்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்