Tunay na bilang

Ang isang real number o tunay na bilang ay anumang numerong kabilang sa katipunán ng mga real number, ang R na tumutukoy sa lahat ng numerong maaaring pabigyang-kahulugan gamit ang mga operasyon sa alhebra at hindi lumalabag sa anumang aksiyoma o teorema. Saklaw ng pakahulugan ng mga numerong real ang mga bilang na rasyonal, di-rasyonal at transendental.

Mga katangian

Ayon sa matematikong si George Cantor, ang mga real number ay walang hanggan at di mabilang (uncountably infinite). Ang $\mathbb {R}$ ay itinuturing na sarado sa ilalim ng mga pundamental na operasyong matematikal maliban sa dibisyon.

Ang ilang mga pangunahing katangian ng $\mathbb {R}$ ay nakalista sa ibaba.

$\forall {a,\;b,\;c}\in \mathbb {R}$

Pagsasara

$a+b\in \mathbb {R}$
$a-b\in \mathbb {R}$
$ab\in \mathbb {R}$
${\frac {a}{b}}\in \mathbb {R} ,\forall {b}\neq 0$

Identidad

$a+0=a$
$a\times 1=a$

Pagbabaligtad

Sa adisyon,

$a+(-a)=0$
kung saan ang $-a$ ang tinuturing na elemento ng pagababaligtad.

Sa multiplikasyon,
$a\times {\frac {1}{a}}=1$
kung saan ang ${\frac {1}{a}}\;{\text{o}}\;a^{-1}$ ang itinuturing na baligtad na multiplikatibo o reciprocal ng $a$ .

Pagpapalit

$a+b=b+a$
$ab=ba$

Asosasyon

$(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c$
$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)=abc$

Distribusyon ng Multiplikasyon sa Adisyon

$a\times (b+c)=ab+ac$

Eksponensasyon

$a^{m}\times a^{n}={a}^{m+n}$

Iba Pang Katangian

Ang $\mathbb {R}$ ay masasabing nasa unang dimensiyon. Maaari itong palawakin upang masaklaw ang dimensiyong $n$ sa pamamagitan ng eksponensasyong $\mathbb {R} ^{n}$ . Samakatuwid ang $\mathbb {R} ^{2}$ ay tumutukoy sa katipunán ng mga real numbers sa dalawang dimensiyon, ang $\mathbb {R} ^{3}$ sa tatlo, ad infinitum.
Ang bawat bilang sa $\mathbb {R} ^{n}$ ay binubuo ng $n$ na elemento at isinusulat bilang $(x_{1},x_{2},x_{3},...\;x_{n})$ . Anumang bilang na may elementong kulang o higit sa n ay walang kahulugan sa $\mathbb {R} ^{n}$ .

Mga karagdagang halimbawa:

Ang bawat elemento ng $\mathbb {R} ^{2}$ ay nasa anyong $(x_{1},x_{2})$ . Sa katipunáng ito, ang $(2,0)$ ay iba sa $(0,2)$ at ang mga bilang na $2\;{\text{at}}\;(2,2,2)$ ay walang kahulugan.

Mga Kaganapan sa R

Ang kaganapang $f$ ay nasa $\mathbb {R}$ kung $f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ . Karagdagan pa, $(x,f(x))\in \mathbb {R} ^{2}$ . Hayaan nating ang $X$ ay maging katipunang arbitraryo at hayaan natimg ang ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ denote the set of all functions from $X$ to real numbers $R$ . Because $R$ is a field, ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ is a vector space and a commutative algebra (structure) over reals: