Cаучй–Счwарз тенгсизлиги

Cаучй–Счwарз (о'қилиши: Коши-Шварз) тенгсизлиги (ба'зида Cаучй–Буняковскй–Счwарз (о'қилиши: Коши-Буняковский-Шварз) тенгсизлиги) математикадаги энг муҳим ва кенг қо'лланиладиган тенгсизликлардан бири сифатида қаралади.

Йиг'индилар учун тенгсизлик Аугустин-Лоуис Cаучй томонидан 1821-йилда нашр этилган. Интеграллар учун мос келадиган тенгсизлик Виктор Буняковскй томонидан 1859-йилда ва Ҳерманн Счwарз томонидан 1888-йилда нашр этилган. Счwарз интеграл ко'ринишдаги тенгсизликнинг замонавий исботини келтирган.

Тенгсизлик баёни

Cаучй-Счwарз тенгсизлиги барча ички ко'пайтма аниқланган фазодаги барча $\mathbf {u}$ ва $\mathbf {v}$ векторлар учунАндоза:НумБлктенгсизликнинг о'ринли эканлигини та'кидлайди, бу ерда $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ички ко'пайтма ҳисобланади. Ички ко'пайтмаларга мисоллар ҳақиқий ва комплекс нуқтали ко'пайтмаларни о'з ичига олади. Ички ко'пайтма мавзусидаги мисолларга қаранг. Ҳар бир ички ко'пайтма каноник ёки келтирилган норма деб аталадиган нормани келтириб чиқаради, бу ерда $\mathbf {u}$ векторнинг вектор нормаси қуйидагича белгиланади ва аниқланади:$$\|\mathbf {u} \|:={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}.$$Бу норма ва ички ко'пайтма $\|\mathbf {u} \|^{2}=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle$ аниқловчи шарт билан о'заро бог'ланган бо'либ, бу ерда $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle$ ҳар доим номанфий ҳақиқий сон бо'лади (ҳаттоки ички ко'пайтма комплекс қийматли бо'лса ҳам). Юқоридаги тенгсизликнинг ҳар икки томонининг квадрат илдизини олиб, Cаучй-Счwарз тенгсизлигини унинг кўпроқ таниш бо'лган кўринишида ёзиш мумкин:Андоза:НумБлкБундан ташқари, тенгсизликнинг иккала томони фақат ва фақат $\mathbf {u}$ ва $\mathbf {v}$ лар бир-бирига чизиқли бог'лиқ бо'лсагина бир-бирига тенг бо'лади.

Далиллар

Ихтиёрий вектор фазолар учун

Исбот 1

Прооф оф Андоза:ЭқуатионРеф

Лет $V=\|\mathbf {v} \|^{2}$ анд $c=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$ со тҳат ${\overline {c}}c=|c|^{2}=|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}$ анд ${\overline {c}}={\overline {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle .$ Тҳен $${\begin{alignedat}{4}\left\|\|\mathbf {v} \|^{2}\mathbf {u} -\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \mathbf {v} \right\|^{2}&=\|V\mathbf {u} -c\mathbf {v} \|^{2}=\langle V\mathbf {u} -c\mathbf {v} ,V\mathbf {u} -c\mathbf {v} \rangle &&~{\text{ By definition of the norm }}\\&=\langle V\mathbf {u} ,V\mathbf {u} \rangle -\langle V\mathbf {u} ,c\mathbf {v} \rangle -\langle c\mathbf {v} ,V\mathbf {u} \rangle +\langle c\mathbf {v} ,c\mathbf {v} \rangle &&~{\text{ Expand }}\\&=V^{2}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle -V{\overline {c}}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle -cV\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +c{\overline {c}}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle &&~{\text{ Pull out scalars (note that }}V:=\|\mathbf {v} \|^{2}{\text{ is real) }}\\&=V^{2}\|\mathbf {u} \|^{2}~~-V{\overline {c}}c~~~~~~~~~-cV{\overline {c}}~~~~~~~~~+c{\overline {c}}V&&~{\text{ Use definitions of }}c:=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle {\text{ and }}V\\&=V^{2}\|\mathbf {u} \|^{2}~~-V{\overline {c}}c~=~V\left[V\|\mathbf {u} \|^{2}-{\overline {c}}c\right]&&~{\text{ Simplify }}\\&=\|\mathbf {v} \|^{2}\left[\|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}-\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|^{2}\right]&&~{\text{ Rewrite in terms of }}\mathbf {u} {\text{ and }}\mathbf {v} .\blacksquare \\\end{alignedat}}$$ Тҳис эхпансион доэс нот реқуире $\mathbf {v}$ то бе нон-зеро; ҳоwевер, $\mathbf {v}$ муст бе нон-зеро ин ордер то дивиде ботҳ сидес бй $\|\mathbf {v} \|^{2}$ анд то дедуcе тҳе Cаучй-Счwарз инеқуалитй фром ит. Сwаппинг $\mathbf {u}$ анд $\mathbf {v}$ гивес рисе то: $$\left\|\|\mathbf {u} \|^{2}\mathbf {v} -{\overline {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {u} \right\|^{2}=\|\mathbf {u} \|^{2}\left[\|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}-|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\right]$$ анд тҳус $${\begin{alignedat}{4}\|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}\left[\|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}-\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|^{2}\right]&=\|\mathbf {u} \|^{2}\left\|\|\mathbf {v} \|^{2}\mathbf {u} -\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \mathbf {v} \right\|^{2}\\&=\|\mathbf {v} \|^{2}\left\|\|\mathbf {u} \|^{2}\mathbf {v} -{\overline {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {u} \right\|^{2}.\\\end{alignedat}}$$

Манбалар

• Алдаз, Ж. М.; Барза, С.; Фужии, М.; Мослеҳиан, М. С. (2015), „Адванcес ин Оператор Cаучй—Счwарз инеқуалитиэс анд тҳеир реверсес“, Анналс оф Фунcтионал Аналйсис, 6 (3): 275–295, дои:10.15352/афа/06-3-20
• Буняковскй, Виктор (1859), „Сур қуэлқуэс инегалитéс cонcернант лес интéгралес аух диффéренcес финиэс“ (ПДФ), Мем. Аcад. Сcи. Ст. Петерсбоург, 7 (1): 6
• Cаучй, А.-Л. (1821), „Сур лес формулес қуи рéсултент де л'эмплоиэ ду сигне эт сур > оу <, эт сур лес моеннес энтре плусиэурс қуантитéс“, Cоурс д'Аналйсе, 1эр Партиэ: Аналйсе Алгéбриқуэ 1821; ОЭуврес Сер.2 ИИИ 373-377
• Драгомир, С. С. (2003), „А сурвей он Cаучй–Буняковскй–Счwарз тйпе дисcрете инеқуалитиэс“, Жоурнал оф Инеқуалитиэс ин Пуре анд Апплиэд Матҳематиcс, 4 (3): 142 пп, 2008-07-20да асл нусхадан архивланди, қаралди: 2022-06-19 {{cитатион}}: Море тҳан оне оф |арчиведате= ва |арчиве-дате= спеcифиэд (ёрдам); Море тҳан оне оф |арчивеурл= ва |арчиве-урл= спеcифиэд (ёрдам)
• Гриншпан, А. З. (2005), „Генерал инеқуалитиэс, cонсеқуэнcес, анд апплиcатионс“, Адванcес ин Апплиэд Матҳематиcс, 34 (1): 71–100, дои:10.1016/ж.аам.2004.05.001
• Андоза:Ҳалмос А Ҳилберт Спаcе Проблем Боок 1982
• Кадисон, Р. В. (1952), „А генерализед Счwарз инеқуалитй анд алгебраиc инварианц фор оператор алгебрас“, Анналс оф Матҳематиcс, 56 (3): 494–503, дои:10.2307/1969657, ЖСТОР 1969657.
• Лоҳwатер, Артҳур (1982), Интродуcтион то Инеқуалитиэс, Онлине э-боок ин ПДФ формат
• Паулсен, В. (2003), Cомплетелй Боундед Мапс анд Оператор Алгебрас, Cамбридге Университй Пресс.
• Счwарз, Ҳ. А. (1888), „Üбер эин Флäчен клеинстен Флäченинҳалц бетреффендес Проблем дер Вариатионсречнунг“ (ПДФ), Аcта Соcиэтатис Сcиэнтиарум Фенниcаэ, ХВ: 318
• Андоза:Спрингер
• Стеэле, Ж. М. (2004), Тҳе Cаучй–Счwарз Мастер Cласс, Cамбридге Университй Пресс, ИСБН 0-521-54677-Х