Uch jism muammosi

Turli tomonli uchburchakning uchlarida joylashgan va boshlangʻich tezligi nolga teng boʻlgan uchta bir xil jismning taxminiy traektoriyalari. Koʻrinib turibdiki, massa markazi impulsning saqlanish qonuniga muvofiq, oʻz joyida qoladi.

Fizika va klassik mexanikada uch jism muammosi uch nuqtali massalarning boshlangʻich pozitsiyalari va tezliklarini (yoki momentlarini) olish va ularning keyingi harakatini Nyutonning harakat qonunlari va Nyutonning butun dunyo tortishish qonuniga muvofiq hal qilish masalasidir^[1]. Uch tana muammosi — tana muammosining alohida holatidir. Ikki tanali masalalardan farqli oʻlaroq, umumiy yopiq shakldagi yechim mavjud emas ^[1], chunki natijada paydo boʻlgan dinamik tizim koʻpchilik boshlangʻich sharoitlar uchun xaotikdir va odatda raqamli usullar talab qilinadi.

Tarixiy jihatdan, kengaytirilgan oʻrganish uchun birinchi maxsus uch tana muammosi Oy, Yer va Quyoshni oʻz ichiga olgan muammo edi^[2]. Kengaytirilgan zamonaviy maʼnoda uch jismli muammo klassik mexanika yoki kvant mexanikasidagi uchta zarrachaning harakatini modellashtiradigan har qanday muammodir.

Matematik tavsifi

Uch jismli masalaning matematik bayoni vektor pozitsiyalari uchun Nyuton harakat tenglamalari nuqtai nazaridan berilishi mumkin. $\mathbf {r_{i}} =(x_{i},y_{i},z_{i})$ massalari bilan gravitatsiyaviy taʼsir qiluvchi uchta jism $m_{i}$ :

{\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {1} }&=-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {2} }&=-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {3} }&=-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}.\end{aligned}}

bu yerda $G$ tortishish doimiysi hisoblanadi^[3] ^[4]. Bu toʻqqizta ikkinchi darajali differentsial tenglamalar toʻplamidir. Muammoni Gamilton formalizmida ham ekvivalent tarzda ifodalash mumkin, bu holda u pozitsiyalarning har bir komponenti uchun bittadan boʻlgan 18 ta birinchi tartibli differensial tenglamalar toʻplami bilan tavsiflanadi. $\mathbf {r_{i}}$ va momenta $\mathbf {p_{i}}$ :

{\frac {d\mathbf {r_{i}} }{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p_{i}} }},\qquad {\frac {d\mathbf {p_{i}} }{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }},

bu yerda ${\mathcal {H}}$ Gamiltonian :

{\mathcal {H}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{2}m_{3}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{3}m_{1}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |}}+{\frac {\mathbf {p_{1}} ^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\mathbf {p_{2}} ^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {\mathbf {p_{3}} ^{2}}{2m_{3}}}.

Ushbu holatda ${\mathcal {H}}$ oddiygina tizimning umumiy energiyasi, tortishish va kinetik.

Cheklangan uch tana muammosi

Cheklangan uch jismli muammoda arzimas massali jism („planetoid“) ikkita massiv jismning taʼsiri ostida harakat qiladi. Arzimas massaga ega boʻlgan holda, planetoidning ikkita massiv jismga taʼsir qiladigan kuchini eʼtiborsiz qoldirish mumkin va tizimni tahlil qilish va shuning uchun ikki jismli harakat nuqtai nazaridan tasvirlash mumkin. Odatda bu ikki jismli harakat massa markazi atrofida aylana orbitalardan iborat deb qabul qilinadi va planetoid dumaloq orbitalar bilan belgilangan tekislikda harakat qiladi deb taxmin qilinadi.

Cheklangan uch tanali muammoni nazariy jihatdan tahlil qilish toʻliq muammodan koʻra osonroqdir. Bu amaliy qiziqish uygʻotadi, chunki u koʻplab real muammolarni aniq tasvirlaydi, eng muhim misol Yer-Oy-Quyosh tizimidir. Shu sabablarga koʻra, u uch tana muammosining tarixiy rivojlanishida muhim rol oʻynadi.

Matematik jihatdan muammo quyidagicha ifodalanadi. Mayli $m_{1,2}$ (tekislik) koordinatali ikkita massiv jismning massalari boʻlsin $(x_{1},y_{1})$ va $(x_{2},y_{2})$ , va ruxsat bering $(x,y)$ planetoidning koordinatalari boʻlsin. Oddiylik uchun ikkita massiv jism orasidagi masofa va tortishish doimiysi ikkalasi $1$ ga teng boʻladigan birliklarni tanlanadi. Keyin, planetoidning harakati bilan beriladi

{\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {x-x_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {x-x_{2}}{r_{2}^{3}}},\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {y-y_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {y-y_{2}}{r_{2}^{3}}},\end{aligned}}

bu yerda $r_{i}={\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}$ . Ushbu shaklda harakat tenglamalari koordinatalar orqali aniq vaqtga bogʻliqlikni olib boradi $x_{i}(t),y_{i}(t)$ . Biroq, bu vaqtga bogʻliqlikni aylanadigan mos yozuvlar tizimiga aylantirish orqali olib tashlash mumkin, bu esa har qanday keyingi tahlilni soddalashtiradi.

Yechimlari

Umumiy yechimi

Gravitatsiyaviy oʻzaro taʼsir qiluvchi 3 ta jismdan iborat tizim xaotik boʻlsa-da, elastik tarzda oʻzaro taʼsir qiluvchi 3 ta jismdan iborat sistema xaotik emas.

Uch tanali masalaning umumiy yopiq shakldagi yechimi yoʻq, yaʼni chekli sonli standart matematik amallar bilan ifodalanadigan umumiy yechim yoʻq. Bundan tashqari, uchta jismning harakati odatda takrorlanmaydi, maxsus holatlar bundan mustasno^[5].

Biroq, 1912 yilda Finlandiya matematigi Karl Fritiof Sundman $t 1/3$ kuchlari boʻyicha darajalar qatori koʻrinishidagi uch tanali muammoning analitik yechimi mavjudligini isbotladi^[6]. Bu qator nol burchak momentumiga mos keladigan boshlangʻich shartlar bundan mustasno, barcha haqiqiy $t$ uchun birlashadi. Amalda, oxirgi cheklov ahamiyatsiz, chunki nol burchak momentiga ega boʻlgan dastlabki shartlar kamdan-kam uchraydi, Lebesg oʻlchovi nolga teng.

Bu natijani isbotlashda muhim masala shundaki, bu qator uchun yaqinlashish radiusi eng yaqin singulyarlikgacha boʻlgan masofa bilan belgilanadi. Shuning uchun uch tanali masalalarning mumkin boʻlgan yagonaligini oʻrganish kerak. Quyida qisqacha muhokama qilinganidek, uch jismli muammoning yagona oʻziga xosligi ikkilik toʻqnashuvlar (bir lahzada ikkita zarracha oʻrtasidagi toʻqnashuv) va uch marta toʻqnashuv (bir lahzada uchta zarracha oʻrtasidagi toʻqnashuv).

Toʻqnashuvlar ikkilik yoki uchlik (aslida har qanday raqam) boʻlsin, bir oz ehtimoldan yiroq emas, chunki ular nol oʻlchovining boshlangʻich shartlari toʻplamiga mos kelishi koʻrsatilgan. Biroq, mos keladigan yechim uchun toʻqnashuvlarni oldini olish uchun dastlabki holatga qoʻyiladigan hech qanday mezon yoʻq. Shunday qilib, Sundmanning strategiyasi quyidagi bosqichlardan iborat edi:

Regulyatsiya deb nomlanuvchi jarayonda ikkilik toʻqnashuvdan tashqari yechimni tahlil qilishni davom ettirish uchun oʻzgaruvchilarning tegishli oʻzgarishidan foydalanish.
Uch marta toʻqnashuvlar faqat burchak momenti $L$ yoʻqolganda sodir boʻlishini isbotlash. Dastlabki maʼlumotlarni $L \neq 0$ ga cheklab, u uch tanali muammo uchun oʻzgartirilgan tenglamalardan barcha haqiqiy yagonaliklarni olib tashladi.
Agar $L \neq 0$ boʻlsa, u holda nafaqat uch karra toʻqnashuv boʻlishi mumkin emas, balki tizim uch karra toʻqnashuvdan qatʼiy chegaralanganligini koʻrsatadi. Bu shuni anglatadiki, differensial tenglamalar uchun Koshining mavjudlik teoremasidan foydalanib, haqiqiy oʻq (Kovalevskaya soyalari) atrofida joylashgan kompleks tekislikdagi chiziqda ( $L$ qiymatiga bogʻliq holda) murakkab birliklar mavjud emas.
Ushbu chiziqni birlik diskiga tushiradigan konformal transformatsiyani toping. Misol uchun, agar $s = t 1/3$ (regulyatsiyadan keyingi yangi oʻzgaruvchi) va agar |lns| ≤ β, keyin bu xarita tomonidan berilgan $\sigma ={\frac {e^{\frac {\pi s}{2\beta }}-1}{e^{\frac {\pi s}{2\beta }}+1}}.$

Bu Sundman teoremasining isbotini tugatadi.

Biroq, mos keladigan seriyalar juda sekin yaqinlashadi. Yaʼni, maʼnoli aniqlik qiymatini olish uchun juda koʻp atamalar talab qilinadi, bu yechim juda kam amaliy ahamiyatga ega. Darhaqiqat, 1930 yilda Devid Beloriski hisoblab chiqdiki, agar Sundman seriyasi astronomik kuzatishlar uchun ishlatilsa, hisob-kitoblar kamida 10 ^{7006800000000000000♠8000000} atamani oʻz ichiga oladi^[7].

Maxsus holatlar uchun echimlar

1767 yilda Leonhard Eyler davriy eritmalarning uchta turkumini topdi, ularda uchta massa har bir lahzada kollinear boʻladi. Eylerning uch tana muammosiga qarang.

1772 yilda Lagrange yechimlar oilasini topdi, unda uchta massa har bir lahzada teng qirrali uchburchak hosil qiladi. Eylerning kollinear yechimlari bilan birgalikda bu yechimlar uch jismli muammoning markaziy konfiguratsiyasini tashkil qiladi. Ushbu yechimlar har qanday massa nisbati uchun amal qiladi va massalar Kepler ellipslari boʻylab harakatlanadi. Ushbu toʻrtta oila aniq analitik formulalar mavjud boʻlgan yagona maʼlum echimlardir. Dumaloq cheklangan uch tanali muammoning maxsus holatida, birlamchi nuqtalar bilan aylanadigan ramkada koʻrib chiqilgan bu yechimlar L₁, L₂, L₃, L₄ va L₅ deb ataladigan nuqtalarga aylanadi va Lagranj nuqtalari deb ataladi., L₄ va L₅ bilan Lagranj yechimining simmetrik misollari.

1892-1899 yillarda umumlashtirilgan ishida Anri Puankare cheklangan uch tanali muammoning cheksiz koʻp davriy yechimlari mavjudligini va ushbu echimlarni umumiy uch tanali muammoga aylantirish usullarini aniqladi.

1893 yilda Meissel Pifagorning uch jismli muammosi deb ataladigan narsani aytdi: 3:4:5 nisbatda uchta massa 3:4:5 oʻlchamdagi toʻgʻri burchakli uchburchakning uchlarida tinch holatda joylashgan. Burrau ^[8] bu muammoni 1913 yilda qoʻshimcha ravishda oʻrganib chiqdi. 1967 yilda Viktor Szebeheli va C. Frederik Peters raqamli integratsiyadan foydalangan holda ushbu muammoni hal qilishning yakuniy yoʻllarini oʻrnatdilar va shu bilan birga yaqin davriy yechim topdilar^[9].

1970-yillarda Mishel Xenon va Rojer A. Broukning har biri bir xil yechimlar oilasining bir qismini tashkil etuvchi yechimlar toʻplamini topdilar: Brouk-Xenon-Xadjidemetriu oilasi. Ushbu oilada uchta ob’ektning barchasi bir xil massaga ega va retrograd va toʻgʻridan-toʻgʻri shakllarni namoyish qilishi mumkin. Broukning baʼzi yechimlarida ikkita jism bir xil yoʻldan boradi^[11].

1993-yilda Santa-Fe institutida fizik Kris Mur tomonidan 1993-yilda uchta teng massali sakkizta shakl atrofida harakatlanadigan nolga teng burchak momentum eritmasi aniqlangan^[12]. Uning rasmiy mavjudligi keyinchalik 2000 yilda matematiklar Alen Chenciner va Richard Montgomery tomonidan isbotlangan^[13] ^[14] Eritma massa va orbital parametrlarning kichik buzilishlari uchun barqaror ekanligi koʻrsatilgan, bu esa bunday orbitalarni fizik koinotda kuzatish imkonini beradi. Biroq, barqarorlik doirasi kichik boʻlgani sababli, bu hodisaning mumkin emasligi taʼkidlangan. Masalan, ikkilik-ikkilik tarqalish hodisasining ehtimoli natijada raqam-8 orbitasi foizning kichik bir qismi sifatida baholandi^[15].

2013-yilda Belgraddagi Fizika instituti fiziklari Milovan Šuvakov va Velko Dmitrashinovich teng massali nol burchakli momentli uch jism muammosi yechimlarining 13 ta yangi oilasini topdilar.

2015-yilda fizik Ana Hudomal teng massali nol burchakli impulsli uch jism muammosi uchun 14 ta yangi yechimlar turkumini topdi^[16].

2017 yilda tadqiqotchilar Xiaoming Li va Shijun Liao teng massali nol burchakli impulsli uch jism muammosining 669 ta yangi davriy orbitalarini topdilar^[17]. Buning ortidan 2018 yilda teng boʻlmagan massalarning nol burchakli impuls tizimi uchun qoʻshimcha 1223 ta yangi yechim paydo boʻldi^[18].

2018 yilda Li va Liao teng boʻlmagan massali „erkin tushish“ uchta tana muammosiga 234 ta yechim haqida xabar berishdi^[19]. Uchta jism muammosining erkin yiqilish formulasi barcha uch jism dam olishdan boshlanadi. Shu sababli, erkin tushish konfiguratsiyasidagi massalar yopiq „halqa“ boʻylab aylanmaydi, balki ochiq „iz“ boʻylab oldinga va orqaga harakat qiladi.

Raqamli yondashuvlar

Kompyuterdan foydalanib, muammoni raqamli integratsiya yordamida oʻzboshimchalik bilan yuqori aniqlik bilan hal qilish mumkin, ammo yuqori aniqlik uchun katta miqdordagi CPU vaqtini talab qiladi. Elektromagnit va tortishish oʻzaro taʼsirini oʻz ichiga olgan uch tana muammosini (va kengaytmasi, n-tana muammosini) raqamli hal qiladigan va maxsus nisbiylik kabi zamonaviy fizika nazariyalarini oʻz ichiga olgan kompyuter dasturlarini yaratishga urinishlar mavjud^[20]. Bundan tashqari, tasodifiy yurishlar nazariyasidan foydalanib, turli natijalarning taxminiy ehtimolini hisoblash mumkin^[21] ^[22].

Tarixi

Anʼanaviy maʼnoda uchta jismning tortishish muammosi 1687 yilda Isaak Nyuton oʻzining "Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica" asarini nashr etganida, Nyuton uzoq muddatli barqarorlik mumkinmi yoki yoʻqligini aniqlashga harakat qilgan paytda, xususan, bizning Yerimiz, Oy tizimi bilan bogʻliq., va Quyosh. U Uygʻonish davrining yirik astronomlari Nikolay Kopernik, Tyxo Brahe va Yoxannes Kepler qoʻl ostida gravitatsiyaviy uch jism muammosining boshlanishiga rahbarlik qilgan^[23]. Prinsipiyaning 1-kitobining 66-taklifida va uning 22 ta xulosasida Nyuton uchta massiv jismning bir-birini bezovta qiluvchi tortishish kuchiga bogʻliq boʻlgan harakati muammosini aniqlash va oʻrganishda birinchi qadamlarni qoʻydi. 3-kitobning 25 dan 35 gacha boʻlgan takliflarida Nyuton, shuningdek, 66-taklif natijalarini Oy nazariyasiga, Yer va Quyoshning tortishish taʼsiri ostida Oyning harakatiga tatbiq etishda birinchi qadamlarni qoʻydi^[24]. Keyinchalik bu muammo boshqa sayyoralarning Yer va Quyosh bilan oʻzaro taʼsirida ham qoʻllandi^[23].

Jismoniy muammoni birinchi boʻlib Amerigo Vespuchchi, keyin esa Galileo Galiley, shuningdek, Simon Stevin koʻrib chiqdi, ammo ular nima hissa qoʻshganini tushunmadilar. Galiley barcha jismlarning yiqilish tezligi bir xil va bir xil tarzda oʻzgarishini aniqlagan boʻlsa-da, uni sayyoralar harakatlariga qoʻllamagan^[23]. 1499 yilda Vespuchchi Braziliyadagi oʻrnini aniqlash uchun Oyning holati haqidagi bilimlaridan foydalangan^[25]. Bu 1720-yillarda texnik ahamiyatga ega boʻldi, chunki aniq yechim navigatsiyada qoʻllanishi mumkin edi, ayniqsa dengizda uzunlikni aniqlash uchun, amalda Jon Xarrisonning dengiz xronometrini ixtiro qilish orqali hal qilindi. Biroq, Oy nazariyasining aniqligi Quyosh va sayyoralarning Oyning Yer atrofidagi harakatiga bezovta qiluvchi taʼsiri tufayli past edi.

Uzoq muddatli raqobatni rivojlantirgan Jan le Rond d’Alember va Aleksis Kler muammoni qandaydir umumiylik darajasida tahlil qilishga harakat qildilar; ular 1747 yilda Fanlar Akademiyasi Royale des Fansga oʻzlarining raqobatbardosh birinchi tahlillarini taqdim etishdi^[26]. 1740-yillarda Parijda olib borilgan tadqiqotlari tufayli „uch tana muammosi“ nomi paydo boʻldi (fransuzcha: Problème des trois Corps) keng foydalanila boshlandi. Jan le Rond d’Alember tomonidan 1761 yilda nashr etilgan hisobda bu nom birinchi marta 1747 yilda ishlatilganligini koʻrsatadi ^[27].

19-asrning oxiridan 20-asrning boshlariga qadar, PF Bedaque, H.-V.ni taklif qilgan olimlar tomonidan qisqa masofali jozibali ikki tanali kuchlardan foydalangan holda uch tana muammosini hal qilish yondashuvi ishlab chiqilgan. Hammer va U. van Kolk qisqa masofali uch tana muammosini qayta normallashtirish gʻoyasini ishlab chiqdilar, bu olimlarga 21-asr boshidagi renormalizatsiya guruhining chegara tsiklining noyob namunasini taqdim etdi^[28]. Jorj Uilyam Xill 19-asr oxirida Venera va Merkuriyning harakatini qoʻllash orqali cheklangan muammo ustida ishladi^[29].

20-asrning boshlarida Karl Sundman vaqtning barcha qiymatlari uchun amal qiladigan masalaga funktsiya nazariy isbotini taqdim etish orqali muammoga matematik va tizimli yondashdi. Bu olimlar birinchi marta nazariy jihatdan uch tana muammosini hal qilishdi. Biroq, bu tizimning sifatli yechimi yetarli boʻlmagani va olimlar uni amalda qoʻllashlari juda sekin boʻlgani sababli, bu yechim haligacha baʼzi masalalarni yechilmay qoldi^[30]. Oʻtgan asrning 70-yillarida V. Efimov tomonidan ikki tanali kuchlarning uch tanaga taʼsiri aniqlangan va u Efimov effekti deb nomlangan^[31].

2017-yilda Shijun Liao va Xiaoming Li tartibsiz tizimlar uchun raqamli simulyatsiyaning yangi strategiyasini milliy superkompyuterdan foydalangan holda toza raqamli simulyatsiya (CNS) yordamida uch jismli tizimning davriy yechimlarining 695 oilasini teng massasini muvaffaqiyatli qoʻlga kiritdilar.^[32].

2019 yilda Breen va boshqalar. raqamli integrator yordamida oʻqitilgan uch tanali muammo uchun tezkor neyron tarmoq hal qiluvchi eʼlon qildi^[33].

Uch jism bilan bogʻliq boshqa muammolar

"Uch jism muammosi" atamasi baʼzan umumiy maʼnoda uchta jismning oʻzaro taʼsirini oʻz ichiga olgan har qanday jismoniy muammoga nisbatan qoʻllanadi.

Klassik va kvant mexanikasida, teskari kvadrat kuchdan tashqari, aniq analitik uch tanali yechimlarga olib keladigan noanʼanaviy oʻzaro taʼsir qonunlari mavjud. Bunday modellardan biri garmonik tortishish va itaruvchi teskari kub kuchining kombinatsiyasidan iborat^[34]. Ushbu model notrivial deb hisoblanadi, chunki u oʻz ichiga oʻziga xosliklarni oʻz ichiga olgan chiziqli boʻlmagan differentsial tenglamalar toʻplami bilan bogʻliq (masalan, chiziqli differensial tenglamalarning oson yechiladigan tizimini keltirib chiqaradigan harmonik oʻzaro taʼsirlar bilan solishtirganda). Bu ikki jihatdan u Coulomb oʻzaro taʼsiriga ega (erimaydigan) modellarga oʻxshaydi va natijada geliy atomi kabi jismoniy tizimlarni intuitiv tushunish uchun vosita sifatida taklif qilingan^[34] ^[35].

Nuqtali vorteks modeli doirasida ikki oʻlchovli ideal suyuqlikdagi girdoblarning harakati faqat birinchi tartibli vaqt hosilalarini oʻz ichiga olgan harakat tenglamalari bilan tavsiflanadi. Yaʼni Nyuton mexanikasidan farqli oʻlaroq, ularning nisbiy pozitsiyalari bilan tezlanish emas, balki tezlik aniqlanadi. Natijada, uch vorteks muammosi hali ham integral boʻlib qolmoqda ^[36], xaotik xatti-harakatni olish uchun kamida toʻrtta vorteks kerak^[37]. Passiv kuzatuvchi zarrachaning uchta vorteksning tezlik maydonidagi harakati va Nyuton mexanikasining cheklangan uch jismli muammosi oʻrtasida parallellik oʻtkazish mumkin^[38].

Uch jismli tortishish muammosi ham umumiy nisbiylik nazariyasi yordamida oʻrganilgan. Jismoniy jihatdan, juda kuchli tortishish maydonlari boʻlgan tizimlarda, masalan, qora tuynukning hodisa gorizonti yaqinida relativistik davolash zarur boʻladi. Biroq, relyativistik muammo Nyuton mexanikasiga qaraganda ancha qiyin va murakkab raqamli texnikalar talab qilinadi. Hatto toʻliq ikki tana muammosi (yaʼni massalarning ixtiyoriy nisbati uchun) umumiy nisbiylik nazariyasida qatʼiy analitik yechimga ega emas^[39].

$n$ ta jism masalasi

Uch jism muammosi n-jism muammosining alohida holati boʻlib, u $n$ jismning tortishish kabi jismoniy kuchlardan biri ostida qanday harakatlanishini tavsiflaydi. Karl F. Sundman tomonidan $n = 3$ uchun va Qiudong Vang tomonidan $n > 3$ uchun isbotlanganidek, bu muammolar konvergent quvvat qatori koʻrinishidagi global analitik yechimga ega (batafsil maʼlumot uchun n-jism muammosiga qarang). Biroq, Sundman va Vang seriyalari shunchalik sekin birlashadiki, ular amaliy maqsadlar uchun foydasizdir^[40]; shuning uchun hozirgi vaqtda raqamli integratsiya yoki baʼzi hollarda klassik trigonometrik qatorlar yaqinlashuvi koʻrinishidagi raqamli tahlil orqali yechimlarni taxminiy aniqlash kerak (qarang :n-tana simulyatsiyasi). Atom tizimlari, masalan, atomlar, ionlar va molekulalar kvant $n$ -tana muammosi nuqtai nazaridan koʻrib chiqilishi mumkin. Klassik fizik tizimlar orasida $n$ -tana muammosi odatda galaktika yoki galaktikalar klasteriga ishora qiladi; yulduzlar, sayyoralar va ularning sunʼiy yoʻldoshlari kabi sayyora tizimlarini ham $n$ — tana tizimlari sifatida koʻrib chiqish mumkin. Baʼzi ilovalar tebranish nazariyasi bilan qulay tarzda koʻrib chiqiladi, bunda tizim ikki tanali muammo va gipotetik bezovtalanmagan ikki tanali trayektoriyadan chetga chiqishga olib keladigan qoʻshimcha kuchlar sifatida qaraladi.

Zamonaviy qarashda

1951 yilgi klassik ilmiy-fantastik filmda "Yer tik turgan kun" filmida musofir Klaatu janob duradgor taxallusidan foydalanib, prof. Barnhardtning doskasi. Bu tenglamalar uch tanali muammoning muayyan shaklining aniq tavsifidir.

Xitoylik yozuvchi Lyu Tsisinning "Yerning oʻtmishini eslash" trilogiyasining birinchi jildi "Uch jism muammosi" deb nomlanadi va markaziy syujet qurilmasi sifatida uch jism muammosini aks ettiradi^[41].

Manbalar

↑ ^1,0 ^1,1 Barrow-Green, June (2008). "The Three-Body Problem". in Gowers. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. 726–728 b.
↑ „Historical Notes: Three-Body Problem“. Qaraldi: 2017-yil 19-iyul.
↑ Barrow-Green, June. Poincaré and the Three Body Problem. American Mathematical Society, 1997 — 8–12-bet. ISBN 978-0-8218-0367-7.
↑ „The Three-Body Problem“.
↑ Cartwright, Jon (8 March 2013). "Physicists Discover a Whopping 13 New Solutions to Three-Body Problem". Science Now. https://www.science.org/content/article/physicists-discover-whopping-13-new-solutions-three-body-problem. Qaraldi: 2013-04-04. Uch jism muammosi]]
↑ Barrow-Green, J. (2010). The dramatic episode of Sundman, Historia Mathematica 37, pp. 164-203.
↑ Beloriszky, D. (1930). "Application pratique des méthodes de M. Sundman à un cas particulier du problème des trois corps". Bulletin Astronomique. Série 2 6: 417–434.
↑ Burrau (1913). "Numerische Berechnung eines Spezialfalles des Dreikörperproblems". Astronomische Nachrichten 195 (6): 113–118. doi:10.1002/asna.19131950602. https://zenodo.org/record/1424886.
↑ Victor Szebehely; C. Frederick Peters (1967). "Complete Solution of a General Problem of Three Bodies". Astronomical Journal 72: 876. doi:10.1086/110355.
↑ Here the gravitational constant G has been set to 1, and the initial conditions are r₁(0) = -r₃(0) = (-0.97000436, 0.24308753); r₂(0) = (0,0); v₁(0) = v₃(0) = (0.4662036850, 0.4323657300); v₂(0) = (-0.93240737, −0.86473146). The values are obtained from Chenciner & Montgomery (2000).
↑ Šuvakov, M. „Three-body Gallery“. Qaraldi: 2015-yil 12-avgust.
↑ Moore, Cristopher (1993). "Braids in classical dynamics". Physical Review Letters 70 (24): 3675–3679. doi:10.1103/PhysRevLett.70.3675. PMID 10053934. Archived from the original on 2018-10-08. https://web.archive.org/web/20181008213647/http://tuvalu.santafe.edu/~moore/braids-prl.pdf. Qaraldi: 2016-01-01. Uch jism muammosi]]
↑ Chenciner, Alain; Montgomery, Richard (2000). "A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses". Annals of Mathematics. Second Series 152 (3): 881–902. doi:10.2307/2661357. https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2000-11_152_3/page/881.
↑ Montgomery, Richard (2001). "A new solution to the three-body problem". Notices of the American Mathematical Society 48: 471–481. https://www.ams.org/notices/200105/fea-montgomery.pdf.
↑ Heggie, Douglas C. (2000). "A new outcome of binary–binary scattering". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 318 (4): L61–L63. doi:10.1046/j.1365-8711.2000.04027.x.
↑ Hudomal, Ana (October 2015). "New periodic solutions to the three-body problem and gravitational waves". Master of Science Thesis at the Faculty of Physics, Belgrade University. http://www.scl.rs/theses/msc_ahudomal.pdf. Qaraldi: 5 February 2019. Uch jism muammosi]]
↑ Li, Xiaoming; Liao, Shijun (December 2017). "More than six hundreds new families of Newtonian periodic planar collisionless three-body orbits". Science China Physics, Mechanics & Astronomy 60 (12): 129511. doi:10.1007/s11433-017-9078-5. ISSN 1674-7348.
↑ Li, Xiaoming; Jing, Yipeng; Liao, Shijun (August 2018). "The 1223 new periodic orbits of planar three-body problem with unequal mass and zero angular momentum". Publications of the Astronomical Society of Japan 70 (4). doi:10.1093/pasj/psy057.
↑ Li, Xiaoming; Liao, Shijun (2019). "Collisionless periodic orbits in the free-fall three-body problem". New Astronomy 70: 22–26. doi:10.1016/j.newast.2019.01.003.
↑ „3body simulator“ (en). 3body simulator. 2022-yil 17-noyabrda asl nusxadan arxivlangan. Qaraldi: 2022-yil 17-noyabr.
↑ Technion. „A Centuries-Old Physics Mystery? Solved“. SciTechDaily. SciTech (2021-yil 6-oktyabr). Qaraldi: 2021-yil 12-oktyabr.
↑ Ginat, Yonadav Barry; Perets, Hagai B. (23 July 2021). "Analytical, Statistical Approximate Solution of Dissipative and Nondissipative Binary-Single Stellar Encounters". Physical Review 11 (3): 031020. doi:10.1103/PhysRevX.11.031020. https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.11.031020. Qaraldi: 12 October 2021. Uch jism muammosi]]
↑ ^23,0 ^23,1 ^23,2 Valtonen, Mauri. The Three-body Problem from Pythagoras to Hawking. Springer, 3 May 2016. ISBN 978-3-319-22726-9. OCLC 1171227640.
↑ Newton, Isaac. Philosophiæ naturalis principia mathematica. London: G. & J. Innys, 1726. DOI:10.14711/spcol/b706487. Qaraldi: 2022-yil 5-oktyabr.
↑ „Amerigo Vespucci“ (en-us). Biography (2021-yil 23-iyun). Qaraldi: 2022-yil 5-oktyabr.
↑ The 1747 memoirs of both parties can be read in the volume of Histoires (including Mémoires) of the Académie Royale des Sciences for 1745 (belatedly published in Paris in 1749) (in French):
↑ Jean le Rond d'Alembert, in a paper of 1761 reviewing the mathematical history of the problem, mentions that Euler had given a method for integrating a certain differential equation „in 1740 (seven years before there was question of the Problem of Three Bodies)“: see d’Alembert, „Opuscules Mathématiques“, vol. 2, Paris 1761, Quatorzième Mémoire („Réflexions sur le Problème des trois Corps, avec de Nouvelles Tables de la Lune …“) pp. 329-312, at sec. VI, p. 245.
↑ Mohr, R.F.; Furnstahl, R.J.; Hammer, H.-W.; Perry, R.J.; Wilson, K.G. (January 2006). "Precise numerical results for limit cycles in the quantum three-body problem". Annals of Physics 321 (1): 225–259. doi:10.1016/j.aop.2005.10.002. ISSN 0003-4916.
↑ „Coplanar Motion of Two Planets, One Having a Zero Mass“. Annals of Mathematics, Vol. III, pp. 65-73, 1887.
↑ Barrow-Green, June. Poincaré and the Three Body Problem, History of Mathematics. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1996-10-29. DOI:10.1090/hmath/011. ISBN 978-0-8218-0367-7.
↑ Efimov, V. (1970-12-21). "Energy levels arising from resonant two-body forces in a three-body system" (en). Physics Letters B 33 (8): 563–564. doi:10.1016/0370-2693(70)90349-7. ISSN 0370-2693.
↑ Liao, Shijun; Li, Xiaoming (2019-11-01). "On the periodic solutions of the three-body problem" (en). National Science Review 6 (6): 1070–1071. doi:10.1093/nsr/nwz102. ISSN 2095-5138. PMID 34691975. PMC 8291409. https://academic.oup.com/nsr/article/6/6/1070/5537324.
↑ Breen, Philip G.; Foley, Christopher N.; Boekholt, Tjarda; Portegies Zwart, Simon (2020). "Newton versus the machine: Solving the chaotic three-body problem using deep neural networks". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 494 (2): 2465–2470. doi:10.1093/mnras/staa713.
↑ ^34,0 ^34,1 Crandall, R.; Whitnell, R.; Bettega, R. (1984). "Exactly soluble two-electron atomic model". American Journal of Physics 52 (5): 438–442. doi:10.1119/1.13650.
↑ Calogero, F. (1969). "Solution of a Three-Body Problem in One Dimension". Journal of Mathematical Physics 10 (12): 2191–2196. doi:10.1063/1.1664820.
↑ Aref, Hassan (1979-03-01). "Motion of three vortices". The Physics of Fluids 22 (3): 393–400. doi:10.1063/1.862605. ISSN 0031-9171. https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.862605.
↑ Aref, Hassan; Pomphrey, Neil (1980-08-18). "Integrable and chaotic motions of four vortices" (en). Physics Letters A 78 (4): 297–300. doi:10.1016/0375-9601(80)90375-8. ISSN 0375-9601.
↑ Neufeld, Z; Tél, T (1997-03-21). "The vortex dynamics analogue of the restricted three-body problem: advection in the field of three identical point vortices". Journal of Physics A: Mathematical and General 30 (6): 2263–2280. doi:10.1088/0305-4470/30/6/043. ISSN 0305-4470. https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/30/6/043.
↑ Musielak, Z. E.; Quarles, B. (2014). "The three-body problem". Reports on Progress in Physics 77 (6): 065901. doi:10.1088/0034-4885/77/6/065901. ISSN 0034-4885. PMID 24913140.
↑ Florin Diacu. „The Solution of the n-body Problem“ (Wayback Machine saytida 2016-03-04 sanasida arxivlangan), The Mathematical Intelligencer, 1996.
↑ Qin. „In a Topsy-Turvy World, China Warms to Sci-Fi“. The New York Times (2014-yil 10-noyabr). 2019-yil 9-dekabrda asl nusxadan arxivlangan. Qaraldi: 2020-yil 5-fevral.

Adabiyotlar

Aarseth, S. J.. Gravitational n-Body Simulations. New York: Cambridge University Press, 2003. ISBN 978-0-521-43272-6.
Bagla, J. S. (2005). "Cosmological N-body simulation: Techniques, scope and status". Current Science 88: 1088–1100.
Chambers, J. E.; Wetherill, G. W. (1998). "Making the Terrestrial Planets: N-Body Integrations of Planetary Embryos in Three Dimensions". Icarus 136 (2): 304–327. doi:10.1006/icar.1998.6007.
Efstathiou, G.; Davis, M.; White, S. D. M.; Frenk, C. S. (1985). "Numerical techniques for large cosmological N-body simulations". Astrophysical Journal 57: 241–260. doi:10.1086/191003. https://archive.org/details/sim_astrophysical-journal_1985-02_57_2/page/241.
Hulkower, Neal D. (1978). "The Zero Energy Three Body Problem". Indiana University Mathematics Journal 27 (3): 409–447. doi:10.1512/iumj.1978.27.27030.
Hulkower, Neal D. (1980). "Central Configurations and Hyperbolic-Elliptic Motion in the Three-Body Problem". Celestial Mechanics 21 (1): 37–41. doi:10.1007/BF01230244.
Li, Xiaoming; Liao, Shijun (2014). "On the stability of the three classes of Newtonian three-body planar periodic orbits". Science China Physics, Mechanics & Astronomy 57 (11): 2121–2126. doi:10.1007/s11433-014-5563-5.
Moore, Cristopher (1993). "Braids in Classical Dynamics". Physical Review Letters 70 (24): 3675–3679. doi:10.1103/PhysRevLett.70.3675. PMID 10053934. Archived from the original on 2018-10-08. https://web.archive.org/web/20181008213647/http://tuvalu.santafe.edu/~moore/braids-prl.pdf. Qaraldi: 2016-01-01. Uch jism muammosi]]
Poincaré, H.. New Methods of Celestial Mechanics, 3 vol. English translated, American Institute of Physics, 1967. ISBN 978-1-56396-117-5.
Šuvakov, Milovan; Dmitrašinović, V. (2013). "Three Classes of Newtonian Three-Body Planar Periodic Orbits". Physical Review Letters 110 (10): 114301. doi:10.1103/PhysRevLett.110.114301. PMID 25166541.

Havolalar

Chenciner, Alain (2007). "Uch jism muammosi". Scholarpedia 2 (10): 2111. doi:10.4249/scholarpedia.2111.
Physicists Discover a Whopping tomonidan uch jism muammosi uchun 13 ta yangi yangi yechim (Science)
3body simulator (Wayback Machine saytida 2023-06-03 sanasida arxivlangan) - uch tana masalasini sonli yechuvchi kompyuter dasturiga misol

[PrincetonCompanion-1] 1,0 ^1,1 Barrow-Green, June (2008). "The Three-Body Problem". in Gowers. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. 726–728 b.

[first-2] „Historical Notes: Three-Body Problem“. Qaraldi: 2017-yil 19-iyul.

[Barrow-Green1997-3] Barrow-Green, June. Poincaré and the Three Body Problem. American Mathematical Society, 1997 — 8–12-bet. ISBN 978-0-8218-0367-7.

[4] „The Three-Body Problem“.

[13solutions-5] Cartwright, Jon (8 March 2013). "Physicists Discover a Whopping 13 New Solutions to Three-Body Problem". Science Now. https://www.science.org/content/article/physicists-discover-whopping-13-new-solutions-three-body-problem. Qaraldi: 2013-04-04. Uch jism muammosi]]

[6] Barrow-Green, J. (2010). The dramatic episode of Sundman, Historia Mathematica 37, pp. 164-203.

[7] Beloriszky, D. (1930). "Application pratique des méthodes de M. Sundman à un cas particulier du problème des trois corps". Bulletin Astronomique. Série 2 6: 417–434.

[Burrau-8] Burrau (1913). "Numerische Berechnung eines Spezialfalles des Dreikörperproblems". Astronomische Nachrichten 195 (6): 113–118. doi:10.1002/asna.19131950602. https://zenodo.org/record/1424886.

[9] Victor Szebehely; C. Frederick Peters (1967). "Complete Solution of a General Problem of Three Bodies". Astronomical Journal 72: 876. doi:10.1086/110355.

[10] Here the gravitational constant G has been set to 1, and the initial conditions are r₁(0) = -r₃(0) = (-0.97000436, 0.24308753); r₂(0) = (0,0); v₁(0) = v₃(0) = (0.4662036850, 0.4323657300); v₂(0) = (-0.93240737, −0.86473146). The values are obtained from Chenciner & Montgomery (2000).

[TBG-11] Šuvakov, M. „Three-body Gallery“. Qaraldi: 2015-yil 12-avgust.

[12] Moore, Cristopher (1993). "Braids in classical dynamics". Physical Review Letters 70 (24): 3675–3679. doi:10.1103/PhysRevLett.70.3675. PMID 10053934. Archived from the original on 2018-10-08. https://web.archive.org/web/20181008213647/http://tuvalu.santafe.edu/~moore/braids-prl.pdf. Qaraldi: 2016-01-01. Uch jism muammosi]]

[13] Chenciner, Alain; Montgomery, Richard (2000). "A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses". Annals of Mathematics. Second Series 152 (3): 881–902. doi:10.2307/2661357. https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2000-11_152_3/page/881.

[14] Montgomery, Richard (2001). "A new solution to the three-body problem". Notices of the American Mathematical Society 48: 471–481. https://www.ams.org/notices/200105/fea-montgomery.pdf.

[15] Heggie, Douglas C. (2000). "A new outcome of binary–binary scattering". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 318 (4): L61–L63. doi:10.1046/j.1365-8711.2000.04027.x.

[16] Hudomal, Ana (October 2015). "New periodic solutions to the three-body problem and gravitational waves". Master of Science Thesis at the Faculty of Physics, Belgrade University. http://www.scl.rs/theses/msc_ahudomal.pdf. Qaraldi: 5 February 2019. Uch jism muammosi]]

[17] Li, Xiaoming; Liao, Shijun (December 2017). "More than six hundreds new families of Newtonian periodic planar collisionless three-body orbits". Science China Physics, Mechanics & Astronomy 60 (12): 129511. doi:10.1007/s11433-017-9078-5. ISSN 1674-7348.

[18] Li, Xiaoming; Jing, Yipeng; Liao, Shijun (August 2018). "The 1223 new periodic orbits of planar three-body problem with unequal mass and zero angular momentum". Publications of the Astronomical Society of Japan 70 (4). doi:10.1093/pasj/psy057.

[19] Li, Xiaoming; Liao, Shijun (2019). "Collisionless periodic orbits in the free-fall three-body problem". New Astronomy 70: 22–26. doi:10.1016/j.newast.2019.01.003.

[20] „3body simulator“ (en). 3body simulator. 2022-yil 17-noyabrda asl nusxadan arxivlangan. Qaraldi: 2022-yil 17-noyabr.

[21] Technion. „A Centuries-Old Physics Mystery? Solved“. SciTechDaily. SciTech (2021-yil 6-oktyabr). Qaraldi: 2021-yil 12-oktyabr.

[22] Ginat, Yonadav Barry; Perets, Hagai B. (23 July 2021). "Analytical, Statistical Approximate Solution of Dissipative and Nondissipative Binary-Single Stellar Encounters". Physical Review 11 (3): 031020. doi:10.1103/PhysRevX.11.031020. https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.11.031020. Qaraldi: 12 October 2021. Uch jism muammosi]]

[:1-23] 23,0 ^23,1 ^23,2 Valtonen, Mauri. The Three-body Problem from Pythagoras to Hawking. Springer, 3 May 2016. ISBN 978-3-319-22726-9. OCLC 1171227640.

[24] Newton, Isaac. Philosophiæ naturalis principia mathematica. London: G. & J. Innys, 1726. DOI:10.14711/spcol/b706487. Qaraldi: 2022-yil 5-oktyabr.

[25] „Amerigo Vespucci“ (en-us). Biography (2021-yil 23-iyun). Qaraldi: 2022-yil 5-oktyabr.

[26] The 1747 memoirs of both parties can be read in the volume of Histoires (including Mémoires) of the Académie Royale des Sciences for 1745 (belatedly published in Paris in 1749) (in French):

[27] Jean le Rond d'Alembert, in a paper of 1761 reviewing the mathematical history of the problem, mentions that Euler had given a method for integrating a certain differential equation „in 1740 (seven years before there was question of the Problem of Three Bodies)“: see d’Alembert, „Opuscules Mathématiques“, vol. 2, Paris 1761, Quatorzième Mémoire („Réflexions sur le Problème des trois Corps, avec de Nouvelles Tables de la Lune …“) pp. 329-312, at sec. VI, p. 245.

[:0-28] Mohr, R.F.; Furnstahl, R.J.; Hammer, H.-W.; Perry, R.J.; Wilson, K.G. (January 2006). "Precise numerical results for limit cycles in the quantum three-body problem". Annals of Physics 321 (1): 225–259. doi:10.1016/j.aop.2005.10.002. ISSN 0003-4916.

[29] „Coplanar Motion of Two Planets, One Having a Zero Mass“. Annals of Mathematics, Vol. III, pp. 65-73, 1887.

[30] Barrow-Green, June. Poincaré and the Three Body Problem, History of Mathematics. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1996-10-29. DOI:10.1090/hmath/011. ISBN 978-0-8218-0367-7.

[31] Efimov, V. (1970-12-21). "Energy levels arising from resonant two-body forces in a three-body system" (en). Physics Letters B 33 (8): 563–564. doi:10.1016/0370-2693(70)90349-7. ISSN 0370-2693.

[32] Liao, Shijun; Li, Xiaoming (2019-11-01). "On the periodic solutions of the three-body problem" (en). National Science Review 6 (6): 1070–1071. doi:10.1093/nsr/nwz102. ISSN 2095-5138. PMID 34691975. PMC 8291409. https://academic.oup.com/nsr/article/6/6/1070/5537324.

[33] Breen, Philip G.; Foley, Christopher N.; Boekholt, Tjarda; Portegies Zwart, Simon (2020). "Newton versus the machine: Solving the chaotic three-body problem using deep neural networks". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 494 (2): 2465–2470. doi:10.1093/mnras/staa713.

[Crandall1984-34] 34,0 ^34,1 Crandall, R.; Whitnell, R.; Bettega, R. (1984). "Exactly soluble two-electron atomic model". American Journal of Physics 52 (5): 438–442. doi:10.1119/1.13650.

[35] Calogero, F. (1969). "Solution of a Three-Body Problem in One Dimension". Journal of Mathematical Physics 10 (12): 2191–2196. doi:10.1063/1.1664820.

[36] Aref, Hassan (1979-03-01). "Motion of three vortices". The Physics of Fluids 22 (3): 393–400. doi:10.1063/1.862605. ISSN 0031-9171. https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.862605.

[37] Aref, Hassan; Pomphrey, Neil (1980-08-18). "Integrable and chaotic motions of four vortices" (en). Physics Letters A 78 (4): 297–300. doi:10.1016/0375-9601(80)90375-8. ISSN 0375-9601.

[38] Neufeld, Z; Tél, T (1997-03-21). "The vortex dynamics analogue of the restricted three-body problem: advection in the field of three identical point vortices". Journal of Physics A: Mathematical and General 30 (6): 2263–2280. doi:10.1088/0305-4470/30/6/043. ISSN 0305-4470. https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/30/6/043.

[39] Musielak, Z. E.; Quarles, B. (2014). "The three-body problem". Reports on Progress in Physics 77 (6): 065901. doi:10.1088/0034-4885/77/6/065901. ISSN 0034-4885. PMID 24913140.

[40] Florin Diacu. „The Solution of the n-body Problem“ (Wayback Machine saytida 2016-03-04 sanasida arxivlangan), The Mathematical Intelligencer, 1996.

[41] Qin. „In a Topsy-Turvy World, China Warms to Sci-Fi“. The New York Times (2014-yil 10-noyabr). 2019-yil 9-dekabrda asl nusxadan arxivlangan. Qaraldi: 2020-yil 5-fevral.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]