Ирационално число

Числото$\scriptstyle {\sqrt {2}}$ е ирационално.

В математиката ирационално число е всяко реално число, което не е рационално. С други думи, не може да се представи като обикновена дроб от вида m/n, където m и n са цели числа и n е различно от нула. Ирационалното число е безкрайна десетична непериодична дроб. Едни от най-добре известните ирационални числа са π, Ойлеровото число $e$, Златното сечение φ и $\scriptstyle {\sqrt {2}}$.

Ирационалните числа се делят на алгебрични и трансцендентни. Алгебричните числа могат да се изразят като корен на полином с рационални коефициенти (напр. $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ е корен на x² - 2 = 0), а трансцендентните (като π) – не.

Когато съотношението на две отсечки е ирационално число, се казва, че отсечките са несравними, което от своя страна значи, че нямат общ делител. В този смисъл, делител на отсечка l е такава отсечка J, която може да се нанесе върху l цяло число на брой пъти.

История

Първото доказателство на съществуването на ирационалните числа е обикновено приписвано на Хипазос от Метапонт, един от питагорейците, доказал несъизмеримостта на диагонала и страната на квадрата, всъщност ирационалността на корен от две. Съгласно легендата това откритие така потресло неговите събратя, че за да спрат разпространението на тази еретична идея, те го удавили.

Доказателство, че $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ е ирационално

Допускаме обратното, а именно, че $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ е рационално. Тогава $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ може да бъде представено като несъкратима дроб $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ = m/n. Умножаваме по n и двете страни и се получава $\scriptstyle {\sqrt {2}}$n = m. Вдигаме двете страни на квадрат и се получава 2n² = m². Това обаче показва, че m е четно число (заради двойката до n²). Следователно можем да заместим m с 2k. Получава се 2n² = 4k². Оттук n² = 2k². Това обаче показва, че и n е четно число. Така се оказва, че допуснахме, че m/n е несъкратима дроб, но от друга страна се вижда, че и m и n са четни числа, т.е. дробта е съкратима, което води до противоречие с допуснатото и оттук следва, че $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ е ирационално число.

От друга страна числото $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ представлява дължината на диагонала на квадрат със страни равни на 1, т.е. това число съществува.

Вижте също

• Делимост
• Прости числа
• Естествени числа
• Цели числа
• Рационални числа
• Реални числа
• Комплексни числа