ڕادە (ماتماتیک)

لەگەڵ تێرم لێت تێک نەچێت.

ڕادە یان ئامانج (بە ئینگلیزی: Limit)یەکێک لە چەمکە سەرەکییەکانی ھەژماری جیاکاری و تەواوکارییە و بۆ پێناسەی بەردەوامی، گرتە، و تەواوکاری، کەلکی لێوەردەگرن. ڕادە چۆنییەتی ڕەوشتی فانکشنێک و ھەروەھا سیفەتی فانکشن لەسەر خاڵەکانی ڕووتەختێک یان بەھایەکانی بێسنوور بەراورد دەکات. لە دەقە بیرکارییەکاندا ڕادە ھێما دەکرێ بە lim، بۆ نموونە lim(a_n) = a ھەندێک جار بە ئاڕاستەبڕێک (→) نیشان دەدرێت وەکوو a_n → a و ھەندێک جار بە پیتە کوردییەکان بە شێوەی ڕادە دەنووسرێت.

ڕادەی فانکشن

مەودایx تا خاڵی c بە δ دیاری کراوە

مەودای f(x تا L بە ε دیاری کراوە، بۆ ھەر x> S

وا دابنێ لە فانکشنی $f$دا، بەھای گۆڕەکەکە لە ژمارەیەکی نەگۆڕ وەک c نزیک ببێتەوە، ئەوا ئەگەر بەھای فانکشنەکە، لە ژمارەیەکی نەگۆڕ وەکوو L نزیک ببێتەوە، L بریتییە لە ڕادەی فانکشنی $f$ لە خاڵی c دا. ئەگەر $f(x)$ فانکشنی ڕاستی و c ژمارەیەکی ڕاستی بێت؛

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

واتە بەھای $f(x)$ زیاتر و زیاتر لە ژمارەی $L$ نیزیک دەبێتەوە کاتێک $x$ زیاتر و زیاتر لە ژمارەی دیاریکراوی c لە ھەر دوو لای نیزیک ببێتەوە. ئەمە بەم شێوەیە دەردەبڕین «ڕادە (ئامانجی) $f$ کاتێک $x$ لە c نیزیک دەبێتەوە یەکسانە بە $L$.»

لە ساڵی ١٨٢١ کۆشی و پاشان کارڵ ڤایەرشتراس ئەو پێناسەیان بە زاراوەگەلی بیرکاری شیکاری کرد، پێناسەی ڕادە لە سەدەی ١٩ زایینی بە ڕادەی (ε, δ) دەناسرا. لێرەدا ئێپسیلۆن بەھایەکی ئەرێنی زۆر بچووکە. کاتێک «$f(x)$ زیاتر و زیاتر لە L نزیک دەبێتەوە» واتە بەھای $f(x)$ کەم کەم دەکەوێتە ماوەی (L - ε, L + ε). ئەوە بەم شێوە دەنووسرێت f(x) - L| <ε|. «کاتێک x زیاتر و زیاتر لە ژمارەی دیاریکراوی c لە ھەر دوو لای نیزیک دەبێتەوە» واتە ئەو بڕە ڕاستیانەی وەکوو x کە دوورییان تا c کەمترە لە بڕی ئەرێنی δ. واتە x دەکەوێتە نێوان یەکێک لە ماوەکانی (c - δ, c)یا (c, c + δ)، ئەمە بە شێوەی خوارەوە دەنووسرێت

٠ <|x - c| <δ.

لاسەنگەی یەکەم واتە دووری نێوان c و x زۆرترە لە سیفر و x ≠ c و لاسەنگەی دووھەم واتە دووری x لە c کەمترە لە δ. پێناسەی ڕادە بەو شێوەیە تەنانەت ئەگەر $f(c)\neq L$ بێت پاسادانە واتە پێویست نییە f(x) لە خاڵی c پێناسە کرابێت.

نموونە

بۆ نموونە، وا دابنێ $f$ بە شێوەی خوارەوە پێناسە بکرێت

$f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

دەکرێت وێنەی ڕوونکردنەوەی فانکشنی f بە چەندھا خاڵ جگە لە x=١ بکێشرێتەوە. لە لایەکی تر وێنەکە لە x=١ ڕوون نییە، بۆ ئەوەی بیرۆکەیەکمان لەلا دروست بێت لە چۆنییەتی سیفەتی فانکشنی f لە ھاوسێی x=١ دەتوانین دوو کۆمەڵە گۆڕەک بۆ بەھای x بەکار بھێنین، کۆمەڵەی یەکەم لەو بەھایانە پێکدێت کە زیاتر و زیاتر لە لای چەپ لە یەک نیزیک دەبێتەوە، کۆمەڵەی دووھەم لەو بەھایانە پێکدێت کە زیاتر و زیاتر لە لای ڕاست لە یەک نیزیک دەبنەوە. ھەر چەند x بەھای یەک وەرناگرێت، بەڵام دەتوانێت بەھای x زیاتر و زیاتر لە ١ نیزیک بکرێتەوە، لەمەوە دەردەچێت بەھایەکانی $f(x)$ زیاتر و زیاتر لە ٢ نیزیک دەبێتەوە.

f(٠٫٩)	f(٠٫٩٩)	f(٠٫٩٩٩)	f(١٫٠)	f(١٫٠٠١)	f(١٫٠١)	f(١٫١)
١٫٩٠٠	١٫٩٩٠	١٫٩٩٩	⇒ پێناسە نەکراوە ⇐	٢٫٠٠١	٢٫٠١٠	٢٫١٠٠

ھاوکێشەی خوارەوە بۆ ھەموو ژمارە ڕاستییەکان جگە لە x=١ پاسادانە.

${\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1$

کەواتە، بەھای $f(x)$ زیاتر و زیاتر لە ٢ نیزیک دەبێتەوە ھەرکات x ی زیاتر و زیاتر لە ١ نیزیک ببێتەوە. بە واتایەکی تر

$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2$.

ڕادەی یەک فانکشن سەرەڕای ئەوەی بۆ بەھای دیاریکراو پێناسە دەکرێت، دەتوانێت بۆ بەھای بێسنووریش پێناسە بکرێت بۆ نموونە

$f(x)={2x-1 \over x}$

• f(١٠٠) = ١٫٩٩٠٠
• f(١٠٠٠) = ١٫٩٩٩٠
• f(١٠٠٠٠) = ١٫٩٩٩٩٠

ھەرکات x بەھای بێسنوور وەربگرێت، بەھای $f(x)$ لە ٢ نزیک دەبێتەوە. ئەمە بەم شێوەیە دەردەبڕین ڕادەی f(x) کاتێک x بەرەو بێسنوور دەڕوات، یەکسانە بە ٢ بە زمانی بیرکاری بەم شێوە دەردەبڕێت:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2.$

ڕادەی پاشییەکی

پاشییەکی لە سیفر نیزیک دەبێتەوە

لە سەرنجدان بەم پاشییەکییە

۱٫۷۹, ۱٫۷۹۹, ۱٫۷۹۹۹,...

دەردەچێت، ژمارەکانی پاشییەکی لە ژمارەی ١٫٨ نزیک دەبێتەوە. کەواتە ١٫٨ بریتییە لە ڕادەی ئەم پاشییەکییە. وا دابنێ

a_۱, a_۲,...

پاشیەکییەک لە ژمارە ڕاستەقینەکان بێت. ئەوا دەتوانیت بڵێیت ژمارەی ڕاستەقینەی L بریتییە لە ڕادەی پاشییەکی ئەگەر:

$\forall \epsilon >0\exists n_{0}\in \mathbb {N} \ s.t.\ \forall n\geq n_{0}\ |a_{n}-l|<\epsilon$

ڕادەی پاشییەکی بە ھێما بیرکارییەکان بەم شێوە دەنووسرێت:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=l$

ئەمانەش ببینە

• ڕێسای لۆپیتاڵ
• فانکشنی بەردەوام
• گرتە
• تەواوکاری

سەرچاوەکان

• بەشداربووانی ویکیپیدیا، «حد (ریاضی)»، ویکیپیدیای فارسی. سەردان لە ٢٤ی ئازاری ٢٠١٨.